Gleichung < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 06.12.2006 | | Autor: | MasterMG |
Hi, also die folgende Aufgabe erscheint mir eigentlich nicht sonderlich schwer, komme an einer Stelle jedoch absolut nicht weiter. Vielleicht hilft mir jemand!?
Aufgabe:
Zeigen sie: [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] 4a^2 \not= b^2 [/mm] und b [mm] \not= [/mm] 0 gilt:
[mm] ((2a)/(2a+b)-(4a^2)/(4a^2+4ab+b^2))*((2a)/(4a^2-b^2)+(1)/(b-2a))^{-1}+(8a^2)/(2a+b)=2a
[/mm]
So, ich bin nun so weit, dass ich weiß, dass [mm] ((2a)/(2a+b)-(4a^2)/(4a^2+4ab+b^2)) [/mm] = (1)/(2a+b) ist. Daraus folgt, dass [mm] ((2a)/(4a^2-b^2)+(1)/(b-2a))^{-1} [/mm] = [mm] (2a-(8a^2)/(2a+b))/((1)/(2a+b)) [/mm] sein muss, also [mm] ((2a)/(4a^2-b^2)+(1)/(b-2a))^{-1} [/mm] = [mm] (2ab^2-8a^3)/(2a+b)=((4a^2-b^2)/2a)+(b-2a))
[/mm]
Diese Gleichheit zu zeigen kriege ich irgendwie nicht hin. Entweder ich sehe es einfach nicht, oder ich habe bereits bei der Rechnung bzw. Umformung davor irgendwo einen oder mehrere Fehler gemacht. Was ist jetzt nun der Fall und wie komme ich weiter?
Danke
MFG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MasterMG!
> So, ich bin nun so weit, dass ich weiß, dass
> [mm]((2a)/(2a+b)-(4a^2)/(4a^2+4ab+b^2))[/mm] = (1)/(2a+b) ist.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier habe ich aber als Zwischenergebnis für diese Klammer erhalten: $... \ = \ [mm] \bruch{\red{2ab}}{(2a+b)^{\red{2}}}$ [/mm] .
Auch durch reines Erweitern auf die Hauptnenner, Zusammenfassen etc. erhalte ich das gewünschte Ergebnis.
Gruß
Loddar
PS: Bitte verwende das nächste Mal doch unseren Formeleditor ... so war hier doch schwer durchzusteigen durch Deine Aufgabe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 07.12.2006 | | Autor: | MasterMG |
Hi, folgendes ist doch richtig, oder?
[mm] \left( \bruch{2a}{2a+b}-\bruch{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)=\left( \bruch{2a}{2a+b}-\bruch{4a^2}{(2a+b)^2}\right)=\left( \bruch{2a(2a+b)}{(2a+b)(2a+b)}-\bruch{4a^2}{(2a+b)^2}\right)=\left( \bruch{2a(2a+b)}{(2a+b)^2}-\bruch{4a^2}{(2a+b)^2}\right)=\left( \bruch{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)^2}\right)=\left( \bruch{4a^2+2ab-4a^2}{(2a+b)^2}\right)=\left( \bruch{2ab}{(2a+b)^2}\right)
[/mm]
Oder wie kommst du auf [mm] \bruch{2ab}{(2a+b)}, [/mm] Loddar?
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Do 07.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo MasterMG!
Du hast Recht. Da hatte ich bereits gekürzt mit dem Term dahinter ...
[mm] $\bruch{2ab}{(2a+b)^2}$ [/mm] ist also richtig!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Do 07.12.2006 | | Autor: | MasterMG |
Die gesamte Aufgabe lautet übrigens:
[mm] \left( \bruch{2a}{2a+b}-\bruch{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)\left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}+\bruch{8a^2}{2a+b}=2a
[/mm]
Soweit bin ich, komme aber immernoch nicht weiter. Hab ich bis dahin Fehler? Gehe ich soweit richtig vor oder wie soll ich überhaupt jetzt weiter vorgehen, damit die Gleichheit offensichtlich wird!?
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{2ab}{(2a+b)^2}\left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}=\bruch{2a(2a+b)}{2a+b}-\bruch{8a^2}{2a+b} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{2ab}{(2a+b)^2}\left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}=\bruch{2ab-4a^2}{2a+b} \gdw
[/mm]
[mm] \left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}=\left(\bruch{2ab-4a^2}{2a+b}\right)\left(\bruch{(2a+b)^2}{2ab}\right) \gdw
[/mm]
[mm] \left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}=\bruch{(2ab-4a^2)(2a+b)}{2ab} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{4a^2-b^2+(b-2a)2a}{2a}=\bruch{(2ab-4a^2)(2a+b)}{2ab} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{2ab-b^2}{2a}=\bruch{(2ab-4a^2)(2a+b)}{2ab} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{(2ab-b^2)b}{2ab}=\bruch{2ab^2-8a^3}{2ab} \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{2ab^2-b^3}{2ab}=\bruch{2ab^2-8a^3}{2ab}
[/mm]
Warum stimmt es nicht?
Bitte um Hilfe!
Danke
MFG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 07.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich versuche mich mal
[mm] \left(\bruch{2a}{2a+b}-\bruch{4a^2}{4a^2+4ab+b^2}\right)\left(\bruch{2a}{4a^2-b}+\bruch{1}{b-2a}\right)^{-1}+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{2a(2a+b)-4a^2}{(2a+b)²}\right)\left(\bruch{2a}{(2a+b)(2a-b)}-\bruch{1}{2a-b}\right)^{-1}+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{4a²+2ab-4a^2}{(2a+b)²}\right)\left(\bruch{(2a-2a-b}{(2a+b)(2a-b)}\right)^{-1}+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{2ab}{(2a+b)²}\right)\left(\bruch{(2a+b)(2a-b)}{-b}\right)+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{2ab(2a+b)(2a-b)}{(2a+b)²(-b)}\right)+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-2a(2a-b)}{2a+b}\right)+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{-4a²+2ab}{2a+b}\right)+\bruch{8a^2}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\bruch{-4a²+2ab+8a²}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\bruch{4a²+2ab}{2a+b}
[/mm]
[mm] =\bruch{2a(2a+b)}{2a+b}
[/mm]
=2a
Fertig
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 07.12.2006 | | Autor: | MasterMG |
Das erscheint plausibel, ich glaube ich weiß jetzt auch wo bei mir der Fehler steckte.
Danke schön!!
|
|
|
|
