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| Aufgabe | Zeige dass die GLeichung
[mm] \bruch{1}{1 + 2^x} [/mm] = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
in [0, 1] eine Lösung hat. |
Hallo.
Ich komm bei dieser Aufgabe einfach auf keine Lösung.
Wie fängt man denn da am besten an?
Muss man irgendwie arbeiten mit [mm] 2^x [/mm] = exp (x log 2)?
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Hallo MisterWong,
> Zeige dass die GLeichung
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> [mm]\bruch{1}{1 + 2^x}[/mm] = [mm]\wurzel{x}[/mm]
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> in [0, 1] eine Lösung hat.
> Hallo.
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> Ich komm bei dieser Aufgabe einfach auf keine Lösung.
>
> Wie fängt man denn da am besten an?
> Muss man irgendwie arbeiten mit [mm]2^x[/mm] = exp (x log 2)?
Ich nehme an, ihr habt im Moment den Themenbereich Stetigkeit und Zwischenwertsatz?
Damit geht es flott
Definiere dir [mm] $f(x):=\frac{1}{1+2^x}-\sqrt{x}$
[/mm]
$f$ ist als Zusammensetzung von auf $[0,1]$ stetigen Funktionen selbst auf $[0,1]$ stetig
Schaue dir mal $f(0)$ und $f(1)$ an und wirf einen scharfen Blick auf den ZWS
LG
schachuzipus
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OK, mein Fehler war dann, dass ich eine Lösung gesucht habe, und nicht danach geschaut habe, ob es überhauot eine gibt.
Lösung:
da f(0)>0 und f(1)<0 ex. laut Zwischenwertsatz eine NS von f(x). Die Lösung wäre dann [mm] f^{-1}(0) [/mm] = x.
Muss ich dann nicht noch zeigen dass f(x) stetig ist?
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Hallo MisterWong!
> Muss ich dann nicht noch zeigen dass f(x) stetig ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Zumindest erwähnen solltest Du es, da dies eine Bedingung des ZWS ist.
Aber als Komposition aus verschiedenen stetigen Teilfunktionen folgt dies auch für f(x).
Gruß vom
Roadrunner
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