Gleichung 3. Grades Allgemein < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Keola |
| Aufgabe | | a [mm] v^3 [/mm] + b v - c = 0 |
Hallo Forum,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
O.g. Formel sollte ich nach v auflösen. Ich habe mir mal die cardanische Formeln angeschaut, komme damit aber nicht zurecht (Mathe ist schon länger her bei mir). Für a, b und c existieren keine Zahlenwerte, da ich die Gleichung in ein Programm einbinden will und diese dann vom Benutzer eingegeben werden. Daraus soll dann v errechnet werden.
Für Lösungsansätze oder einen Denkanstoß wäre ich euch sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Keola
Ich Forme die Gleichung ein bisschen um:
[mm] $av^3+bv-c=0\quad\Leftrightarrow\quad v^3+3\frac{b}{3a}*v-2\frac{c}{2a}=0$
[/mm]
Mit [mm] $p=\frac{b}{3a}$ [/mm] und [mm] $q=\frac{c}{2a}$ [/mm] lautet die Gleichung
[mm] $v^3+3pv-2q=0$
[/mm]
Jetzt muss man die Diskriminante [mm] $D=p^3+q^2$ [/mm] anschauen, wenn $D>0$ ist (z.B. wenn p>0), dann besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung, sie lautet in diesem Fall:
[mm] $v=\sqrt[3]{q+\sqrt{p^3+q^2}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{p^3+q^2}}$, [/mm] wobei die dritte Wurzel einer negativen Zahl negativ ist.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Mo 02.01.2006 | | Autor: | Keola |
Hallo Moudi,
vielen Dank für die schnelle Antwort! p und q werden bei mir immer pos. sein und somit gilt immer D>0 . Du hast mir sehr geholfen.
Gruß
Keola
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Hallo Moudi,
Hallo Keola
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> vielen Dank für die schnelle Antwort! p und q werden bei
> mir immer pos. sein und somit gilt immer D>0 . Du hast mir
> sehr geholfen.
In diesem Fall würde ich die Lösungsformel so schreiben:
$ [mm] v=\sqrt[3]{q+\sqrt{p^3+q^2}}-\sqrt[3]{\sqrt{p^3+q^2}-q} [/mm] $,
denn wenn p und q positiv sind, dann ist [mm] $q-\sqrt{p^3+q^2}$ [/mm] sicher negativ und
[mm] $\sqrt[3]{q-\sqrt{p^3+q^2}}=-\sqrt[3]{\sqrt{p^3+q^2}-q}$.
[/mm]
Nicht alle Programme mögen es, wenn man die dritte Wurzel einer negativen Zahl zieht.
mfG Moudi
>
> Gruß
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> Keola
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