Gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Ich verstehe nicht warum:
f(x) = [mm] e^x [/mm]
x [mm] \in \IR
[/mm]
stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist.
Ich würd mich freuen, wenn mir das wer kurz erklären könnte.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:03 Do 12.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Lu-,
die [mm] \epsilon-\delta [/mm] Definitionen kennst du ja, nehme ich an.
Stetigkeit in Worten heißt ja: wenn sich die x-Werte nur wenig unterscheiden [mm] (\delta), [/mm] dürfen sich die Funktionswerte auch nur wenig [mm] (\epsilon) [/mm] unterscheiden. Dabei gibt man den Unterschied der Fkt.werte vor (das [mm] \epsilon), [/mm] zB [mm] \epsilon=1 [/mm] und kuckt, wie groß der Unterschied der x-Werte (das [mm] \delta) [/mm] noch sein darf.
Beispiel: ist die Funktion eher flach, zB. f(x)=0,1*x , dann dürfen bei [mm] \epsilon [/mm] =1 die x-Werte bis zu 10 auseinanderliegen [mm] (\delta=10)
[/mm]
Ist die Funktion eher steil zb. g(x)=100*x, dann dürfen die x-Werte bei gleichem [mm] \epsilon=1 [/mm] nur [mm] 0,01(=\delta) [/mm] auseinander liegen: [mm] |100x-100x_0|=100|x-x_0|<100*0,01=1=\epsilon.
[/mm]
Hier war das [mm] \delta [/mm] nicht von der Stelle [mm] x_0 [/mm] abhängig, weil jede der Fkten überall die gleiche Steigung hatte.
Du siehst aber, das [mm] \delta [/mm] hing hier von der Steigung der Funktion ab (und natürlich vom vorgegeben [mm] \epsilon). [/mm] Hast du jetzt eine Funktion, die nicht überall die gleiche Steigung hat, wie zB. [mm] f(x)=e^x, [/mm] hängt das [mm] \delta [/mm] eben nicht nur von [mm] \epsilon, [/mm] sondern auch von der betrachteten Stelle [mm] x_0 [/mm] ab, da für verschiedene [mm] x_0, [/mm] sich die Steigung ja ändert. Das ist für normale Stetigkeit erlaubt.
Bei der glm. Stetigkeit jedoch, muß man für den gesamten Bereich, wo die Funktion glm stetig sein soll, ein einziges [mm] \delta [/mm] finden, egal an welcher Stelle [mm] x_0 [/mm] man es betrachtet. Das ist bei [mm] e^x [/mm] nicht so, denn je weiter man nach rechts kommt, desto steiler wird die Funktion und zwar unbegrenzt. Das heißt es wird nie ein einziges [mm] \delta [/mm] genügen.
Glm Stetigkeit hat man zB wenn man eine wenigsten stetige Funktion auf einem abgeschlossenen (und beschränktem) Intervall, zB [0;10] betrachtet. Denn die Fkt. hört bei [mm] x_0=0 [/mm] bzw. [mm] x_0=10 [/mm] auf (jedenfalls für dieses Beispiel) und
*damit ist die Steigung auch beschränkt.*
Edit: Entschuldige.Wie Freds Gegenbeispiel (s.u.) zeigt, ist das so nicht richtig und daher keine gute Idee gewesen, den Unterschied zu erläutern...
Wenn man für die Stelle mit der (betragsmäßig) größten Steigung (,die es ja dann geben muß) ein passendes [mm] \delta [/mm] findet, klappt es auch an Stellen, an denen die Funktion flacher ist. Glm Stetigkeit hat man zB auch, wenn man eine stetige Fkt hat, deren Ableitung sowieso beschränkt ist, ZB sin(x), dann ist die auch gleichmässig stetig.
Ich hoffe, es wurde ein bisschen klarer. Die Andern erklären es dir bestimmt sonst auch noch mal, ich hab die Frage mal nur auf tw. beantwortet gestellt.
Ansonsten empfehle ich auch eine Suche nach "Stetigkeit exp(x)" oder Ähnlichem, dürfte ein paar Treffer liefern
Lg walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Lu-,
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> die [mm]\epsilon-\delta[/mm] Definitionen kennst du ja, nehme ich
> an.
>
> Stetigkeit in Worten heißt ja: wenn sich die x-Werte nur
> wenig unterscheiden [mm](\delta),[/mm] dürfen sich die
> Funktionswerte auch nur wenig [mm](\epsilon)[/mm] unterscheiden.
> Dabei gibt man den Unterschied der Fkt.werte vor (das
> [mm]\epsilon),[/mm] zB [mm]\epsilon=1[/mm] und kuckt, wie groß der
> Unterschied der x-Werte (das [mm]\delta)[/mm] noch sein darf.
>
> Beispiel: ist die Funktion eher flach, zB. f(x)=0,1*x ,
> dann dürfen bei [mm]\epsilon[/mm] =1 die x-Werte bis zu 10
> auseinanderliegen [mm](\delta=10)[/mm]
>
> Ist die Funktion eher steil zb. g(x)=100*x, dann dürfen
> die x-Werte bei gleichem [mm]\epsilon=1[/mm] nur [mm]0,01(=\delta)[/mm]
> auseinander liegen:
> [mm]|100x-100x_0|=100|x-x_0|<100*0,01=1=\epsilon.[/mm]
>
> Hier war das [mm]\delta[/mm] nicht von der Stelle [mm]x_0[/mm] abhängig,
> weil jede der Fkten überall die gleiche Steigung hatte.
> Du siehst aber, das [mm]\delta[/mm] hing hier von der Steigung der
> Funktion ab (und natürlich vom vorgegeben [mm]\epsilon).[/mm] Hast
> du jetzt eine Funktion, die nicht überall die gleiche
> Steigung hat, wie zB. [mm]f(x)=e^x,[/mm] hängt das [mm]\delta[/mm] eben
> nicht nur von [mm]\epsilon,[/mm] sondern auch von der betrachteten
> Stelle [mm]x_0[/mm] ab, da für verschiedene [mm]x_0,[/mm] sich die Steigung
> ja ändert. Das ist für normale Stetigkeit erlaubt.
>
> Bei der glm. Stetigkeit jedoch, muß man für den gesamten
> Bereich, wo die Funktion glm stetig sein soll, ein einziges
> [mm]\delta[/mm] finden, egal an welcher Stelle [mm]x_0[/mm] man es
> betrachtet. Das ist bei [mm]e^x[/mm] nicht so, denn je weiter man
> nach rechts kommt, desto steiler wird die Funktion und zwar
> unbegrenzt. Das heißt es wird nie ein einziges [mm]\delta[/mm]
> genügen.
>
> Glm Stetigkeit hat man zB wenn man eine wenigsten stetige
> Funktion auf einem abgeschlossenen (und beschränktem)
> Intervall, zB [0;10] betracht. Denn die Fkt. hört bei
> [mm]x_0=0[/mm] bzw. [mm]x_0=10[/mm] auf (jedenfalls für dieses Beispiel) und
> damit ist die Steigung auch beschränkt. Wenn man für die
> Stelle mit der (betragsmäßig) größten Steigung (,die es
> ja dann geben muß)
Unsinn !!!
Sei f(x):= [mm] x^{3/2}*sin(1/x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] (0,10] und f(0):=0
Dann ist f stetig auf [0,10], also auch glm. stetig auf [0,10]
Weiter ist f auf [0,10] differenzierbar. Aber:
[mm] $|f'(\bruch{1}{n \pi})|= \wurzel{n \pi}$ [/mm] für jedes n.
Also nix mit "beschränkter Steigung" etc...
FRED
> ein passendes [mm]\delta[/mm] findet, klappt es
> auch an Stellen, an denen die Funktion flacher ist. Glm
> Stetigkeit hat man zB auch, wenn man eine stetige Fkt hat,
> deren Ableitung sowieso beschränkt ist, ZB sin(x), dann
> ist die auch gleichmässig stetig.
>
>
> Ich hoffe, es wurde ein bisschen klarer. Die Andern
> erklären es dir bestimmt sonst auch noch mal, ich hab die
> Frage mal nur auf tw. beantwortet gestellt.
>
> Ansonsten empfehle ich auch eine Suche nach "Stetigkeit
> exp(x)" oder Ähnlichem, dürfte ein paar Treffer liefern
>
> Lg walde
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Do 12.01.2012 | | Autor: | Lu- |
danke für die Antwort ;)
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:35 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an [mm] f(x)=e^x [/mm] sei auf [mm] \IR [/mm] glm. stetig. Zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] gibt es dann ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
(*) [mm] |e^y-e^x|<1 [/mm] für alle x,y mit |x-y|< [mm] \delta
[/mm]
Sei x [mm] \in \IR [/mm] . Setze [mm] y=x+\delta/2. [/mm] Aus (*) folgt dann:
[mm] e^x(e^{\delta/2}-1)<1.
[/mm]
Kann das gut gehen ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:52 Do 12.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> Wir nehmen an [mm]f(x)=e^x[/mm] sei auf [mm]\IR[/mm] glm. stetig. Zu
> [mm]\varepsilon=1[/mm] gibt es dann ein [mm]\delta>0[/mm] mit:
>
> (*) [mm]|e^y-e^x|<1[/mm] für alle x,y mit |x-y|< [mm]\delta[/mm]
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> Sei x [mm]\in \IR[/mm] . Setze [mm]y=x+\delta/2.[/mm] Aus (*) folgt dann:
>
> [mm]e^x(e^{\delta/2}-1)<1.[/mm]
>
> Kann das gut gehen ?
Hi,
1te Faktor kann beliebig groß werden
2te Faktor ist größer als 0.
Kann ich mir dass auch geometrisch (an den Grapen) ablesen/sehen, dass der Graph nicht gleichmäßig stetig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 14.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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