Gleichmäßige Konvergenz Funkt. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei [mm](f_n)_{n \geq 1}[/mm] mit [mm]f_n \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/mm], [mm]f_n(x) := \frac{|x|^n}{3+|x|^n}[/mm] gegeben.
(a) Sei [mm]q>1[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm](f_n)_{n \geq 1}[/mm] auf [mm]\{x \in \mathbb{R}; |x| \geq q}[/mm] und auf [mm]\{x \in \mathbb{R}; |x| \leq \frac{1}{q}\}[/mm] gleichmäßig konvergiert
(b) Konvergiert [mm](f_n)_{n\geq 1}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\mathbb{R}[/mm]?
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Rechne gerade alte Klausuraufgaben, leider ohne Lösung. Daher die Bitte an Euch einmal durchzusehen ob alles richtig ist.
Meine Vorgehensweise war wie folgt:
1. Bestimme mögliche Grenzfunktion von [mm]f_n(x)[/mm] (in Abhängigkeit der vorgegebenen Intervalle).
2. Untersuche den Abstand von [mm]f_n(x)[/mm] zu diesen Grenzfunktionen.
Also:
[mm]f_n[/mm] konvergiert glm [mm]\gdw[/mm] [mm] $$\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \geq [/mm] 1$$ so dass [mm] $$\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D : [mm] \|f_n(x)-f(x)\| [/mm] < [mm] \epsilon$$. [/mm] Wobei D entsprechend eines der obigen Intervalle ist.
Also was ist f(x)?:
[mm] $$f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{|x|^n}{3+|x|^n} [/mm] = [mm] \frac{\frac{|x|^n}{|x|^n}}{\frac{3}{|x|^n}+\frac{|x|^n}{|x|^n}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{3}{|x|^n}+1}$$
[/mm]
Nun die Fallunterscheidung:
Für $|x| > 1$ divergiert [mm] $|x|^n$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$ [/mm] also konvergiert [mm] $\frac{3}{|x|^n}$ [/mm] gegen 0. Und somit existiert der Grenzwert
[mm] $$f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{3}{|x|^n}+1} \to \frac{1}{0+1} [/mm] = 1$$
Für $|x| < 1$ konvergiert [mm] $|x|^n$ [/mm] gegen $0$. also divergiert [mm] $\frac{3}{|x|}$ [/mm] gegen $+infty$.
Und somit existiert der Grenzwert
[mm] $$f_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{\frac{3}{|x|^n}+1} \to \frac{1}{\infty+1} [/mm] = 0$$
Wir haben also zwei verschiedene Grenzfunktion. Die Grenzfunktion ist also nicht stetig. Insbesondere konvergiert sie nicht gleichmäßig auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] (Aufgabenteil (b)).
Soweit so gut.
Ich betrachte also nun den Abstand von [mm] $f_n(x)$ [/mm] zur entsprechenden Grenzfunktion. Dieser muss für gleichmäßige Stetigkeit kleiner $epsilon$ werden, also gegen 0 konvergieren.
Für $|x| > 1$ war die Grenzfunktion $f(x) = 1$. Also betrachte ich
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| [/mm] = | [mm] \frac{|x|^n}{3+|x|^n} [/mm] - 1 | = [mm] |\frac{|x|^n-3-|x|^n}{3+|x|^n}| [/mm] = [mm] |\frac{-3}{3+|x|^n}$$
[/mm]
Da [mm] $|x|^n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, konvergiert der gesamte Ausdruck gegen $0$. Also
[mm] $|f_n(x)-f(x)| \to [/mm] 0$ bzw äquivalent [mm] $|f_n(x)-f(x) [/mm] < [mm] \epsilon$ \forall \epsilon [/mm] > 0 für hinreichend großes $n$.
Für $|x| < 1$ war die Grenzfunktion $f(x) = 0$. Also betrachte ich
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| [/mm] = | [mm] \frac{|x|^n}{3+|x|^n} [/mm] - 0 | = [mm] |\frac{|x|^n}{3+|x|^n}$$
[/mm]
Da [mm] $|x|^n$ [/mm] gegen $0$ konvergiert, konvergiert der gesamte Ausdruck gegen [mm] $\frac{0}{3+0}=0$. [/mm] Also [mm] $|f_n(x)-f(x)| \to [/mm] 0$ bzw äquivalent [mm] $|f_n(x)-f(x) [/mm] < [mm] \epsilon$ \forall \epsilon [/mm] > 0 für hinreichend großes $n$.
Damit ist (a) gezeigt
(b) siehe oben. Die Grenzfunktion ist nicht stetig. Es gilt nämlich
$$f(x) = [mm] \begin{cases}
1 & \text{für } |x|>1\\
0 & \text{für } |x|<1\\
c & \text{für } |x = 1
\end{cases}$$
[/mm]
Für kein $c$ ist die Grenzfunktion $f(x)$ stetig, also konvergiert sie nicht gleichmäßig!
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Huhu,
na dann wollen wir uns dem mal annehmen 
> Meine Vorgehensweise war wie folgt:
> 1. Bestimme mögliche Grenzfunktion von $ [mm] f_n(x) [/mm] $ (in Abhängigkeit der vorgegebenen Intervalle).
> 2. Untersuche den Abstand von $ [mm] f_n(x) [/mm] $ zu diesen Grenzfunktionen.
Das ist schonmal sehr sinnvoll.
Ein paar Hinweise: Deine Definition von Gleichmäßiger Konvergenz ist korrekt, jedoch scheinst du sie noch nicht verstanden zu haben, da du sie falsch anwendest. Dazu jedoch später mehr.
Deine Herleitung der Grenzfunktion ist ebenfalls nicht ganz sauber, da du $x=0$ komplett ignorierst. Dafür gehen deine Umformungen nicht und die Stelle müsstest du gesondert untersuchen.
Das ändert in diesem Fall zwar nichts am Ergebnis, bei einer anderen Funktion aber möglicherweise schon, wie du am Beispiel
[mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{nx}{1+nx}$
[/mm]
erkennen kannst. Machst du es da wie bei dieser Aufgabe, erhälst du eine falsche Grenzfunktion.
Daher heisst es: Aufpassen.
Ansonsten ist deine Grenzfunktion korrekt
> Wir haben also zwei verschiedene Grenzfunktion. Die Grenzfunktion ist also nicht stetig. Insbesondere konvergiert sie nicht gleichmäßig auf ganz $ [mm] \mathbb{R} [/mm] $ (Aufgabenteil (b)).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst natürlich noch begründen, WARUM bei gleichmäßiger Konvergenz die Grenzfunktion stetig sein müsste.
So, nun zu deinem Defizit:
Das [mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] werden muss, gilt auch für punktweise Konvergenz.
Wo ist denn der Unterschied zur gleichmäßigen Konvergenz?
Die wird bei deiner Argumentation in keiner Art und Weise deutlich (zumal übrigens die Funktion gar nicht auf beiden Mengen glm. konvergiert , sondern nur auf einer von beiden).
Wenn du den Unterschied zwischen glm. Konvergenz und punktweiser verstanden hast, wird dir bestimmt auch auffallen, welche von beiden
MFG,
Gono.
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> Huhu,
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> na dann wollen wir uns dem mal annehmen
>
> > Meine Vorgehensweise war wie folgt:
>
> > 1. Bestimme mögliche Grenzfunktion von [mm]f_n(x)[/mm] (in
> Abhängigkeit der vorgegebenen Intervalle).
> > 2. Untersuche den Abstand von [mm]f_n(x)[/mm] zu diesen
> Grenzfunktionen.
>
> Das ist schonmal sehr sinnvoll.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Also wir haben im Skript den Satz
"Die Funktionenfolge [mm](f_n)_{n \geq 1}[/mm] auf D konvergiert genau dann gleichmäßig gegen [mm]f : D \to \mathbb{R}[/mm], wenn [mm]\lim_{n \to \infty} \|f_n - f \| = 0[/mm]."
Damit habe ich eigentlich gearbeitet.
> Dazu jedoch später mehr.
>
> Deine Herleitung der Grenzfunktion ist ebenfalls nicht ganz
> sauber, da du [mm]x=0[/mm] komplett ignorierst.
ok das stimmt!
Nachtrag:
Für [mm]x=0[/mm] gilt
[mm]f_n(0) = \frac{0}{3+0} = 0[/mm]. Dies entspricht aber genau der Grenzfunktion die ich für die restlichen x aus der Teilmenge ([mm]|x| \leq \frac{1}{q}[/mm]) gefunden hab. Also ist das kein Problem.
> Ansonsten ist deine Grenzfunktion korrekt
> Du musst natürlich noch begründen, WARUM bei
> gleichmäßiger Konvergenz die Grenzfunktion stetig sein
> müsste.
Die Begründung ist wieder ein Satz aus dem Skript:
"Es sei [mm](f_n)_(n\geq 1)[/mm] eine Folge stetiger Funktionen. Wenn [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig gegen [mm]f[/mm] konvergiert, dann ist [mm]f[/mm] stetig."
Ok als Begründung fehlt also noch, dass jedes [mm]f_n[/mm] auch schon stetig ist. Nun dies gilt da [mm]f_n[/mm] als Verkettung stetiger Funktionen stetig ist.
> So, nun zu deinem Defizit:
>
> Das [mm]|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon[/mm] werden muss, gilt auch
> für punktweise Konvergenz.
> Wo ist denn der Unterschied zur gleichmäßigen
> Konvergenz?
bei punktweise gilt es für festes x. Bei gleichmäßiger muss unabhängig von x die gleiche Grenzfunktion herauskommen.
> Die wird bei deiner Argumentation in keiner Art und Weise
> deutlich (zumal übrigens die Funktion gar nicht auf beiden
> Mengen glm. konvergiert , sondern nur auf einer von
> beiden).
<img src="/editor/extrafiles/images/haee.gif" _cke_saved_src="/editor/extrafiles/images/haee.gif" title="haee.gif" alt="haee.gif" _cke_realelement="true">
Sicher? Also laut Aufgabenstellung ist sie auf beiden gleichmäßig konvergent! Nur eben auf ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] nicht!
> Wenn du den Unterschied zwischen glm. Konvergenz und
> punktweiser verstanden hast, wird dir bestimmt auch
> auffallen, welche von beiden
öhm... nein! Ich habe doch für beide Teilmengen zeigen können dass [mm]\lim_{n \to infty}\|(f_n)_{n\geq 1} - f(x)\| = 0[/mm] gilt (Für das jeweils entsprechende [mm]f(x)[/mm].
> MFG,
> Gono.
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Huhu,
> Also wir haben im Skript den Satz
> "Die Funktionenfolge $ [mm] (f_n)_{n \geq 1} [/mm] $ auf D konvergiert genau dann gleichmäßig gegen $ f : D [mm] \to \mathbb{R} [/mm] $, wenn $ [mm] \lim_{n \to \infty} \|f_n [/mm] - f [mm] \| [/mm] = 0 $."
> Damit habe ich eigentlich gearbeitet.
Der Satz ist ja auch korrekt, allerdings scheinst du ihn nicht verstanden zu haben
Dort steht: [mm] $||f_n [/mm] - f||$, gemeint ist [mm] ${||f_n - f||}_\infty [/mm] = [mm] \sup_{x\in D}|f_n(x) [/mm] - f(x)|$.
Du hast nur gezeigt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} |f_n(x) [/mm] - f(x) | = 0$ gilt, was punktweise Konvergenz bedeutet.
Erkennst du den Unterschied?
Und offensichtlich gilt für $|x| > 1: [mm] \lim_{n \to \infty} \|f_n [/mm] - f [mm] \| [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \not= [/mm] 0$
> Ok als Begründung fehlt also noch, dass jedes $ [mm] f_n [/mm] $ auch schon stetig ist. Nun dies gilt da $ [mm] f_n [/mm] $ als Verkettung stetiger Funktionen stetig ist.
Ja, wobei mir der Hinweis, dass jedes [mm] f_n [/mm] stetig ist, ausgereicht hätte  Aber nichtmal das stand ja da.
> bei punktweise gilt es für festes x. Bei gleichmäßiger muss unabhängig von x die gleiche Grenzfunktion herauskommen.
Öhm, nein. Die Grenzfunktion an der Stelle x hängt immer von x ab..... aber die Wahl von $N > 0$ ist bei gleichmäßiger Konvergenz nicht von der Stelle abhängig, sondern kann für alle x gleich gewählt werden!
In Quantoren drückt sich das wie folgt aus, die sehen bei der punktweisen Konvergenz wie folgt aus (ich lass Details mal weg):
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D [mm] \exists [/mm] N [mm] \geq [/mm] 1 $
Bei gleichmäßiger Konvergenz:
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \geq [/mm] 1 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D $
Ich hoffe der Unterschied ist dir (nicht nur der Formel nach) klar.
Die Wahl von N kann einmal von x abhängen und einmal darf sie es nicht!
Dies drückt sich dann darin aus, dass eben auch das Supremum vom Abstand gegen 0 geht, d.h. von der Stelle unabhängig, denn wenn das Supremum vom Abstand gegen 0 geht, geht es eben für jede Stelle x gegen Null.
MFG,
Gono.
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Also ich hab gerade nochmal mit einem Kommilitonen die Aufgabe durchgesprochen, und wir sind uns sicher dass man NICHT mit der Supremumsnorm arbeiten muss. Warum?
1. Die Aufgabe lautet "Zeigen Sie"... Also sollte man das geforderte auch zeigen können.
2. Bei einer anderen Aufgabe dieser Klausur wird explizit erwähnt, dass bei dieser Aufgabe die Supremumsnorm verwendet wird (was hier ja nicht der Fall ist).
3. Haben wir das in den Übungen auch so gemacht.
4. Hier eine Musterlösung mit einer ähnlichen Aufgabe der Uni Ulm wo auch nur mit dem Betrag gearbeitet wird:
www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ws09/Analysis1/uebungen/uebung12_lsg.pdf
Eventuell gibt es ja auch je nach Uni verschiedene Definitionen (wäre nicht das erste mal), denn bei Wikipedia steht so wie du sagst, dass die Supremumsnorm immer verwendet wird.
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> Also ich hab gerade nochmal mit einem Kommilitonen die
> Aufgabe durchgesprochen, und wir sind uns sicher dass man
> NICHT mit der Supremumsnorm arbeiten muss. Warum?
Stimmt, muss man auch nicht, viele Wege führen nach Rom.
Einzig bei der Definition, die du angebracht hast, MUSS man die Supremumsnorm verwenden.
Bei der mit den Quantoren nicht.
> 1. Die Aufgabe lautet "Zeigen Sie"... Also sollte man das
> geforderte auch zeigen können.
Wenn du meinst...... wie ich dir dargelegt hab, liegt einmal aber gar keine glm. Konvergenz vor, also wirst du die auch schlecht zeigen können.
edit: Ok, eine Korrektur hier: auf der Menge $|x| > 1$ liegt KEINE glm Konvergenz vor. Wie ich aber gerade beim Lesen der Aufgabenstellung festgestellt hab, steht da $|x| [mm] \ge [/mm] q, q > 1$.
Auf dieser Menge liegt korrekterweise glm Konvergenz vor. Es muss jedoch zwingend verwendet werden, dass $q > 1$ gilt.
Solange du das nicht getan hast, kannst du dir sicher sein, dass dein Beweis inkorrekt ist
> 2. Bei einer anderen Aufgabe dieser Klausur wird explizit
> erwähnt, dass bei dieser Aufgabe die Supremumsnorm
> verwendet wird (was hier ja nicht der Fall ist).
Wie gesagt, viele Wege führen nach Rom.
> 3. Haben wir das in den Übungen auch so gemacht.
>
> 4. Hier eine Musterlösung mit einer ähnlichen Aufgabe der
> Uni Ulm wo auch nur mit dem Betrag gearbeitet wird:
Korrekt. Dort wird dann aber auch eine Abschätzung gemacht, so dass die Wahl von n unabhängig von x wird, was den Unterschied zwischen glm. und punktweiser Konvergenz ausmacht.
Das hast du bei deinen Lösungen aber nicht gemacht bzw hinbekommen (bei der Menge |x| [mm] \le \bruch{1}{q} [/mm] kann man das x wunderbar wegschätzen wie in deiner "Musterlösung")
> Eventuell gibt es ja auch je nach Uni verschiedene
> Definitionen (wäre nicht das erste mal),
Unterschiedliche Definitionen sind eine Sache. Das tolle an der Mathematik ist aber, dass es eben richtig oder falsch ist. Und eine prima Eigenschaft haben verschiedene Definitionen trotzdem: Sie sind alle äquivalent.
Arbeitest du bei deiner Definition aber nur mit dem Betrag anstatt mit der Supremumsnorm, ist sie es nicht mehr.
Also für dich nochmal zur Zusammenfassung:
1.) Entweder du arbeitest mit der Supremumsnorm
2.) Oder du schätzt den Betrag so ab, dass x nicht mehr drin vorkommt.
Beide Wege hab ich dir aber auch vorher schon dargelegt
MFG,
Gono.
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