Gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Nilez |
Hallo!
Hab ein Beispiel zum Thema Funktionenreihen und glm. Konvergenz gerechnet und
würde mich über eine allfällige Korrektur sehr freuen!
Gegeben:
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n³ \wurzel{n}}
[/mm]
Der von mir, durch Quotientenkriterium, ermittelte Konvergenzbereich entspricht:
[mm] x\in[-3,-1]\subseteq\IR [/mm] für absolute Konvergenz.
Glm. Konvergenz:
Nun verwende ich das Majorantenkriterium von Weierstraß, also versuche ich eine,
von x unabhängige Zahlenreihe, welche konvergente Majorante der gegebenen ist, zu finden:
Diese ist, für die [mm] x\in[-3,-1]\subseteq\IR:
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{1}{n³} [/mm] ... hyperharm. Reihe
Also ist die glm. Konvergenz für [mm] x\in[-3,-1]\subseteq\IR [/mm] gesichert!?
Ist mein Vorgehen korrekt, und vor allem: ausreichend?
Eine Frage noch:
Wie kann ich allgemein oder auf dieses Beispiel bezogen, die Stetigkeitsintervalle der Grenzfunktion bestimmen?
Ist das nicht der Bereich der glm. Konvergenz?
Danke,
Nilez
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Hallo.
Der Konvergenzbereich ist richtig, nur müßtest Du im Ernstfall darauf achten, was mit den Randstellen deines Konvergenzbereiches ist, denn darüber macht die Formael von Cauchy-Hadamard keine Aussage.
In deinem Fall hast Du sowohl links als auch rechts [mm]\Sigma \bruch{1}{n^3}[/mm] als Majorante, wobei die Reihe für x=-3, also am linken Rand auch schon nach Leibnitz-Kriterium konvergieren würde...
Was Du bei der gleichmäßigen Konvergenz gemacht hast, verstehe ich allerdings nicht so ganz, denn Du mußt ja eigentlich zeigen:
[mm]f_N(x)=\summe_{n=1}^{ N} \bruch{(x+2)^{3n}}{n³ \wurzel{n}}[/mm], [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(x+2)^{3n}}{n³ \wurzel{n}}[/mm],
[mm]f_N \to f[/mm] gleichmäßig, das heißt
[mm]\forall \epsilon>0 \exists N \in \IN \mbox{ mit } \forall n\ge N: |f_n(x)-f(x)|<\epsilon [/mm]...
Gruß,
Christian
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