Gleichmaechtigkeit von Mengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mi 25.02.2009 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Wir haben zwei Mengen A,B, so dass A [tex] \subset [/tex]B. Wir wissen, dass A ueberabzaehlbar ist. Heisst das, dass A und B gleichmaechtigt? |
Hallo,
sicherlich heisst das, dass B auch ueberabzaehlbar ist. Wenn aber zwei Mengen ueberabzaehlbar sind, heisst das, dass sie gleichmaechtigt sind?
(ich kann mir keine allgemeine bijektive Abb. zwischen zwei belibigen ueberabzaehlbaren Mengen vorstellen).
Ich habe diese Frage...keinen anderen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Mi 25.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Wir haben zwei Mengen A,B, so dass A [tex]\subset [/tex]B. Wir wissen,
> dass A ueberabzaehlbar ist. Heisst das, dass A und B
> gleichmaechtigt?
> Hallo,
> sicherlich heisst das, dass B auch ueberabzaehlbar ist.
> Wenn aber zwei Mengen ueberabzaehlbar sind, heisst das,
> dass sie gleichmaechtigt sind?
> (ich kann mir keine allgemeine bijektive Abb. zwischen
> zwei belibigen ueberabzaehlbaren Mengen vorstellen).
> Ich habe diese Frage...keinen anderen...
Hallo,
wie habt ihr "überabzählbar" bisher definiert?
Sagt dir die Mächtigkeit "c" etwas bzw. "Mächtigkeit des Kontinuums"?
Es gibt eine Menge, die eine noch größere Mächtigkeit als c hat. Ich glaube, das war die Menge aller auf das Intervall [0;1] definierten Funktionen, deren Wertebereich auch das gesamte Intervall [0;1] ist. Diese Mächtigkeit ist sozusagen "c hoch c", und es wurde nachgewiesen, dass sie größer als c ist.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 25.02.2009 | | Autor: | waruna |
Wir haben ueberabzaehlbar unendlich definieren: wenn eine Menge nicht abzaehlbar unendlich ist, aber trotzdem unendlich :). Und abzaehlbar unendlich, dass gleichmaechtig zu N ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um zurück zur Aufgabenstellung zu kommen:
Wenn $A [mm] \subset [/mm] B$ und [mm] $A\,$ [/mm] überabzählbar, dann sind [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] nicht notwendigerweise gleichmächtig.
Betrachte dazu [mm] $B:=\mathcal{P}ot(A) \cup A\,$ [/mm] und erinnere Dich an den Satz, dass es keine Surjektion einer Menge in ihre Potenzmenge gibt. (Notfalls google mal danach: Man beweist dies z.B. so:
Sei [mm] $A\,$ [/mm] eine Menge und angenommen, es gebe eine Surjektion $f: A [mm] \to \mathcal{P}ot(A)\,.$ [/mm] Dann betrachte [mm] $Y:=\{a \in A:\;a \notin f(a)\}\,.$ [/mm] Per Definitionem ist $Y [mm] \in \mathcal{P}ot(A)\,,$ [/mm] wäre also [mm] $\,f$ [/mm] surjektiv, so müßte es ein [mm] $\tilde{a} \in [/mm] A$ geben mit [mm] $f(\tilde{a})=Y\,.$ [/mm] Warum kann es aber kein solches [mm] $\tilde{a} \in [/mm] A$ geben? (Tipp: Fallunterscheidung:
Entweder ist [mm] $\tilde{a} \in [/mm] Y$, oder es ist [mm] $\tilde{a} \in [/mm] A [mm] \setminus Y\,.$ [/mm] In beiden Fällen folgt ziemlich schnell ein Widerspruch, man muss nur genau hingucken!))
Gruß,
Marcel
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> Wir haben zwei Mengen A,B, so dass A [tex]\subset [/tex]B. Wir wissen,
> dass A ueberabzaehlbar ist. Heisst das, dass A und B
> gleichmaechtigt?
nein
> Hallo,
> sicherlich heisst das, dass B auch ueberabzaehlbar ist.
[mm] \red{ja} [/mm]
> Wenn aber zwei Mengen ueberabzaehlbar sind, heisst das,
> dass sie gleichmaechtigt sind?
nein. Beispielsweise sind die Menge [mm] \IR [/mm] der reellen Zahlen und ihre Potenzmenge [mm] \IP(\IR) [/mm] beide überabzählbar, aber nicht gleichmächtig, [mm] \IP(\IR) [/mm] ist mächtiger.
> (ich kann mir keine allgemeine bijektive Abb. zwischen
> zwei belibigen ueberabzaehlbaren Mengen vorstellen).
[mm] \red{Beispiel:}
[/mm]
Das Intervall [mm] ]-\pi|\pi[ [/mm] ist überabzählbar, die reellen Zahlen sind es auch.
Bilde zu jedem [mm] x\in ]-\pi|\pi[ [/mm] den Wert y=tan(x). y durchläuft alle reellen Zahlen. Dadurch bekommst du eine Bijektion zwischen den beiden überabzählbaren Mengen [mm] ]-\pi|\pi[ [/mm] und [mm] \IR.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (ich kann mir keine allgemeine bijektive Abb. zwischen
> > zwei belibigen ueberabzaehlbaren Mengen vorstellen).
>
> [mm]\red{Beispiel:}[/mm]
>
> Das Intervall [mm]]-\pi|\pi[[/mm] ist überabzählbar, die reellen
> Zahlen sind es auch.
>
> Bilde zu jedem [mm]x\in ]-\pi|\pi[[/mm] den Wert y=tan(x). y
> durchläuft alle reellen Zahlen. Dadurch bekommst du eine
> Bijektion zwischen den beiden überabzählbaren Mengen
> [mm]]-\pi|\pi[[/mm] und [mm]\IR.[/mm]
ich möchte noch ein anderes Beispiel ergänzen:
[mm] $$f(x):=\frac{-x}{(x+1)(x-1)}$$
[/mm]
ist eine Bijektion $]-1,1[ [mm] \to \IR\,.$
[/mm]
Um auf die Idee zu kommen, wie man sich eine Bijektion $]a,b[ [mm] \to \IR$ [/mm] hinschreiben kann ($a,b [mm] \in \IR$ [/mm] mit $a < b$), kann es helfen, sich mal die Graphen der beiden Funktion zu veranschaulichen.
Etwas 'unschöner' wird es aber bspw., sich eine Bijektion $[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] hinzuschreiben. Solche eine Funktion kann nämlich schonmal nicht stetig sein (weil stetige Funktionen auf kompakten Mengen beschränkt sind).
Gruß,
Marcel
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