Gleichheit zweier Abbildungen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
| Aufgabe | Seien [mm] f:X\to [/mm] Y und [mm] g:X\to [/mm] Y Abbildungen. Für alle [mm] y,y'\in [/mm] Y gelte
y [mm] \not= [/mm] y' [mm] \Rightarrow f^{-1} [/mm] {y} [mm] \cap g^{-1} [/mm] {y'} [mm] =\emptyset.
[/mm]
Beweisen Sie, dass f = g ist. |
Hallo
Wenn ich es richtig weiß, dann sie die zwei Abbildungen gleich, wenn x [mm] \in [/mm] X für f(x) und g(x) gilt.
Aus der Voraussetzung schließe ich [mm] f^{-1} [/mm] {y} = [mm] g^{-1} [/mm] {y} und daraus
[mm] f^{-1} [/mm] {f(x)} = [mm] g^{-1} [/mm] {f(x)}.
Da x [mm] \in [/mm] X für [mm] f^{-1} [/mm] {f(x)} und [mm] g^{-1} [/mm] {y} gilt,
komm ich auf [mm] f^{-1} [/mm] {f(x)} = [mm] g^{-1} [/mm] {g(x)}
und schließlich auf f(x) = g(x).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wir müssen leider noch einmal ganz von vorne beginnen, weil deine Formulierungen überhaupt keinen Sinn ergeben.
>
> Wenn ich es richtig weiß, dann sie die zwei Abbildungen
> gleich, wenn x [mm]\in[/mm] X für f(x) und g(x) gilt.
>
Versuche zunächst einmal, eine richtige eigene Formulierung zu finden :
"Zwei Abbildungen f und g sind gleich, wenn für alle x [mm] \in [/mm] X [ jetzt kommt etwas mit f(x) und g(x) ] gilt."
Von da aus können wir dann versuchen, einen Widerspruchsbeweis zu formulieren.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
f und g sind gleich, wenn der Definitionsbereich und der Zielbereich gleich sind und
für alle x [mm] \in [/mm] Y f(x)=g(x) gilt.
Definitionsbereich und Zielbereich sind per Voraussetzung gleich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
muss natürlich x [mm] \in [/mm] X heißen.
Jetzt haben wir eine Basis, von der aus wir weiterarbeiten können.
Wir nehmen an, dass f und g nicht gleich wären [ formuliere das mal so wie oben, mit x und f(x) und g(x) ] und dann werden wir daraus schließen, dass die Bedingung des Satzes [y [mm] \not= [/mm] y' [mm] \Rightarrow {f^{-1}(y)} \cap {g^{-1}(y')} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] ] nicht erfüllt sein kann.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Sei f [mm] \not= [/mm] g.
Daraus folgt, dass für alle x [mm] \in [/mm] X f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) gilt.
Aber wie ich jetzt weitermachen soll ist mir schleierhaft :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
nein, eben nicht für alle x. Es genügt, wenn schon für ein einziges x die y-Werte verschieden sind, also f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) gilt.
Nehmen wir also einmal an, es würde ein solches x geben. Dann haben wir also ein y=f(x) und ein y'=g(x), die verschieden sind.
Was sagt uns jetzt die Bedingung der Aufgabe ? Warum ist das ein Widerspruch zu unserer Annahme ? Was folgt also daraus ?
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Es gibt ein x [mm] \in [/mm] X was f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) ergibt.
Aus f(x)=y und g(x)=y' ergibt sich y [mm] \not= [/mm] y' und nach der Voraussetzung gilt [mm] f^{-1} [/mm] {y} [mm] \cap g^{-1} [/mm] {y'} = [mm] \emptyset.
[/mm]
Also gilt f [mm] \not= [/mm] g.
Edit: Hab den Fehler geändert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mi 13.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo, Fabian
> Es gibt ein x [mm]\not\in[/mm] X was f(x) [mm]\not=[/mm] g(x) ergibt.
> Aus f(x)=y und g(x)=y' ergibt sich y [mm]\not=[/mm] y' und nach der
> Voraussetzung gilt [mm]f^{-1}[/mm] {y} [mm]\cap g^{-1}[/mm] {y'} =
> [mm]\emptyset.[/mm]
> Also gilt f [mm]\not=[/mm] g.
Sollte es nicht heißen : [mm] $"x\in [/mm] X"$?. Dass [mm] $f(x)\neq [/mm] g(x)$ stimmt.
Aber Ziel des Widerspruchbeweises ist, zu zeigen, dass am Ende
$f=g$ folgt.
Gruß
Kai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Es gibt ein x [mm]\not\in[/mm] X was f(x) [mm]\not=[/mm] g(x) ergibt.
Nein! Wieso denn jetzt auf einmal x [mm] \notin [/mm] X ? Wir waren doch schon weiter. Wir nehmen an, es würde ein x [mm] \in [/mm] X geben, so dass y = f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) = y' ist (und zeigen dann, dass sich daraus ein Widerspruch zur Bedingung in der Aufgabenstellung ergibt).
> Aus f(x)=y und g(x)=y' ergibt sich y [mm]\not=[/mm] y' und nach der
> Voraussetzung gilt [mm]f^{-1}[/mm] {y} [mm]\cap g^{-1}[/mm] {y'} =
> [mm]\emptyset.[/mm]
> Also gilt f [mm]\not=[/mm] g.
Dieses "also" geht viel zu schnell. Da fehlen noch drei bis vier Zwischenschritte.
Weißt du, was mit der Schreibweise [mm] f^{-1}(y) [/mm] gemeint ist ?, dass das eine Menge ist ?, welche Elemente in dieser Menge liegen ?
Wir wollen zeigen, dass unsere Annahme mit der Schlussfolgerung [mm] f^{-1}(y) \cap g^{-1}(y') [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] im Widerspruch steht, also dass diese Menge eben nicht leer ist, weil wir ein Element angeben können, das in dieser Menge liegt (welches ? warum?).
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
[mm] f^{-1} [/mm] {y} ist ein Urbild mit einem Element, welches hier y ist. Der Durchschnitt soll dann y sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 13.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fabian,
Fast!
Das Stichwort "Urbild" klingt aber schon mal ganz gut 
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mi 13.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fabian,
mir scheint, Du willst uns ein $y$ für ein $x$ vormachen (Tipp-Tipp).
Du schreibst des öfteren : [mm] $f^{-1}\{y\}$ [/mm] anstatt [mm] $f^{-1}(y)$
[/mm]
Ist Dir der Unterschied zwischen einer Menge und einer
Variablen klar? Wenn nicht, mach ihn Dir bitte klar. Das
wirst Du immer wieder brauchen.
Gruß
Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
[mm] f^{-1} [/mm] {y} ist ja das Urbild von einer Menge und da es nur aus einem Element besteht, heißt es Faser.
[mm] f^{-1} [/mm] {y} = {y [mm] \in [/mm] X | f(x)=y} so steht das im Skript.
Soll dein Tipp bedeuten, dass x das Element im Durchschnitt sein soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mi 13.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fabian,
> [mm]f^{-1}[/mm] {y} ist ja das Urbild von einer Menge und da es nur
> aus einem Element besteht, heißt es Faser.
Du hast recht. In diesem Fall sollte es [mm] $f^{-1}\red\{y\red\}$ [/mm] sein.
> Soll dein Tipp bedeuten, dass x das Element im
> Durchschnitt sein soll?
Der Meinung bin ich. Wir sagen ja, dass $f(x)=y$ und $g(x)=y'$
Daher ist [mm] $f^{-1}(y)=x$ [/mm] und [mm] $g^{-1}(y')=x$. [/mm] Deswegen ist x Element
der Fasern und somit Element des Durchschnitts. Für [mm] $y\neq [/mm] y'$
müsste der Schnitt aber leer sein. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] wir haben einen
Widerspruch zu der Annahme, dass [mm] $f\neq [/mm] g$. Daraus wiederum
folgert, dass $f=g$
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mi 13.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Achso, danke. Ab und zu seh ich einfachste Dinge nicht. Ich fass nochmal eine Antwort zusammen.
f und g sind gleich, wenn der Definitionsbereich und der Zielbereich gleich sind und für alle x [mm] \in [/mm] Y f(x)=g(x) gilt.
Definitionsbereich und Zielbereich sind per Voraussetzung gleich.
Sei f [mm] \not= [/mm] g. Daraus folgt, dass für ein x [mm] \in [/mm] X f(x) [mm] \not= [/mm] g(x) gilt. Setzt man nun f(x)=y und g(x)=y', dann ergibt [mm] f^{-1} [/mm] {y}=x und [mm] g^{-1} [/mm] {y}=x.Dies ergibt einen Widerspruch, da der Durchschnitt für y [mm] \not= [/mm] y' leer sein müsste. Folglich ist f=g.
So richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Do 14.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fabian,
> f und g sind gleich, wenn der Definitionsbereich und der
> Zielbereich gleich sind und für alle x [mm]\in[/mm] Y f(x)=g(x)
> gilt.
Der Definitionsbereich und der Zielbereich müssen nicht
notwendigerweise gleich sein.
Es müsste [mm] $x\in [/mm] X$ heissen.
>
> Sei f [mm]\not=[/mm] g. Daraus folgt, dass für ein x [mm]\in[/mm] X f(x)
> [mm]\not=[/mm] g(x) gilt.
> Setzt man nun f(x)=y und g(x)=y', dann
> ergibt [mm]f^{-1}[/mm] {y}=x und [mm]g^{-1}[/mm] {y}=x.
Muss heissen : [mm] $g^{-1}(\{y\red'\})=x$
[/mm]
> Dies ergibt einen
> Widerspruch, da der Durchschnitt für y [mm]\not=[/mm] y' leer sein
> müsste. Folglich ist f=g.
Zur Schreibweise : Wie Fred gesagt hat, lautet die richtige
Bezeichnung : [mm] "$f^{-1}(\{y\})$"
[/mm]
> So richtig?
Mit den Einschränkungen : ja.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Do 14.02.2013 | | Autor: | Fabian5 |
Okay danke, habs verstanden. War gestern etwas spät, haben sich wohl deswegen ein paar Fehler eingeschlichen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f^{-1}[/mm] { y } ist ja das Urbild von einer Menge und da es nur
> aus einem Element besteht, heißt es Faser.
> [mm]f^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ y } = { y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X | f(x)=y } so steht das im Skript.
Ganz bestimmt nicht ! Sondern:
[mm]f^{-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ y } = { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X | f(x)=y }
Wir hatten angenommen: es gibt ein x \in X mit y:=f(x) \ne g(x)=:y'
Dann haben wir doch:
x \in f^{-1}{ y } und x \in g^{-1}{ y' }
Und das bedeutet ?
FRED
P.S.: für die Menge { x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X | f(x)=y } sind folgende Bezeichnungen im Umlauf:
f^{-1}{ y }, f^{-1}(y), f^{-1}({ y }),
wobei die letzte eigentlich die korrekte ist.
> Soll dein Tipp bedeuten, dass x das Element im
> Durchschnitt sein soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Do 14.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
ich wäre an Deinem letzten Post interessiert. Aber
da wimmelt es nur so von roten Anmerkungen.
Wäre es ein großer Aufwand, das zu korrigieren?
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 14.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich wäre an Deinem letzten Post interessiert. Aber
> da wimmelt es nur so von roten Anmerkungen.
> Wäre es ein großer Aufwand, das zu korrigieren?
Ich habe geschrieben:
Wir hatten angenommen: es gibt ein x [mm] \in [/mm] X mit y:=f(x) [mm] \ne [/mm] g(x)=:y'
Dann haben wir doch:
x [mm] \in f^{-1}\{ y \} [/mm] und x [mm] \in g^{-1}\{ y' \}
[/mm]
Und das bedeutet ?
FRED
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Do 14.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> >
> > ich wäre an Deinem letzten Post interessiert. Aber
> > da wimmelt es nur so von roten Anmerkungen.
> > Wäre es ein großer Aufwand, das zu korrigieren?
>
> Ich habe geschrieben:
>
> Wir hatten angenommen: es gibt ein x [mm]\in[/mm] X mit y:=f(x) [mm]\ne[/mm]
> g(x)=:y'
>
> Dann haben wir doch:
>
> x [mm]\in f^{-1}\{ y \}[/mm] und x [mm]\in g^{-1}\{ y' \}[/mm]
>
> Und das bedeutet ?
>
>
ok. Danke schön.
Gruß
Kai
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