Gleichmäßige und Punktweise K. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo. Ich habe irgendwie noch immer nicht genau den unterschied zwischen gleichmäßiger und punktweiser konvergenz verstanden.
Die Def. für punktweise K. ist ja:
Sei $ [mm] f_{n}: [/mm] $ I $ [mm] \to \IR [/mm] $ für n $ [mm] \in \IN. [/mm] $ Die Folge $ [mm] (f_{n}) [/mm] $ heißt punktweise konvergent, wenn die Folge $ [mm] (f_{n}) [/mm] $ für jedes x $ [mm] \in [/mm] $ I konvergiert. Wir erhalten dann eine Grenzfunktion f: I $ [mm] \to \IR [/mm] $ durch $ [mm] f(x)=\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}(x), [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ I.
und für gleichmäßige Konvergenz muss ja gelten:
Die Folge [mm] f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in D_f} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0.
[/mm]
Ich weiß auch, dass man aus glm. Konvergenz punktweise Konvergenz folgern kann, anders herum aber nicht.
Nur ich weiß irgenwie nicht, wie man bei der Berechnung der Konvergenzen vorgeht. Wie muss man mit dem x in der Folge umgehen, berücksichtigt man das gar nicht?
ich kann ja mal ein Beispiel bringen.
Die Folge fn konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn
[mm] f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \ge x \\ x-n, & \mbox{für } n
Jetzt sagen die, es gilt:
[mm] f_n(x)=0 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] x. Dies impliziert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0 [/mm] und damit konvergiert die Folge [mm] (f_n(x)) [/mm] punktweise sowohl auf [a,b] als auch auf [mm] \IR [/mm] gegen f=0.
Jetzt meine erste Frage, wieso prüfen die nur für [mm] n\ge [/mm] x.?? was ist mit für n<x?
Weil wenn ich dort den Grenzwert ermitteln würde, das geht doch wie folgt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x-n)=\infty \not=0 [/mm] wieso untersuchen die das nicht???
So dann gehts weiter.
Auf [a,b] ist die Konvergenz gleichmäßig, denn [mm] d_n=sup x\in [/mm] [a,b] [mm] |f_n(x)| [/mm] ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}d_n=0 [/mm] wegen [mm] f_n(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], [mm] n\ge [/mm] b und daher [mm] d_n=0 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] b. Die Folge konvergiert abernicht gleichmäßig auf [mm] \IR. [/mm] Tatsächlich ist:
sup [mm] x\in \IR |f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge |f_n(n+1) [/mm] - f(n+1)|=1 [mm] \not=0 [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Also wie gesagt, wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte. Zum habe ich z.B. auch nicht verstanden, warum die Folge auf [a,b] glm. konv. aber auf [mm] \IR [/mm] nicht. Und wie muss man bei diesen Aufgaben überhaupt mit dem x umgehen?
Bei einem anderen Beipspiel war z.B. [mm] f_n(x)=n\wurzel{x} [/mm] (soll n-te Wurzel bedeuten, nicht mal)
Hier sagen die [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n\wurzel{x} [/mm] =1, damit konvergiert die Folge punktweise gegen 1. Das ist noch verständlich, aber bei der glm. Konvergenz schon nicht mehr. hier sagen die:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}|f_n(x) [/mm] - [mm] f(x)|=1\not=0
[/mm]
So wieso lassen die hier x gegen 0 laufen? im obigen Bsp. haben die doch auch sowohl bei punkt. als auch bie glm. Konvergenz immer n gegen unendlich laufen lassen. Woher weiß man, wann man was machen muss??
So ich glaube, das reicht erstmal, sonst wirds zu viel auf einmal 
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 So 06.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
keine eine erklärung für dieses phänomen :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 So 06.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f_n [/mm] konv. punktweise also z.Bsp bei x1 heisst doch genauer:
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] gibt es ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] so das für alle [mm] n>N(\varepsilon) [/mm] gilt [mm] |fn(x1)-f(x1)<\varepsilon.
[/mm]
dieses [mm] N(\varepsilon) [/mm] hängt von der Stelle x1 i.A.ab. d.h. sehr oft muss man N immer größer wählen, wenn x wächst.
Wenn [mm] f_n [/mm] gleichmäig konv. heisst das es gibt ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] unabhängig von x.
wenn also [mm] f_n [/mm] punktweise konv in einem festen Intervall [a,b] ist, kann ich einfach das größte der [mm] N(\varepsilon,x) [/mm] in diesem Intervall nehmen und hab eines, das für alle x in dem intervall gilt.
deshalb ist jede punktweise stet. fkt auch in jedem abgeschl. Intervall glm. konv.
Deine fkt.
t $ [mm] f_n(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \ge x \\ x-n, & \mbox{für } n
ist dafür ein Beispiel: wenn etwa x<1000 ist, dann sind alle [mm] f_n [/mm] ab [mm] f_{1001}=0 [/mm]
also konvergiert [mm] f_n [/mm] gleichm. für alle x<1000 mit N=1000.
natürlich muss ich n<x nicht ansehen, da es ja nur um n gegen [mm] \infty [/mm] geht. und für jedes endliche x gibt es ein n>x und ab da ist ja [mm] f_n=0.
[/mm]
Bei deinem zweiten Bsp konvergieren die folgen für alle x>0 gegen 1, d.h. [mm] |f_n(x)-1|<\varepsilon [/mm] für alle n>N das musst du noch angeben. aber du musst n immer gröer wählen, je näher du mit x an 0 kommst (und je gröer x wird.)
d.h. punktweise Konvergenz, aber keine glm. Konv. das sieht man am schnellsten mit dem GW bei 1. denn der GW glm konvergenter steiger fkt konv. gegen eine stetige fkt, hier ist die Grenzfkt unstetig, deshalb die Konvergenz nicht gleichmäig.
Hier war es eben schneller die Unstetigkeit der Grenzfkt zu zeigen als die nicht glm. Konvergenz.
Jetzt klarer
Was wichtig ist, bei lim immer auf die Def. von lim zurückgrifen. wenn man einfach nur lim schreibt verbindet man damit nichts!
gruss leduart
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Hi, danke erstmal. ist bisschen besser geworden, aber ganz habe ich es leider noch nicht verstanden. ich bring mal ein anderes beispiel.
Beweisen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + k}{k^2} [/mm] in jedem beschränkten Intervall glm. konvergiert, das sie aber für keinen Wert von x absolut konvergiert.
Lösung:
Da die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k} [/mm] betrachtet als Funktionsreihe in x gleichmäßig konvergiert (sie ist konvergent und hängt nicht von x ab) und da die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2} [/mm] nach dem Weistrass-Kriterium auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig konvergiert, konvergiert also die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + k}{k^2} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k} [/mm] gleichmäßig auf jedem beschränkten Intervall.
Dies sieht man leicht mit Hilfe der Dreiecksungleichung:
[mm] |\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^2 + k}{k^2}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2}| [/mm] + [mm] |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}| \to [/mm] 0 für m [mm] \to \infty
[/mm]
Sei nun x fest, dann divergiert die Reihe.
also irgendwie versteh ich die lösung nicht so. woran sieht man, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k} [/mm] betrachtet als Funktionsreihe in x gleichmäßig konvergiert ??
und dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2} [/mm] nach dem Weistrass-Kriterium auf jedem beschränkten Intervall gleichmäßig konvergiert, woran sieht man, dass da was beschränkt ist???
ich versteh auch den zusammenhang zwischen der ersten lösung, wo gleichmäßige konvergenz gezeigt wird, und zum schluss zur divergenz nicht. das mit der divergenz ist jedoch klar, also die vorgehensweise.
kann mir das vielleicht jemand mal bitte erklären.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Beweisen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k[/mm] *
> [mm]\bruch{x^2 + k}{k^2}[/mm] in jedem beschränkten Intervall glm.
> konvergiert, das sie aber für keinen Wert von x absolut
> konvergiert.
>
> Lösung:
>
> Da die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}[/mm]
> betrachtet als Funktionsreihe in x gleichmäßig konvergiert
> (sie ist konvergent und hängt nicht von x ab) und da die
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2}[/mm] nach
> dem Weistrass-Kriterium auf jedem beschränkten Intervall
> gleichmäßig konvergiert, konvergiert also die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k[/mm] * [mm]\bruch{x^2 + k}{k^2}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}[/mm] gleichmäßig auf
> jedem beschränkten Intervall.
>
> Dies sieht man leicht mit Hilfe der Dreiecksungleichung:
>
> [mm]|\summe_{k=1}^{\infty}(-1)^k[/mm] * [mm]\bruch{x^2 + k}{k^2}| \le |\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2}|[/mm]
> + [mm]|\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}| \to[/mm] 0 für m [mm]\to \infty[/mm]
>
> Sei nun x fest, dann divergiert die Reihe.
Da hast du das absolut vergessen!
natürlich divergiert [mm] \summe_{k=1}^{\infty}[/mm] [mm][mm] \bruch{x^2 + k}{k^2} [/mm]
> also irgendwie versteh ich die lösung nicht so. woran sieht
> man, dass [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}[/mm] betrachtet
> als Funktionsreihe in x gleichmäßig konvergiert ??
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{k}=Konst.[/mm]
die Folge [mm] f_n(x)=Konst [/mm] ist so trivial glm. konvergent, dass du das selbst einsehen solltest!
>
> und dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k * x^2}{k^2}[/mm]
> nach dem Weistrass-Kriterium auf jedem beschränkten
> Intervall gleichmäßig konvergiert, woran sieht man, dass da
> was beschränkt ist???
weil gesagt wird, das x beschränkt ist!
beschränktes Intervall heisst doch -R<x<R
R beliebig groß aber endlich!
und jetzt kannst du ein N angeben für alle x aus dem Intervall!
erinner dich an die Def. von glm. konv.
> ich versteh auch den zusammenhang zwischen der ersten
> lösung, wo gleichmäßige konvergenz gezeigt wird, und zum
> schluss zur divergenz nicht. das mit der divergenz ist
> jedoch klar, also die vorgehensweise.
Die beiden haben direkt nichts miteinander zu tun, das eine ist ne Reihe mit alternierenden Summanden , die nach Leibnitz konvergiert. weil die Summanden ne nullfolge bilden, die absolute Reihe divergiert, weil schon die eine Hälfte,
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] divergiert!
Gruss leduart
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hi, danke erstmal. aber guck mal, bei dieser funktionfolge:
[mm] f_n(x)=\begin{cases} arctan \bruch{n}{x^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ \bruch{\pi}{2}, & \mbox{für } x=0 \end{cases} [/mm] gilt:
Für x [mm] \not= [/mm] 0 folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] arctan [mm] \bruch{n}{x^2}=\bruch{\pi}{2}. [/mm] Wegen [mm] f_n(0)=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist die Grenzfunktion [mm] f(x)=\bruch{\pi}{2} [/mm] konstant. damit punktweise konvergenz.
Zur Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz müssen wir [mm] \sup_{x\in \IR} \left|f_n(x)-f(x)\right| [/mm] betrachten.
[mm] n:=\sup_{x\in \IR} \left|f_n(x)-f(x)\right|= \sup_{x\in \IR}|\bruch{\pi}{2} [/mm] - arctan [mm] \bruch{n}{x^2}|=\bruch{\pi}{2} [/mm] da [mm] f_n(x)>o [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f_n(x)=0. [/mm] n ist also keine Nullfolge und damit nicht glm. konverent.
So hier, warum lassen die hier aufeinmal [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}, [/mm] als x gegen unendlich laufen????
weil die def. ist ja anders, da heißt es
Die Folge $ [mm] f_n [/mm] $ konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup_{x\in D_f} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0. [/mm]
also in der Def. lassen die n gegen unendlich laufen.
Deswegen weiß ich nicht, wann ich x gegen unendlich laufen lassen muss und wann n.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich wiederhole zum nten Mal n>2: punktweise stetig und glm stetig auf einem abg, Intervall ist dasselbe.
also muss man am ende noch x in nicht abg. Intervall ansehen.
Gruss leduart
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