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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 20.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
| Aufgabe | | K sei ein endlicher Körper mit n Elementen. Zeigen Sie: [mm] $a^n [/mm] - a = 0 $ für alle $a [mm] \in [/mm] K$. |
Würde gerne wissen wie ich hier überhaupt ran gehen soll.
Hab versucht einfach die Gleichung zu lösen, aber ohne Ergebnis.
Was muss ich hier beachten, weil es sich ja um einen Körper handelt.
Bitte hat jemand einen Tipp für mich??
Vielen Dank
chriz123
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 20.11.2008 | | Autor: | reverend |
Vielleicht denke ich gerade quer, aber gilt das auch im endlichen Körper nicht nur, wenn n prim ist?
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Hallo,
habt ihr schon ein wenig Gruppentheorie gemacht? Für $a = 0$ ist die Aussage offensichtlich erfüllt und falls $a [mm] \not= [/mm] 0$, dann kann man $a$ als Element der multiplikativen Gruppe [mm] $K^\times [/mm] = K [mm] \backslash \{0\}$ [/mm] bzgl. der Multiplikation auffassen.
Diese hat n-1 Elemente, ist also eine endliche Gruppe der Ordnung n-1 und die Ordnung von jedem Element ist ein Teiler der Gruppenordnung, insbesondere gilt [mm] $a^{n-1} [/mm] = 1$ und das sollte für die Behauptung reichen.
Liebe Grüße,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 20.11.2008 | | Autor: | chriz123 |
> Hallo,
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> habt ihr schon ein wenig Gruppentheorie gemacht? Für [mm]a = 0[/mm]
> ist die Aussage offensichtlich erfüllt und falls [mm]a \not= 0[/mm],
> dann kann man [mm]a[/mm] als Element der multiplikativen Gruppe
> [mm]K^\times = K \backslash \{0\}[/mm] bzgl. der Multiplikation
> auffassen.
Soweit alles klar.
> Diese hat n-1 Elemente, ist also eine endliche Gruppe der
> Ordnung n-1 und die Ordnung von jedem Element ist ein
> Teiler der Gruppenordnung, insbesondere gilt
>[mm]a^{n-1} = 1[/mm]
Wie kommst du darauf?? Oder ist das so definiert??
> und das sollte für die Behauptung reichen.
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Deshalb fragte ich, ob ihr schon Gruppentheorie gemacht habt.
Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der von diesem Element erzeugten Untergruppe. Und die wiederum ist ein Teiler der Gruppenordnung, nach dem Satz von Lagrange - man beweist das durch Betrachtung von Faktorgruppen.
Wenn ihr das nicht hattet, dann musst Du "zu Fuß" argumentieren. Nimm Dir ein $a [mm] \not= [/mm] 0$ im Körper und betrachte die Potenzen von $a$, also
$a, [mm] a^2, a^3, \ldots$
[/mm]
Die 0 kann in dieser Aufzählugn niemals auftauchen, da $K$ ein Körper ist und keine Nullteiler besitzt. Da der Körper nur endlich viele Elemente hat, muss es irgendwann eine Wiederholung geben, also Zahlen $k,l [mm] \in \IN$ [/mm] mit $k [mm] \not= [/mm] l$ (o.B.d.A. $k < l$) und [mm] $a^k [/mm] = [mm] a^l$. [/mm] Dann aber folgt sofort [mm] $a^{k-l} [/mm] = 1$.
Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass $k-l$ ein Teiler von $n-1$ ist, falls diese Zahlen minimal gewählt wurden. Viel Erfolg!
Lars
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