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| Aufgabe | Ist die folgende Funktion gleichmäßíg stetig?
f(x) := [mm] \bruch{1}{x} [/mm] |
Guten Abend,
versuche mich gerade an der Funktion oben.
Die Definition der Stetigkeit ist mir bekannt... Wie muss ich mir aber die gleichmäßige Stetigkeit vorstellen?
Eine Definition bei Wikipedia habe ich gefunden... bringt mir aber leider nicht wirklich viel :(
Wie gehe ich hier am vor?
Liebe Grüße,
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffi,
ich nehme mal an, dass die Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $\IR \backslash \{0\}$ [/mm] definiert sein soll. Das ist hier sehr wichtig, denn je nach Definitionsbereich ist sie glm. stetig oder eben nicht.
Auf dem Definitionsbereich [mm] $\IR \backslash \{0\}$ [/mm] z.B. ist sie nicht gleichmäßig stetig.
(Der folgende Beweis zeigt, dass sie auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] schon nicht glm. stetig ist.)
Denn:
Wir werden zeigen, dass die Verneinung der glm. Stetigkeit gilt. Es ist also zu zeigen:
Es gibt ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$, so dass für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ zwei Punkte
[mm] $x=x_\delta [/mm] > 0$ und [mm] $y=y_\delta [/mm] > 0$ mit [mm] $|x_\delta-y_\delta|=|x-y| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] so existieren, dass $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
Das werden wir tun, indem wir zeigen:
Ist [mm] $\varepsilon_0=1 [/mm] > 0$, so werden wir zu einem beliebigen, aber festen [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann $x,y$ mit $x,y > 0$ so wählen, dass $x,y$ "nahe genug" an der $0$ sind und zudem [mm] $|x-y|=\frac{\delta}{2}$.
[/mm]
Also:
Wir nehmen ohne Einschränkung $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ an.
(Wieso genügt das?)
Dann setzen wir
[mm] $x:=\frac{1}{\delta} [/mm] > 0$ und [mm] $y:=x+\frac{\delta}{2} [/mm] > 0$.
Dann gilt offenbar [mm] $x*y=\frac{1}{\delta^2}+\frac{1}{2} [/mm] > [mm] \frac{1}{2} [/mm] > [mm] \frac{1}{2}\delta$
[/mm]
(Beachte: Wir haben o.E. $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ angenommen!)
Weiterhin:
[mm] $|f(x)-f(y)|=\vmat{\frac{y-x}{x*y}}=\frac{|y-x|}{x*y}$
[/mm]
Nun benutze noch, dass [mm] $|x-y|=\frac{\delta}{2}$ [/mm] und (wie oben gesehen)
$x*y > [mm] \frac{\delta}{2}$
[/mm]
und schon steht da
$|f(x)-f(y)|> 1$,
also
insbesondere $|f(x)-f(y)| [mm] \ge [/mm] 1$
P.S.:
Ein wenig zur Vorstellung von Stetigkeit und glm. Stetigkeit:
Zur Stetigkeit von $f$ in [mm] $x_0$:
[/mm]
[mm] $x_0$ [/mm] fest, so gilt:
Wenn $x$ nur "nahe genug" an [mm] $x_0$ [/mm] ist, so ist auch $f(x)$ "nahe" an [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Gleichmäßige Stetigkeit:
Alleine die Tatsache, dass $x$ und $y$ "nahe genug" beieinander sind, impliziert dann schon, dass $f(x)$ und $f(y)$ "nahe beieinander" sind.
An der obigen Funktion kannst Du Dir das schön klarmachen:
Halte ein [mm] $x_0$ [/mm] fest, schau' Dir den Graphen von $f$ an. Was passiert, wenn $x [mm] \to x_0$ [/mm] läuft? Dann läuft auch schon $f(x)$ gegen [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Und wenn ich mir nun irgendeinen Abstand [mm] $\frac{\delta}{2} [/mm] > 0$ vorgebe:
Wenn ich dann zwei Punkte $x,y > 0$ mit diesem Abstand [mm] $\frac{\delta}{2}$ [/mm] habe und dann mit $x$ und $y$ gegen 0 laufe (insbesondere läuft dann auch $|x-y| [mm] \to [/mm] 0$), so bekomme ich den Abstand der zugehörigen Funktionswerte jedenfalls immer größer als [mm] $\varepsilon_0=1$. [/mm] Ggf. muss ich mit den $x,y > 0$ dafür sehr nahe an an die $0$, aber alleine deswegen sollte man schon die Vermutung hegen, dass die obige Funktion nicht glm. stetig sein kann.
Gruß,
Marcel
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