Gleichheit von zwei Räumen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 31.07.2006 | | Autor: | Centaur |
| Aufgabe | | Sei [mm] B_{i} \subset W_{i}. [/mm] Dann gilt: [mm] span_{K}(B_{1}\cup... \cup B_{n}) [/mm] = [mm] span_{K}(W_{1} \cup... \cup W_{n}) [/mm] |
Hallo ich versuche gerade einen Beweis nachzuvollziehen und verstehe diesen einen Schritt nicht, den ich als Frage formuliert habe. n sollte echt größer zwei sein, da ich hier schon weiß, dass [mm] B_{1}\cup B_{2} [/mm] eine Basis von [mm] W_{1}+W_{2} [/mm] ist.
Erst dachte ich, dass es offensichtlich ist. Ich konnte dann als ich formal angesetzt hatte allerdings nur [mm] \subseteq [/mm] nachweisen. Die andere Richtung durchblicke ich im Augenblick nicht. Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]B_{i} \subset W_{i}.[/mm] Dann gilt: [mm]span_{K}(B_{1}\cup... \cup B_{n})[/mm]
> = [mm]span_{K}(W_{1} \cup... \cup W_{n})[/mm]
Also [mm] $B_i$ [/mm] soll jeweils ein Erzeugendensystem (oder sogar Basis) von [mm] $W_i$ [/mm] sein? Ansonsten ist das falsch, da i.A. nicht [mm] $span_K B_i [/mm] = [mm] span_K W_i$ [/mm] ist.
> Hallo ich versuche
> gerade einen Beweis nachzuvollziehen und verstehe diesen
> einen Schritt nicht, den ich als Frage formuliert habe. n
> sollte echt größer zwei sein, da ich hier schon weiß, dass
> [mm]B_{1}\cup B_{2}[/mm] eine Basis von [mm]W_{1}+W_{2}[/mm] ist.
Das stimmt ebenfalls nicht: Das ist nur richtig, wenn [mm] $W_1 \cap W_2 [/mm] = [mm] \{ 0 \}$ [/mm] ist. Andernfalls ist [mm] $B_1 \cup B_2$ [/mm] im Allgemeinen linear abhaengig. (Im Fall [mm] $B_1 \cap B_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] ist es sogar aequivalent: Dann ist [mm] $W_1 \cap W_2 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $B_1 \cup B_2$ [/mm] eine Basis von [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_2$ [/mm] ist.)
> Erst dachte ich, dass es offensichtlich ist. Ich konnte
> dann als ich formal angesetzt hatte allerdings nur
> [mm]\subseteq[/mm] nachweisen. Die andere Richtung durchblicke ich
> im Augenblick nicht. Kann mir da vielleicht jemand
> weiterhelfen?
Nimm mal ein Element aus [mm] $span_K (W_1 \cup \dots \cup W_n)$. [/mm] Wie sieht das aus? Kannst du das jetzt mit Hilfe der [mm] $B_i$ [/mm] ausdruecken? (Denk daran, dass die [mm] $B_i$ [/mm] Erzeugendensysteme bzw. Basen der [mm] $W_i$ [/mm] sind!)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mo 31.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Felix,
also du hast Recht in dem Beweis sind die Bs Basen. Trotzdem ist es gut, dass du mich darauf hinweist, da ich es bewusst weggelassen hatte, weil ich dachte, dass es unerheblich ist. Das sehe ich jetzt aber ein, man kann die [mm] W_{i} [/mm] = [mm] \IR [/mm] wählen und die [mm] B_{i} [/mm] = 0 für alle i. Dann wäre [mm] span(\IR) [/mm] = 0, was schon aus Dimensionsgründen nicht sein kann.
Ich habe auch noch vergessen zu erwähnen, dass [mm] W_{i} [/mm] Untervektorräume von einem Vektorraum V sein sollen.
> Das stimmt ebenfalls nicht: Das ist nur richtig, wenn [mm]W_1 \cap W_2 = \{ 0 \}[/mm]
> ist. Andernfalls ist [mm]B_1 \cup B_2[/mm] im Allgemeinen linear
> abhaengig. (Im Fall [mm]B_1 \cap B_2 = \emptyset[/mm] ist es sogar
> aequivalent: Dann ist [mm]W_1 \cap W_2 = \emptyset[/mm] genau dann,
> wenn [mm]B_1 \cup B_2[/mm] eine Basis von [mm]W_1 + W_2[/mm] ist.)
Den Fall n=2 habe ich aus einem anderen Beweis übernommen und vergessen mir die Voraussetzungen anzuschauen. Allerdings komme ich gerade nicht drauf mir ein Gegenbeispiel zu basteln oder ich habe noch nicht ganz verstanden was du meinst... Gibt es ein Beispiel, an dem man sich das veranschaulichen kann? Also ein Gegenbeispiel zu
> Nimm mal ein Element aus [mm]span_K (W_1 \cup \dots \cup W_n)[/mm].
> Wie sieht das aus? Kannst du das jetzt mit Hilfe der [mm]B_i[/mm]
> ausdruecken? (Denk daran, dass die [mm]B_i[/mm] Erzeugendensysteme
> bzw. Basen der [mm]W_i[/mm] sind!)
>
So hatte ich auch angesetzt. Also aus x [mm] \in span_K (W_1 \cup \dots \cup W_n) [/mm] folgt: Es gibt [mm] \lambda_i \in [/mm] K, so dass x = [mm] \lambda_1w_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_mw_m, [/mm] wobei [mm] w_i \in W_1 \cup \dots \cup W_n [/mm] sind.
- Weiß ich nun, dass m = n sein muss?
- Inwieweit hilft mir denn das Wissen, dass [mm] span(B_i) [/mm] = [mm] W_i [/mm] ist? Ich betrachte hier doch die Vereinigung...
Ah Moment, jetzt kann ich wahrscheinlich sagen, dass die [mm] w_i \in span(B_i) [/mm] liegen, oder? Aber daraus folgt noch nicht für mich ersichtlich x [mm] \in span_{K}(B_{1}\cup... \cup B_{n}). [/mm] Hm...
Noch einen schönen Abend/Morgen/Nachmittag und vielen, vielen Dank für die Hilfe.
Chris
PS: Ist die lin. Hülle dasselbe wie der span?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi Chris!
> Ich habe auch noch vergessen zu erwähnen, dass [mm]W_{i}[/mm]
> Untervektorräume von einem Vektorraum V sein sollen.
Das braucht man gar nicht, man benoetigt eigentlich nur das [mm] $span_K W_i [/mm] = [mm] span_K B_i$ [/mm] ist.
> > Das stimmt ebenfalls nicht: Das ist nur richtig, wenn [mm]W_1 \cap W_2 = \{ 0 \}[/mm]
> > ist. Andernfalls ist [mm]B_1 \cup B_2[/mm] im Allgemeinen linear
> > abhaengig. (Im Fall [mm]B_1 \cap B_2 = \emptyset[/mm] ist es sogar
> > aequivalent: Dann ist [mm]W_1 \cap W_2 = \emptyset[/mm] genau dann,
> > wenn [mm]B_1 \cup B_2[/mm] eine Basis von [mm]W_1 + W_2[/mm] ist.)
>
> Den Fall n=2 habe ich aus einem anderen Beweis übernommen
> und vergessen mir die Voraussetzungen anzuschauen.
> Allerdings komme ich gerade nicht drauf mir ein
> Gegenbeispiel zu basteln oder ich habe noch nicht ganz
> verstanden was du meinst... Gibt es ein Beispiel, an dem
> man sich das veranschaulichen kann? Also ein Gegenbeispiel
> zu
Du meinst du [mm] $B_1 \cup B_2$ [/mm] Basis von [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_2$? [/mm] Nimm [mm] $W_1 [/mm] = [mm] W_2 [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] als Untervektorraeume vom eindimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR$, [/mm] und nimm [mm] $B_1 [/mm] = [mm] \{ 1 \}$, $B_2 [/mm] = [mm] \{ 2 \}$. [/mm] Dann ist [mm] $W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] \IR$ [/mm] und [mm] $B_1 \cup B_2 [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$ [/mm] ein linear abhaengiges System.
> > Nimm mal ein Element aus [mm]span_K (W_1 \cup \dots \cup W_n)[/mm].
> > Wie sieht das aus? Kannst du das jetzt mit Hilfe der [mm]B_i[/mm]
> > ausdruecken? (Denk daran, dass die [mm]B_i[/mm] Erzeugendensysteme
> > bzw. Basen der [mm]W_i[/mm] sind!)
> >
>
> So hatte ich auch angesetzt. Also aus x [mm]\in span_K (W_1 \cup \dots \cup W_n)[/mm]
> folgt: Es gibt [mm]\lambda_i \in[/mm] K, so dass x = [mm]\lambda_1w_1[/mm]
> + ... + [mm]\lambda_mw_m,[/mm] wobei [mm]w_i \in W_1 \cup \dots \cup W_n[/mm]
> sind.
>
> - Weiß ich nun, dass m = n sein muss?
Das muss es erstmal nicht.
Du kannst das allerdings so umschreiben: Es gibt [mm] $k_1, \dots, k_n \in \IN$ [/mm] und [mm] $w_{i,1}, \dots, w_{i,k_i} \in W_i$, $\lambda_{i,1}, \dots, \lambda_{i,k_i} \in [/mm] K$ mit $w = [mm] \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} \lambda_{i,j} w_{i,j}$.
[/mm]
Und wenn die [mm] $W_i$ [/mm] Untervektorraeume sind, geht das noch einfacher: Dann kannst du die Summe [mm] $\sum_{j=1}^{k_i} \lambda_{i,j} w_{i,j}$ [/mm] als ein Element aus [mm] $W_i$ [/mm] schreiben: Womit du dann $w = [mm] \sum_{i=1}^n w_i$ [/mm] hast mit passenden [mm] $w_i \in W_i$.
[/mm]
So. Und wie kannst du jedes [mm] $w_i$ [/mm] nun schreiben?
> - Inwieweit hilft mir denn das Wissen, dass [mm]span(B_i)[/mm] =
> [mm]W_i[/mm] ist? Ich betrachte hier doch die Vereinigung...
>
> Ah Moment, jetzt kann ich wahrscheinlich sagen, dass die
> [mm]w_i \in span(B_i)[/mm] liegen, oder? Aber daraus folgt noch
> nicht für mich ersichtlich x [mm]\in span_{K}(B_{1}\cup... \cup B_{n}).[/mm]
> Hm...
Genau :)
> PS: Ist die lin. Hülle dasselbe wie der span?
Ja.
Dir auch noch nen schoenen Abend!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Di 01.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo Felix (du hast interessante Anredeformen),
vielen Dank für deine hilfreichen Erklärungen. Auch das Beispiel, das du mir gegeben hast, hat mir was gebracht. Ich hatte viel zu kompliziert und deswegen wahrscheinlich auch falsch gedacht.
Ein paar kleinere Fragen sind mir dennoch gekommen:
1)
Und zwar wir haben die direkte Summe von zwei Untervektorräumen so ein geführt. Seien [mm] W_i [/mm] Untervektorräume von V. Dann ist [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = { [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] mit [mm] w_i \in W_i [/mm] }.
Könnte man jetzt auch ein Element des [mm] \IR³ [/mm] mit einem aus dem [mm] \IR² [/mm] kombinieren? Läge das auch in der Summe? Ich habe hierbei allerdings die Vermutung, dass das nicht funktioniert, weil [mm] \IR² [/mm] kein UVR von [mm] \IR³ [/mm] ist. Sondern nur z. B. [mm] \IR \times \IR \times [/mm] {0}, oder wie verhält sich das da?
2)
Noch zur vorherigen Thematik. Hier hatte ich geschrieben:
"Ah Moment, jetzt kann ich wahrscheinlich sagen, dass die [mm]w_i \in span(B_i)[/mm] liegen, oder? Aber daraus folgt noch nicht für mich ersichtlich , dass x [mm]\in span_{K}(B_{1}\cup... \cup B_{n}).[/mm]"
Ich habe mich an anderer Stelle heute wieder damit beschäftigt und ich habe jetzt die Vermutung, dass gilt:
[mm] span(B_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup B_n) [/mm] = [mm] span(B_1) \cup [/mm] ... [mm] \cup span(B_n)
[/mm]
Gilt die Gleichung denn wirklich? Dann wäre mir auch der letzte Schluss klar.
Que te vaya bien
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Mi 02.08.2006 | | Autor: | SEcki |
> Könnte man jetzt auch ein Element des [mm]\IR³[/mm] mit einem aus
> dem [mm]\IR²[/mm] kombinieren? Läge das auch in der Summe? Ich habe
> hierbei allerdings die Vermutung, dass das nicht
> funktioniert, weil [mm]\IR²[/mm] kein UVR von [mm]\IR³[/mm] ist. Sondern nur
> z. B. [mm]\IR \times \IR \times[/mm] {0}, oder wie verhält sich
> das da?
Eher so - es gibt viele Ebenen im [m]\|R^3[/m], die sind nicht eindeutig bestimmt. Da hast du sehr viel Wahlfreiheit.
> [mm]span(B_1 \cup[/mm] ... [mm]\cup B_n)[/mm] = [mm]span(B_1) \cup[/mm] ... [mm]\cup span(B_n)[/mm]
>
> Gilt die Gleichung denn wirklich? Dann wäre mir auch der
> letzte Schluss klar.
Nein, die gilt sicher nicht, anstatt der Vereinigung muss ein Plus hin. Aber das solltest du vielleicht beweisen.
Versuch doch mal die Ansätze aus der vorherigen Antwort weiterzuverfolgen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Do 03.08.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo ihr beiden,
zunächst einmal danke für die Hilfestellungen. Ich versuche meine Überlegungen mal hier hoch zuladen, weil ich mit dem Schriftsatz doch 'ne Weile bräuchte.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Ich bin auf zwei Probleme gestoßen und zwar bin ich davon ausgegangen, dass alle Basen gleich viele Basiselemente haben und diese Zahl mit n angegeben. [mm] (\*) [/mm] Dies müsste ich aber eigentlich umgehen können, indem ich [mm] max|B_i|=n [/mm] wähle und falls Basen nur r < n Elemente haben, diese n-r Elemente 0 wähle.
Zweitens [mm] (\* \*) [/mm] bin ich davon ausgegangen das [mm] w_j [/mm] nur Linearkombination einer Basis ist. Denkbar wäre aber durchaus auch, dass es sich durch Linearkombination mehrerer Basen darstellen lässt. Das würde aber noch mehr Indizes erfordern und ich habe jetzt schon das Gefühl, dass der Gedankengang nur schwer lesbar ist.
@ SEcki:
- Was heißt denn || [mm] \IR³?
[/mm]
- Heißt das denn nun [mm] \IR² [/mm] kann kein UVR des [mm] \IR³ [/mm] sein?
- Sowas wie x+y mit x [mm] \in \IR² [/mm] und y [mm] \in \IR³ [/mm] ist doch nicht definiert oder?
- Ich hatte mir die Gleichung mit den Vereinigungen so versucht zu erklären.
[mm] B_1 [/mm] = { [mm] e_1, e_2 [/mm] }
[mm] B_2 [/mm] = { [mm] e_2 [/mm] }
span ({ [mm] e_1, e_2 [/mm] } [mm] \cup [/mm] { [mm] e_2 [/mm] }) = span({ [mm] e_1, e_2 [/mm] })
Aber andererseits: span({ [mm] e_1, e_2 [/mm] }) [mm] \cup [/mm] span({ [mm] e_2 [/mm] }). Dies ist die Menge aller Linearkombinationen von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] vereinigt mit der Menge aller Linearkombinationen von [mm] e_2. [/mm] Da bin ich von ausgegangen, dass dies gleich span({ [mm] e_1, e_2 [/mm] }) ist. Vermutlich ist aber genau dieser Schritt falsch, oder?
Chris
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Do 03.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
> zunächst einmal danke für die Hilfestellungen. Ich versuche
> meine Überlegungen mal hier hoch zuladen, weil ich mit dem
> Schriftsatz doch 'ne Weile bräuchte.
>
> Datei-Anhang
>
> Ich bin auf zwei Probleme gestoßen und zwar bin ich davon
> ausgegangen, dass alle Basen gleich viele Basiselemente
> haben und diese Zahl mit n angegeben. [mm](\*)[/mm] Dies müsste ich
> aber eigentlich umgehen können, indem ich [mm]max|B_i|=n[/mm] wähle
> und falls Basen nur r < n Elemente haben, diese n-r
> Elemente 0 wähle.
Ja, das kannst du machen.
> Zweitens [mm](\* \*)[/mm] bin ich davon ausgegangen das [mm]w_j[/mm] nur
> Linearkombination einer Basis ist. Denkbar wäre aber
> durchaus auch, dass es sich durch Linearkombination
> mehrerer Basen darstellen lässt. Das würde aber noch mehr
> Indizes erfordern und ich habe jetzt schon das Gefühl, dass
> der Gedankengang nur schwer lesbar ist.
Es kann auch noch sein, das du die [mm] $w_j$ [/mm] unter (**) nicht einfach so umnummerieren kannst, da gewisse [mm] $W_i$ [/mm] mehrfach vorkommen und andere gar nicht. Aber da du UVRe hast kannst du die Mehrfachen zusammenfassen, und die nicht Vorkommenden durch $0$ ersetzen.
> @ SEcki:
>
> - Was heißt denn || [mm]\IR³?[/mm]
Ich denke das war ein Vertipper, er meinte einfach nur [mm] $\IR^3$.
[/mm]
> - Heißt das denn nun [mm]\IR²[/mm] kann kein UVR des [mm]\IR³[/mm] sein?
Nun, mit einer passenden Einbettung kann es das sehr wohl sein. Das Problem ist nun, das es keine kanonische Einbettung gibt, also keine die `natuerlicher' ist als alle anderen. Will man [mm] $\IR^2$ [/mm] deshalb als UVR von [mm] $\IR^3$ [/mm] auffassen, muss man diese Einbettung explizit angeben (etwa [mm] $\iota [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^3$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (x, y, 0)$).
> - Sowas wie x+y mit x [mm]\in \IR²[/mm] und y [mm]\in \IR³[/mm] ist doch
> nicht definiert oder?
Nein. Nur wenn man eine Einbettung [mm] $\iota [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^3$ [/mm] vorgegeben hat, dann kann man $x + y$ als [mm] $\iota(x) [/mm] + y$ auffassen.
> - Ich hatte mir die Gleichung mit den Vereinigungen so
> versucht zu erklären.
>
> [mm]B_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]e_1, e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]B_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> span ({ [mm]e_1, e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}) = span({ [mm]e_1, e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
})
>
> Aber andererseits: span({ [mm]e_1, e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}) [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
span({ [mm]e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}).
> Dies ist die Menge aller Linearkombinationen von [mm]e_1[/mm] und
> [mm]e_2[/mm] vereinigt mit der Menge aller Linearkombinationen von
> [mm]e_2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da bin ich von ausgegangen, dass dies gleich span({
> [mm]e_1, e_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}) ist. Vermutlich ist aber genau dieser Schritt
> falsch, oder?
Nein, das stimmt schon. Hier hast du $span\{ e_2 \} \subseteq span\{ e_1, e_2 \}$, womit das ganze trivialerweise stimmt.
Im Allgemeinen klappt das aber nicht. Genauer: Man kann zeigen, das die Vereinigung von zwei Untervektorraeumen genau dann wieder ein Untervektorraum ist, wenn bereits einer im anderen enthalten war. Sprich: $span B_1 \cup span B_2$ ist genau dann ein Untervektorraum (hat also die Chance gleich $span (B_1 \cup B_2)$ zu sein), wenn $span B_1 \subseteq span B_2$ oder $span B_2 \subseteq span B_1$ ist!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Mi 02.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris!
Mmmh, da war der SEcki ein wenig schneller als ich :)
> Hallo Felix (du hast interessante Anredeformen),
Das `Hoi' wird in der Schweiz (oder zumindest in Zuerich) sehr oft verwendet, heisst soviel wie `hi' :)
> Que te vaya bien
Dir auch nen schoenen Tag! (Wenn ich das jetzt richtig erraten hab :) )
LG Felix
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