Gleichschenkliges Dreieck < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | Aus einer Holzplatte die die Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten c =60 cm und a=b= 50 cm hat, soll ein möglichst großes rechteckiges Brett herausgeschnitten werden.
Wie viel Prozent Abfall entstehen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Hier eine Skizze: ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Diese Frage gabs hier im Forum schoneinmal, allerdings so durcheinander, dass ich nicht mehr durchblicke!
Ich hab das Rechteck so gedreht, dass c unten ist und a + b die Seiten darstellten. Das Koordinatensystem hab ich auch schon gewählt, c ist die x- Achse und durch die Mitte des Dreiecks geht die y - Achse.
Soweit so gut.
Das eine Seite des des Rechtecks c-2x ist, ist mir auch klar.
Nur wie mach ich jetzt weiter?
Meine Zielfunktion hat was mit A = ?? zu tun, auch klar.
Bitte, wer auch immer mir das erklärt, möge es mega ausführlich erklären! Danke Danke  Steh da echt aufm Schlauch grad..
Gruß,
Fanca
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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Hallo Fanca!
> Aus einer Holzplatte die die Form eines gleichschenkligen
> Dreiecks mit den Seiten c =60 cm und a=b= 50 cm hat, soll
> ein möglichst großes rechteckiges Brett herausgeschnitten
> werden.
> Wie viel Prozent Abfall entstehen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Hier eine Skizze: Datei-Anhang
>
> Diese Frage gabs hier im Forum schoneinmal, allerdings so
> durcheinander, dass ich nicht mehr durchblicke!
>
> Ich hab das Rechteck so gedreht, dass c unten ist und a + b
> die Seiten darstellten. Das Koordinatensystem hab ich auch
> schon gewählt, c ist die x- Achse und durch die Mitte des
> Dreiecks geht die y - Achse.
> Soweit so gut.
> Das eine Seite des des Rechtecks c-2x ist, ist mir auch
> klar.
Ok.
> Nur wie mach ich jetzt weiter?
> Meine Zielfunktion hat was mit A = ?? zu tun, auch klar.
>
> Bitte, wer auch immer mir das erklärt, möge es mega
> ausführlich erklären! Danke Danke Steh da echt aufm
> Schlauch grad..
>
> Gruß,
> Fanca
Leider hab ich wenig Zeit, sodaß ich die Lösung hier nicht so ausführlich wie von dir gewünscht darbieten kann.
Die eines Seite, nämlich die Horizontale, hat die Länge c-2x bzw. wenn man c=60cm einsetzt 60-2x. Hierbei gibt x quasi den Abschnitt von der linken bzw. rechten spitze des Dreiecks an.
Die Höhe des gesuchten Rechtecks (oder anders: die andere Seite des Rechtecks) bezeichenen wir mit y. y gibt somit die Länge des senkrechten Schnittes an.
Wenn man nun die Flächenformel für ein Rechteckt hinzuzieht und die bisherigen Terme für die Seiten einsetzt erhält man:
A(x,y)=Seite*Seite=(60-2x)*y (Hauptbedingung)
Soweit nichts weltbewegendes Neues. Nun musst du dir noch die Seite y mit den dir gegebenen Werten beschreiben. Dazuberechnen wir zunächst die Höhe [mm] h_c [/mm] des Dreiecks ABC. Da a=b=50cm und c=60cm erhält man für die Höhe [mm] h_{c}\overbrace{=}^{Pythagoras}\wurzel{(50cm)^{2}-(30cm)^{2}}=40cm
[/mm]
Nun gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Ich habe mich für die des Strahlensatzes (speziell: der 2.Strahlensatz) entschieden.
Geht man davon aus, dass die linke untere Spitze des Dreiecks das Zentrum der Strahlen sei und die Höhe des Rechtecks (y) und die Höhe des Dreiecks [mm] (h_c) [/mm] die Schaar paralleler Geraden, so kann man den Strahlensatz wie folgt formulieren:
[mm] \bruch{x}{y}=\bruch{30}{40}
[/mm]
Nach y umgestellt ergibt dies:
[mm] y=\bruch{40}{30}x [/mm] (Nebenbedingung)
Setzt man die Nebenbedingung nun in die Hauptbedingung ein so erhält man:
[mm] A(x)=(60-2x)*\bruch{40}{30}x
[/mm]
Damit kannst du nun die Extremwertbetrachtung durchführen.
Hoffe das hilft dir weiter.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Fanca |
Hallo!
Danke dir erstmal!! Auch wenn du meintest nicht soviel Zeit zu haben, hast du es gut erklärt. Ich hab die Rechnung sogar verstanden! 
Nur zur Kontrolle:
A'(x) = [mm] -5\bruch{1}{3}x [/mm] + 80
A''(x) = [mm] -5\bruch{1}{3}
[/mm]
Jetzt hab ich es ausgerechnet und schlussendlich für A(x) = 36000 [FE] herausbekommen.
Meine Frage: Ist das richtig? Und was sagt dieser Wert jetzt aus? Oder muss ich noch weiter rechnen?
Wieder Danke im Voraus,
Fanca
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>
> Nur zur Kontrolle:
> A'(x) = [mm]-5\bruch{1}{3}x[/mm] + 80
> A''(x) = [mm]-5\bruch{1}{3}[/mm]
>
kann mir einer erklären wie man auf diese Ableitungen kommt, krieg da nämlich immer voll den Wirrwar heraus.
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Hallo chegga,
> [mm]A(x)=(60-2x)\cdot{}\bruch{40}{30}x [/mm]
> >
> > Nur zur Kontrolle:
> > A'(x) = [mm]-5\bruch{1}{3}x[/mm] + 80
> > A''(x) = [mm]-5\bruch{1}{3}[/mm]
> >
>
> kann mir einer erklären wie man auf diese Ableitungen
> kommt, krieg da nämlich immer voll den Wirrwar heraus.
Also ich kriege auch nicht das obige Ergebnis raus:
[mm]A'(x) \mathop =^{\texttt{Produktregel}} \frac{4}{3}((-2)x + 60 -2x)= \frac{4}{3}(-4x+60) = -\frac{16}{3}x+80.[/mm]
Dementsprechend lautet auch die 2te Ableitung etwas anders.
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Das dortige Ergebnis stimmt. Es ist nur eine alte Schreibweise für zusammengesetze Brüche... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mo 18.09.2006 | | Autor: | informix |
Hallo Karl,
> Das dortige Ergebnis stimmt. Es ist nur eine alte
> Schreibweise für zusammengesetze Brüche...
die Schreibweise wird heute noch in der Unterstufe eingeführt als "gemischte" Schreibweise von Brüchen, sie ist einfach anschaulicher, wenn die Bruchzahl größer als 1 ist.
In der Oberstufe sollte man sie aber dennoch nicht verwenden, weil sie leicht zu Verwechslungen führt:
[mm] $\bruch{16}{3} [/mm] = [mm] 5\bruch{1}{3} \ne [/mm] 5 * [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{3}$
[/mm]
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
Hallo, ich mache diese Aufgabe zur Übung und wollte deshalb verschiedene Lösungswege ausprobieren. Die Lösung oben kann ich nachvollziehen, aber wieso funktionieren meine eigenen nicht?
Bei mir heißen die beiden Seiten des Rechtecks x und y (x liegt auf c bzw. parallel dazu).
ERSTER WEG
Hauptbed: A(x;y) = x*y (soll maximal werden)
Nebenbedingung:
2. Strahlensatz (Punkt mit rechtem Winkel Zentrum)
[mm] \bruch{x}{60}=\bruch{50-\wurzel{y^{2}+(\bruch{60-x}{2})^{2}}}{50}\gdw y=\bruch{2*(60-x)}{3} [/mm] bzw. [mm] \bruch{2*(x-60)}{3}
[/mm]
[mm] A(x)=x*\bruch{2*(60-x)}{3} [/mm] bzw. [mm] A(x)=x*\bruch{2*(x-60)}{3}
[/mm]
Extremstelle bei: 30 (anstatt 15)
max. Flächeninhalt = 600 (anstatt 300)
Wo ist mein Fehler? In meiner Rechnung nicht, da ich mit Derive gerechnet habe. Irgendwas muss an der Nebenbed. falsch sein, aber ich finde es einfach nicht.
ZWEITER WEG
Hauptbed: A(x;y) = x*y (soll maximal werden)
Nebenbedingung:
2. Strahlensatz (linker Punkt unten Zentrum)
[mm] \bruch{y}{40}=\bruch{30-\bruch{x}{2}}{30}\gdw y=\bruch{2*(60-x)}{3}
[/mm]
[mm] A(x)=x*\bruch{2*(60-x)}{3}
[/mm]
Extremstelle bei: 30 (anstatt 15)
max. Flächeninhalt = 600 (anstatt 300)
Wo ist hier der Fehler? Ist wieder mit Derive gerechnet, also verrechnen ausgeschlossen. Auch hier muss iwie die Nebenbedingung falsch sein.
Danke für alle Tipps.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Marius90 |
Sorry, habe mich in den Referenzlösungen um den Faktor zwei vertan.
Eigentlich soll 30 und 600 herauskommen, also meine Lösungen, sorry!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
