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| Aufgabe | a) Zeigen sie, dass zwei reelle Intervalle [a,b], [c,d] unter der Vorausetzung [mm] a\not= [/mm] b, [mm] c\not= [/mm] d stehts gleichmächtig sind!
b) Zeigen sie, das [mm] \IZ [/mm] abzählbar ist, indem sie eine bijektive Abbildung f: [mm] \IN\to \IZ [/mm] angeben.
(Hinweis: Abbildung f konstruieren und beweisen, dass diese bijektiv ist!) |
So..zu Aufgabe a) habe ich eine Idee: ich kenne aber nur die Gleichmächtigkeit von Mengen, nicht von Intervallen...kann ich da genau so vorgehen?? Also zum beispiel:
Es muss eine bijektion geben f: [a,b] [mm] \to [/mm] [b,c] man kann also auch schreiben [ab] = [b,c]
Mengen z.B. sind dann gleichmächtig, wenn sie gleichviele Elemente haben.
Soviel weiß ich dazu bisher und jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich das zeigen soll...
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeigen sie, dass zwei reelle Intervalle [a,b], [c,d]
> unter der Vorausetzung [mm]a\not=[/mm] b, [mm]c\not=[/mm] d stehts
> gleichmächtig sind!
>
> b) Zeigen sie, das [mm]\IZ[/mm] abzählbar ist, indem sie eine
> bijektive Abbildung f: [mm]\IN\to \IZ[/mm] angeben.
> (Hinweis: Abbildung f konstruieren und beweisen, dass
> diese bijektiv ist!)
> So..zu Aufgabe a) habe ich eine Idee: ich kenne aber nur
> die Gleichmächtigkeit von Mengen, nicht von
> Intervallen.
Sind denn Intervalle keine Mengen ????
> ..kann ich da genau so vorgehen?? Also zum
> beispiel:
>
> Es muss eine bijektion geben f: [a,b] [mm]\to[/mm] [b,c]
Genau
> man kann also auch schreiben [ab] = [b,c]
Was ist das für ein Unfug ?
> Mengen z.B. sind dann gleichmächtig, wenn sie gleichviele
> Elemente haben.
Im anschaulichen Sinne, ja
>
> Soviel weiß ich dazu bisher und jetzt komme ich nicht
> weiter, weil ich nicht weiß wie ich das zeigen soll...
Mal ein Koordinatensystem, trage auf der x-Achse das Intervall [a,b] ab und auf der y-Achse das Intervall [c,d].
Jetzt bestimmst Du die Gerade, die durch die Punkte (a|c) und (b|d) geht.
Diese hat die Funktionsgleichung f(x) = mx+k
m und k hast Du oben bestimmt. Dann ist f:[a,b] [mm] \to [/mm] [c,d] bijektiv
FRED
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> Mathegirl
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wie soll ich das in einem Koordinatensystem eintragen?? das kann ja beliebig sein, ist ja nicht durch zahlen festgelegt. kann ich für a= 1 und b= 4 das zeichnen??
ich muss das ja beweisen bei a) und nicht unbedingt skizzieren....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 05.11.2009 | | Autor: | glie |
> wie soll ich das in einem Koordinatensystem eintragen??
> das kann ja beliebig sein, ist ja nicht durch zahlen
> festgelegt. kann ich für a= 1 und b= 4 das zeichnen??
>
> ich muss das ja beweisen bei a) und nicht unbedingt
> skizzieren....
Aber was fred vorgeschlagen hat, funktioniert doch für beliebige Intervalle, und wenn die so gebildete Abbildung für alle beliebigen Intervalle bijektiv ist, dann hast du doch einen schönen allgemeinen Beweis.
Gruß Glie
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