Gleichmäßige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Do 25.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Betrachten Sie die folgenden Funktionenfolgen:
(i) [mm] f_n(x) = \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{(2k)!} x^{2k} [/mm]
(ii) [mm] f_n(x) = n \cdot \max \{0, 1 - n^2x^2 \} [/mm] für [mm] x \ne 0 [/mm] und [mm] f(0)=0 [/mm]
Untersuchen Sie, ob
[mm] \integral_{0}^1 \limes_{ n \to \infty } f_n(x) dx = \limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^1 f_n(x) dx [/mm] |
Hallo alles zusammen!
Ich habe mit dieser Aufgabe leider ziemliche Schwierigkeiten. Ich weiß, dass ich hier untersuchen muss, ob die beiden angegebenen Funktionenfolgen gleichmäßig konvergent sind, denn nur unter dieser Bedingung würde die untere Gleichung erfüllt sein.
So, aber ich hatte schon immer Schwierigkeiten gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Ich kenne die Definition, und ich weiß auch, dass bei der gleichmäßigen Konvergenz das N nur vom [mm] \epsilon [/mm] und nicht vom x abhängt, dennnoch weiß ich nicht wie ich anfangen soll...
Bei der Funktionenfolge (i) würde sich, wenn man noch in die Summe [mm] k = 0 [/mm] zufügen würde um die Cosinus - Reihe handeln, aber ich weiß garnicht, ob mir das was bringt... Und was mir später noch KOpfzerbrechen bereiten würde ist, dass ich nicht genau wüsste wie ich über diese Summe und auch über (ii) integrieren soll... Von Wegen Stammfunktion und so....
Ich hoffe, jemand kann mir dabei behilflich sein!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Betrachten Sie die folgenden Funktionenfolgen:
>
> (i) [mm]f_n(x) = \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^n}{(2k)!} x^{2k}[/mm]
>
> (ii) [mm]f_n(x) = n \cdot \max \{0, 1 - n^2x^2 \}[/mm] für [mm]x \ne 0[/mm] und [mm]f(0)=0[/mm]
>
> Untersuchen Sie, ob
>
> [mm]\integral_{0}^1 \limes_{ n \to \infty } f_n(x) dx = \limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^1 f_n(x) dx[/mm]
> Hallo alles zusammen!
>
> Ich habe mit dieser Aufgabe leider ziemliche
> Schwierigkeiten. Ich weiß, dass ich hier untersuchen muss,
> ob die beiden angegebenen Funktionenfolgen gleichmäßig
> konvergent sind, denn nur unter dieser Bedingung würde die
> untere Gleichung erfüllt sein.
Sollst du wirklich die gleichmäßige Konvergenz zeigen, oder nur nachrechnen, ob Limes und Integration vertauscht werden dürfen, also ob beide Seiten dasselbe ergeben?
Du hast natürlich recht, dass gleichmäßige Konvergenz ausreicht. Wenn also verschiedene Dinge herauskommen, dann konvergiert die Funktionenreihe nicht gleichmäßig.
> So, aber ich hatte schon immer Schwierigkeiten
> gleichmäßige Konvergenz zu zeigen. Ich kenne die
> Definition, und ich weiß auch, dass bei der gleichmäßigen
> Konvergenz das N nur vom [mm]\epsilon[/mm] und nicht vom x abhängt,
> dennnoch weiß ich nicht wie ich anfangen soll...
>
> Bei der Funktionenfolge (i) würde sich, wenn man noch in
> die Summe [mm]k = 0[/mm] zufügen würde um die Cosinus - Reihe
> handeln, aber ich weiß garnicht, ob mir das was bringt...
Ich nehme an, es soll in der Definition [mm](-1)^k[/mm] heissen, nicht [mm](-1)^n[/mm].
Dann hast du in (i): [mm]\limes_{ n \to \infty } f_n(x) = \cos x -1[/mm].
Außerdem konvgieren Potenzreihen immer gleichmäßig (wenn überhaupt), die Cosinusreihe sogar in ganz [mm]\IR[/mm] (oder [mm]\IC[/mm]).
Das würde ich an deiner Stelle nachrechnen: einmal das Integral über den Grenzwert bilden, im anderen Fall erst (gliedweise) integrieren und dann den Grenzwert bilden.
> Und was mir später noch KOpfzerbrechen bereiten würde ist,
> dass ich nicht genau wüsste wie ich über diese Summe und
> auch über (ii) integrieren soll... Von Wegen Stammfunktion
> und so....
Aufmalen hilft. Bei (ii) geht es um die Funktion [mm]n*(1-n^2x^2)[/mm], wobei der Teil unterhalb der x-Achse (also dort wo [mm]1-n^2x^2 < 0[/mm] ist) abgeschnitten und durch 0 ersetzt wird. Überlege dir, für welche x-Werte das der Fall ist, dann kannst du die Funktion als Fallunterscheidung formulieren, und damit den Grenzwert die Stammfunktion ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Do 25.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Rainer!
So, ich habe mich jetzt an der Teilaufgabe (i) versucht, und bin mir nicht ganz sicher, was mein Ergebnis angeht.. .
Also:
[mm] \limes_{ n \to \infty } f_n(x) = \limes_{n \to \infty } \summe_{ k=1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \cos x - 1 [/mm]
Da ich davon ausgehe, dass hier gelcihmäßige Konvergenz vorliegt, müsste ich auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis herausbekommen.
Auf der einen Seite sieht es so aus:
[mm] \integral_{0}^1 \limes_{ n \to \infty } f_n(x) dx = \integral_{0}^1 \cos x - 1 dx = \sin(1) - 1 [/mm]
Auf der anderen Seite muss ich ja erstmal gliedweise integrieren und dann den Limes darauf anwenden und komme auf dieses Integral:
[mm] \limes_{n \to \infty } \integral_{0}^1 f_n(x) dx = \limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^1 \summe_{ k=1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} dx = \limes_{ n \to \infty } \summe_{ k=1 }^n \integral_{0}^1 \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} dx = \limes_{ n \to \infty } \summe_{ k = 1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k + 1)!} x^{2k + 1} = \sin(1) - 1 [/mm]
Die Summe ist meiner Meinung nach die Sinusreihe minus x. Und somit müsste ja die Gleichung erfüllt sein. Also heißt das auch, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert! Ist das alles so o.k?
An die Teilaufgabe (ii) werde ich mich jetzt versuchen, und mich ggf bei weiteren Unklarheiten melden!
Danke nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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Hi,
> Hallo Rainer!
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> So, ich habe mich jetzt an der Teilaufgabe (i) versucht,
> und bin mir nicht ganz sicher, was mein Ergebnis angeht..
> .
>
> Also:
>
> [mm]\limes_{ n \to \infty } f_n(x) = \limes_{n \to \infty } \summe_{ k=1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = \cos x - 1[/mm]
>
> Da ich davon ausgehe, dass hier gelcihmäßige Konvergenz
> vorliegt, müsste ich auf beiden Seiten das gleiche
> Ergebnis herausbekommen.
>
> Auf der einen Seite sieht es so aus:
>
> [mm]\integral_{0}^1 \limes_{ n \to \infty } f_n(x) dx = \integral_{0}^1 \cos x - 1 dx = \sin(1) - 1[/mm]
>
> Auf der anderen Seite muss ich ja erstmal gliedweise
> integrieren und dann den Limes darauf anwenden und komme
> auf dieses Integral:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty } \integral_{0}^1 f_n(x) dx = \limes_{ n \to \infty } \integral_{0}^1 \summe_{ k=1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} dx = \limes_{ n \to \infty } \summe_{ k=1 }^n \integral_{0}^1 \bruch{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} dx = \limes_{ n \to \infty } \summe_{ k = 1 }^n \bruch{(-1)^k}{(2k + 1)!} x^{2k + 1} = \sin(1) - 1[/mm]
>
> Die Summe ist meiner Meinung nach die Sinusreihe minus x.
> Und somit müsste ja die Gleichung erfüllt sein. Also heißt
> das auch, dass die Funktionenfolge gleichmäßig konvergiert!
> Ist das alles so o.k?
>
Das sieht absolut richtig aus, ja. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> An die Teilaufgabe (ii) werde ich mich jetzt versuchen, und
> mich ggf bei weiteren Unklarheiten melden!
>
> Danke nochmal!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Also, ich habe mir Gedanken dazu gemacht und bin noch leider nicht zu einem befriedigendem Ergebnis gekommen :-(.
Ich bin der Meinung, dass die Funktionenfolge für [mm] x < \bruch{1}{n} [/mm] insgesamt [mm] 0 [/mm] ist und für [mm] x > \bruch{1}{n} [/mm] die folgende Struktur hat:
[mm] f_n(x) = n \cdot ( 1 - n^2x^2) [/mm] für [mm] x > \bruch{1}{n} [/mm]
Wenn ich jetzt mit dieser Funktion weiterarbeite komme ich leider nicht richtig weiter bei der Integration.
Wenn ich das Integral über den Limes für [mm] n \to \infty [/mm] von dieser Funktion bilde, die ja für [mm] n \to \infty [/mm] gegen [mm] - \infty [/mm] läuft, dann sehe ich leider nicht wie ich da zu einem Ergebnis komme.... Ich versuche dann über minus Unendlich zu integrieren.... Das geht ja nicht...
Wenn ich aber erst die Funktion integriere und dann den Grenzwert darauf anwende, dann komm ich auf das Ergebnis [mm] - \infty [/mm] ..
Wo liegt mein Fehler???
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo Irmchen,
> Hallo!
>
> Also, ich habe mir Gedanken dazu gemacht und bin noch
> leider nicht zu einem befriedigendem Ergebnis gekommen
> :-(.
>
> Ich bin der Meinung, dass die Funktionenfolge für [mm]x < \bruch{1}{n}[/mm]
> insgesamt [mm]0[/mm] ist und für [mm]x > \bruch{1}{n}[/mm] die folgende
> Struktur hat:
>
> [mm]f_n(x) = n \cdot ( 1 - n^2x^2)[/mm] für [mm]x > \bruch{1}{n}[/mm]
>
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") da liegt schon der fehler... fuer x>1/n ist die funktion trivial, da sie bei 0 abgeschnitten wird, der interessante teil spielt sich zwischen 0 und 1/n ab.
> Wenn ich jetzt mit dieser Funktion weiterarbeite komme ich
> leider nicht richtig weiter bei der Integration.
>
> Wenn ich das Integral über den Limes für [mm]n \to \infty[/mm] von
> dieser Funktion bilde, die ja für [mm]n \to \infty[/mm] gegen [mm]- \infty[/mm]
> läuft, dann sehe ich leider nicht wie ich da zu einem
> Ergebnis komme.... Ich versuche dann über minus Unendlich
> zu integrieren.... Das geht ja nicht...
>
> Wenn ich aber erst die Funktion integriere und dann den
> Grenzwert darauf anwende, dann komm ich auf das Ergebnis [mm]- \infty[/mm]
> ..
>
> Wo liegt mein Fehler???
>
> Viele Grüße
> Irmchen
ich denke, jetzt solltest du das richtige ergebnis erhalten. 
gruss
matthias
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