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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Do 10.04.2008 | | Autor: | Casy |
| Aufgabe | Zu zeigen: 1) [mm] f_{n}=\wurzel{t^{2}+1/n^{2}} [/mm] konv. gleichmäßig gegen f=|t|.
2) [mm] f_{n}=n/(n^{2}+x^{2}) [/mm] konv. glm. gegen f=0 |
Hallo!
Ich habe wiedermal eine Frage zur gleichmäßigen Konvergenz.
Die Definition kenne ich und habe ich auch verstanden:
Für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 gibt es ein $ [mm] n_{0}\in\IN [/mm] $ für alle $ [mm] x\inM [/mm] $ für alle $ [mm] n\gen_{0}, [/mm] $ so dass gilt: $ [mm] If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon [/mm] $
das heißt: das $ [mm] n_{0} [/mm] $ hängt NICHT vom x ab.
Nun habe ich manchmal Schwierigkeiten, ein passendes [mm] n_{0} [/mm] zu finden. Hilft es evtl., [mm] If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon [/mm] abzuschätzen, so dass x verschwindet (da [mm] n_{0} [/mm] unabhängig von x sein muss) und dann nach n aufzulösen?
Oder gibt es einen Trick, wie man ein passendes [mm] n_{0} [/mm] einfach findet?
Zweite Frage: es gibt ja auch, alternativ zu der [mm] n_{0}-Suche, [/mm] Folgendes, um glm. Konv. zu zeigen:
[mm] f_{n} [/mm] konv. glm. gegen f
[mm] \gdw [/mm] Für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] für alle [mm] n\gen_{0}: supIf_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw lim(supIf_{n}(x)-f(x)I)=0.
[/mm]
Heißt das, ich muss einfach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}If_{n}(x)-f(x)I, [/mm] und wenn lim=0, dann ist [mm] f_{n} [/mm] glm. konv.?
und wie komme ich am schlauesten auf das sup?
Bei Aufg. 2) habe ich abgeschätzt: [mm] |n/(n^{2}+x^{2})|\le|n/n^{2}|=|1/n|; [/mm] Sei [mm] n_{0}:=1/\varepsilon \Rightarrow |1/n_{0}|=\varepsilon, [/mm] also glm. konv.
RICHTIG??
Bei Aufg. 1) Kann man auch mit 1/n abschätzen.
ABER: Geht auch, einfach für [mm] |\wurzel{t^{2}+1/n^{2}}-|t|| [/mm] und [mm] |n/(n^{2}+x^{2})| \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] zu bestimmen?
Der ist nämlich =0, d.h. irgendwo ist ja dieses [mm] n_{0}, [/mm] für das die [mm] Beträge<\varepsilon [/mm] werden. Geht das auch?
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand sagen würde, ob ich richtig gedacht habe!!
Grüße und Danke schonmal!
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> Zu zeigen: 1) [mm]f_{n}=\wurzel{t^{2}+1/n^{2}}[/mm] konv.
> gleichmäßig gegen f=|t|.
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> 2) [mm]f_{n}=n/(n^{2}+x^{2})[/mm] konv. glm. gegen f=0
> Hallo!
>
> Ich habe wiedermal eine Frage zur gleichmäßigen
> Konvergenz.
> Die Definition kenne ich und habe ich auch verstanden:
> Für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]n_{0}\in\IN[/mm] für alle
> [mm]x\inM[/mm] für alle [mm]n\gen_{0},[/mm] so dass gilt: [mm]If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon[/mm]
>
> das heißt: das [mm]n_{0}[/mm] hängt NICHT vom x ab.
Hallo,
genau. Da liegt der Unterschied zur punktweisen Konvergenz.
>
> Nun habe ich manchmal Schwierigkeiten, ein passendes [mm]n_{0}[/mm]
> zu finden. Hilft es evtl., [mm]If_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon[/mm]
> abzuschätzen, so dass x verschwindet (da [mm]n_{0}[/mm] unabhängig
> von x sein muss) und dann nach n aufzulösen?
Ja, so macht man das.
> Oder gibt es einen Trick, wie man ein passendes [mm]n_{0}[/mm]
> einfach findet?
Ich glaube nicht, daß es dafür ein immer gültiges Kochrezept gibt. Man kann es ja mit sehr verschiedenen Funktionenfolgen zu tun haben.
>
> Zweite Frage: es gibt ja auch, alternativ zu der
> [mm]n_{0}-Suche,[/mm] Folgendes, um glm. Konv. zu zeigen:
> [mm]f_{n}[/mm] konv. glm. gegen f
> [mm]\gdw[/mm] Für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]n_{0}\in\IN[/mm] für
> alle [mm]n\gen_{0}: supIf_{n}(x)-f(x)I \le \varepsilon[/mm]
> [mm]\gdw lim(supIf_{n}(x)-f(x)I)=0.[/mm]
>
> Heißt das, ich muss einfach
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}If_{n}(x)-f(x)I,[/mm] und wenn lim=0,
> dann ist [mm]f_{n}[/mm] glm. konv.?
Nein. Wenn Du zeigst, daß für alle x [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}If_{n}(x)-f(x)|=0 [/mm] richtig ist, hast Du ja die punktweise Konvergenz gezeigt.
Du mußt für glm Konvergenz erst das Supremum berechnen, und davon dann den Grenzwert.
> und wie komme ich am schlauesten auf das sup?
das ist dieselbe Frage wie oben.
Ich zweifle daran, daß es ein verbindliches Kochrezept gibt.
>
> Bei Aufg. 2) habe ich abgeschätzt:
> [mm]|n/(n^{2}+x^{2})|\le|n/n^{2}|=|1/n|;[/mm] Sei
> [mm]n_{0}:=1/\varepsilon \Rightarrow |1/n_{0}|=\varepsilon,[/mm]
> also glm. konv.
> RICHTIG??
Ja.
So schreibst Du das natürlich nicht auf.
Du schreibst: sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] n_{0}:=1/\varepsilon.
[/mm]
Für alle x und für alle [mm] n
[mm] ...<\varepsilon [/mm] ==> glm konvergent.
>
> Bei Aufg. 1) Kann man auch mit 1/n abschätzen.
>
> ABER: Geht auch, einfach für [mm]|\wurzel{t^{2}+1/n^{2}}-|t||[/mm]
> und [mm]|n/(n^{2}+x^{2})| \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] zu
> bestimmen?
> Der ist nämlich =0, d.h. irgendwo ist ja dieses [mm]n_{0},[/mm] für
> das die [mm]Beträge<\varepsilon[/mm] werden. Geht das auch?
Nein. Damit hast Du nur punktweise Konvergenz.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Do 10.04.2008 | | Autor: | Casy |
OK, Danke!!
Dann hoffe ich einfach, dass ich die Abschätzung und das passende [mm] n_{0} [/mm] einfach "sehe".
Vielen dank nochmal!
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