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| Aufgabe | | Lösung einer Gleichung 3. Grades mit Hilfe der Formeln von Cardano. |
Lösen nach den Formeln von Cardano:
Formeln / Theorie:
Ausgangslage ist die Gleichung dritten Grades ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Dividiert man durch a und setzt man y := x + b/(3a), so entsteht die Gleichung
y3 + 3py + 2q = 0 mit
3 p = (3ac - b²) / 3 a²
2 q = 2b³/27a³ - bc / 3 a² + d/a
Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Vorzeichen der Diskrimante D:=q2 + p3 ab.
Ist D > 0, so hat die Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen.
Ist D < 0, so hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen.
Für D = 0 hat die Gleichung die Lösung y1= y2= y3 =0, falls p = q = 0 und zwei Lösungen, falls q2 = -p3 0.
Die Lösungen heissen y1 = u + v, y2 = f 1u + f2v, y3 = f2u + f1v , wobei
u = dritte Wurzel (-q + Quadratwurzel aus D),
v = und
v = dritte Wurzel (-q - Quadratwurzel aus d) , und f1 und f2 die Lösungen der Gleichung f² + f + 1 = 0 sind,
d.h. f1,2 = 0.5 ( -1 ± [mm] i\wurzel{3} [/mm] ). (i: imaginäre Einheit)
Beispiel:
x³ - 6 x² - 5 x + 32 = 0
a = 1, b = -6, c = -5, d = 32
y: = x + b/3a = x +(-6/3) = x 2
3p = 3.1.(-5) - (-6)² / 3.1² = - 15 36/ 3 = - 51/3 = - 17 daraus p = -17/3 = - 5 2/3
2 q = 2.(-6)³/27 . 1³ - (-6). (-5)/ 3. 1² + 32/1 = - 16 10 + 32 = 6 daraus q = 6/2 = 3
Gleichung: y³ -17 y + 6 = 0
Diskriminante: D = q² + p³ = (3)² + (-5 2/3)³ = 9 181, 96... = ungef. 172,96
Die Diskriminante ist negativ, also gibt es drei reelle Lösungen.
Lösungen:
Hier mein Problem, da die Diskriminante negativ ist, so ergibt die Quadratwurzel eine imaginäre Zahl, wieso können dann drei reelle Lösungen vorkomen????
= 3 Wurzel (- 6 + Quadr.wurzel (-172,96) =
3. Wurzel aus ( - 6 + 13,151 i .) = ungef. 7,151 i
= 3. Wurzel aus ( - 6 13,151 ....) = ungef. 2,6735 i
Lösung y = u +v = 7, 151 i 2,6735i = ungef. 4,47..i
Es ergibt aber die vorgegebenen Lösungen:
x 1 = 5,933797...
x 2 = -2,289383...
x 3 = 2,355586...
Vielen Dank für jede Hilfe, bin schon viel zu viel Zeit dabei herumzurätseln.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Sa 07.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Wurzel aus einer komplexen Zahl [mm] \wurzel{a+ib} [/mm] ist wieder eine komplexe Zahl. du hast irgendwie was imaginäres ausgerechnet. so ist etwa [mm] \wurzel{3+4i}=2+i
[/mm]
Im übrigen sind deine Rechnungen fast nicht zu verfolgen, weil du den Formeleditor nicht benutzt und etwa 3.1 für 3*1 benutzt.
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Ich schreibe es nochmals mit dem Formeleditor, ich hoffe es kommt gut rüber.
Lösen nach den Formeln von Cardano:
Formeln/Theorie: zum Wiederholen
Ausgangslage ist die Gleichung dritten Grades
ax3 + bx2 + cx + d = 0.
Dividiert man durch a und setzt man y := x + b/(3a), so entsteht die Gleichung
y3 + 3py + 2q = 0
mit
3 p = (3ac-b²)/3a²
2 q = (2b³/27a²) - (bc/3a²) + d/a
Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Vorzeichen der Diskrimante D:= q2 + p3 ab.
Ist D > 0, so hat die Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen.
Ist D < 0, so hat die Gleichung drei verschiedene reelle Lösungen.
Für D = 0 hat die Gleichung die Lösung y1= y2= y3 =0, falls p = q = 0 und zwei Lösungen, falls q2 = -p3.
Die Lösungen heissen
y1 = u + v,
y2 = f1 . u + f2 . v,
y3 = f2 . u + f1 . v , wobei
u [mm] =\wurzel[3]{-q +\wurzel{D}}, [/mm]
und
v = [mm] \wurzel[3]{-q -\wurzel{D}}, [/mm]
und f1 und f2 die Lösungen der Gleichung f² + f + 1 = 0 sind,
d.h. f1,2 = 0.5 ( -1 ± [mm] i\wurzel{3}). [/mm] (i: imaginäre Einheit)
Beispiel:
x³ - 6 x² - 5 x + 32 = 0
a = 1, b = -6, c = -5, d = 32
y: = x + b/3a = x +(-6/3) = x 2
3p = [(3.1.(-5) - (-6)²)] / 3 = [- 15 36]/ 3 = - 51/3 = - 17 daraus p = -17/3 = - 5 2/3
2 q = [2.(-6)³/27] - [(-6).(-5)]/ 3)] + 32/1 = - 16 10 + 32 = 6 daraus q = 6/2 = 3
Gleichung: y³ -17 y + 6 = 0
Diskriminante: D = q² + p³ = (3)² + (-5 2/3)³ = 9 181, 96... = ungef. 172,96
Die Diskriminante ist negativ, also gibt es drei reelle Lösungen.
1. Lösung:
Hier mein Problem, da die Diskriminante negativ ist, so ergibt die Quadratwurzel eine komplexe Zahl, wieso können dann drei reelle Lösungen vorkomen????
u = [mm] \wurzel[3]{- 6 + \wurzel{-172,96)}} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{- 6 + 13,151 i } [/mm] = 2,666i (stimmt dies???)
v [mm] =\wurzel[3]{-19,151 i} [/mm] = ungef. 2,6735 i
stimmt dies???!!
Lösung y = u +v = 2,666 i 2,6735i = ungef. -0,0075..i
Als Lösungen sind vorgegeben:
x 1 = 5,933797...
x 2 = -2,289383...
x 3 = 2,355586...
Wäre wirklich froh, wenn da jemand Auskunft geben könnte.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Josef-Joseph,
leduart hat schon den entscheidenden Hinweis gegeben.
> u = [mm]\wurzel[3]{- 6 + \wurzel{-172,96}}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{- 6 + 13,151 i }[/mm]
> = 2,666i (stimmt dies???)
Nein, denn erstens ist [mm]q=3[/mm], nicht 6, und zweitens kannst du nicht einfach Terme mit und ohne [mm]i[/mm] zusammenziehen. Die Umkehrung ist ja [mm]u^3 = - 6 + 13{,}151 i[/mm], aber [mm](2{,}666i)^3=-18{,}85i \not= - 6 + 13{,}151 i [/mm]. Richtig ist [mm]u= \wurzel[3]{- 3 + \wurzel{-172,96}} = \wurzel[3]{- 3 + 13,151 i }=1{,}967 + 1{,}341 i[/mm].
> v [mm]=\wurzel[3]{-19,151 i}[/mm] = ungef. 2,6735 i
Nein: [mm]v = \wurzel[3]{- 6 - \wurzel{-172,96)}} = 1{,}967 - 1{,}341 i [/mm].
Folglich ist [mm]y_1 = u+v \approx 3{,}934[/mm]. Das passt zum angegebenen Wert von [mm]x_1[/mm].
Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für die Antwort. q = 3, das habe ich übersehen.
[mm] \wurzel{4 + 9} [/mm] = ungef. 3,6055
[mm] \wurzel{4} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] = 2 + 3 = 5
Man darf doch bei einer Summe nicht die Wurzel der einzelnen Summanden ziehen. Soviel weiß ich noch!
Und dein Resultat 3,934 stimmt doch bei weitem nicht mit dem gegebenen 5,933797 oder -2,289383 und 2,355586 überein.
Könntest Du oder jemand anders dies noch klären?
Nochmals vielen Dank für die Mühe.
MfG
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Hallo Rainer,
danke für die Antwort. q = 3, das habe ich übersehen.
[mm] \wurzel{4 + 9} [/mm] = ungef. 3,6055
[mm] \wurzel{4} [/mm] + [mm] \wurzel{9} [/mm] = 2 + 3 = 5
Man darf doch bei einer Summe nicht die Wurzel der einzelnen Summanden ziehen. Soviel weiß ich noch!
Und dein Resultat 3,934 stimmt doch bei weitem nicht mit dem gegebenen 5,933797 oder -2,289383 und 2,355586 überein.
Antwort von leduart:
Warum ist [mm] \wurzel{3 + 4i}= [/mm] 2 + i.
Könntest Du oder jemand anders dies noch klären?
Nochmals vielen Dank für die Mühe.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 07.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Und dein Resultat 3,934 stimmt doch bei weitem nicht mit
> dem gegebenen 5,933797 oder -2,289383 und 2,355586
> überein.
Doch, weil das erste die Lösung [mm]y_1\approx3{,}934[/mm] und das zweite die für [mm]x_1=y_1+2\approx5{,}934[/mm] ist.
Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
jetzt stimmt es.
Ich bin trotzdem noch nicht im Klaren bei:
1)
[mm] \wurzel[3]{-3 + 13,151i} [/mm] = 1,967 + 1,341i ???
Ich weiß nicht, wie man Wurzeln aus komplexen Zahlen zieht!
2)
[mm] x_1=y_1+2\approx5{,}934 [/mm] ???
Wo kommt die 2 auf einmal her?
Wäre nett, wenn Du nochmals so intelligent antworten könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
am Anfang deiner Beschreibung hattest du doch y=x+b/3a erstzt. du willst aber als Lösung der Gleichung x=y-b/3a und das b/3a ist bei dir -2.
Wurzeln aus komplexen Zahlen: Wenn du die Darstellung der Komplexen Zahlen z=a+ib als [mm] z=r*e^{i*\phi} [/mm] oder als [mm] z=r(cos\phi+i*sin\phi [/mm] kennst dann ist [mm] \wurzel[3]{z}=\wurzel[3]{r}*e^{i\phi/3} [/mm] oder [mm] \wurzel[3]{r}*(cos\phi/3 [/mm] + [mm] isin\phi/3).
[/mm]
dabei ist [mm] r=\wurzel{a^2+b^2} tan\phi=b/a
[/mm]
Gruss leduart
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Bonsoir,monsieur ledauart,
- Die erste Antwort habe ich jetzt sehr gut verstanden mit dem - 2.
- Die Theorie des zweiten Teiles war mir teilweise bekannt. Ich bin mir aber nicht sicher im konkreten Beispiel:
[mm] \wurzel[3]{-3 + 13,151i} [/mm] = 1,967 + 1,341 i. Was ist hier als a, b, Phi zu nehmen?
Wir hatten seinerzeits die komplexen Zahlen nur kurz gestreift...!!!
MfG
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Verbesserungen zum letzten Mail:
1.
monsieur l e d u a r t
2.
seiner Zeit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 So 08.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bonsoir,monsieur ledauart,
> - Die erste Antwort habe ich jetzt sehr gut verstanden mit
> dem - 2.
> - Die Theorie des zweiten Teiles war mir teilweise
> bekannt. Ich bin mir aber nicht sicher im konkreten
> Beispiel:
> [mm]\wurzel[3]{-3 + 13,151i}[/mm] = 1,967 + 1,341 i. Was ist hier
> als a, b, Phi zu nehmen?
z=-3+i*13,15 daraus a=-3, b=13,5 r=13,49 [mm] \wurzel[3](r)=2,38 tan\phi=-13,15/3=-4,38 \phi=-77°+n*360°
[/mm]
(komplexe dritte Wurzeln haben immer 3 mögliche Werte, n-te Wurzeln n-Werte.)
also [mm] \wurzel[3](z)=2,38*(cos(-77/3°)*isin(-77/3))=2,38*(0,9-i0,433)
[/mm]
die anderen 2 Wurzeln, indem du zu den -77/3+360/3 und -77/3*2*360/3 addierst.
Gruss leduart
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Danke leduart für die schnelle und präzise Antwort.
Ich habe mir schon gedacht, das es da komplizierter wird als bei reellen Zahlen.
Ich rechne alles noch in aller Ruhe nach, und melde mich wieder bei eventuellen Fragen.
Noch einen angenehmen Sonntag und eine zufriedene Woche.
Mit freundlichen Grüßen
Josef
P.S. Super Mathematiker hier...! Ich selber mische im Französischen manchmal mit!
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