Gleichung Lösen x^12 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finde Sie alle 12 Lösungen in [mm] \IC [/mm] der Gleichung:
[mm] x^{12}-3x^6+2=0 [/mm] |
Hab die ersten zwei Nullstellen erraten: 1 und -1 ... hab dann Polynomdivision mit [mm] (x^2-1) [/mm] versucht komm auf:
[mm] x^{10}+x^8+x^6-2x^4-2x^2-2=0
[/mm]
Hier weiter die Nullstellen zu erraten ist unmöglich da laut wolphramalpha diese bei [mm] -\wurzel[6]{2} [/mm] und [mm] +\wurzel[6]{2} [/mm] liegen.
Meine Frage:
Wie löst man die oben gegebene Aufgabe vernünftig?
Bräuchte umbedingt ein Ansatz.
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Hiho,
substituiere [mm] $z=x^6$.
[/mm]
Du erhälst eine einfacher zu lösende Gleichung, deren Lösungen du dann auf deine Substitution anwenden musst.
Gruß,
Gono.
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Hab mittlerweile die Lösungen in [mm] \IR: [/mm] 1, -1 [mm] +\wurzel[6]{2}, -\wurzel[6]{2} [/mm] vernünftig ausgerechnet.
Wie komm ich aber auf die restlichen 8 Lösungen die sich in [mm] \IC [/mm] befinden?
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Hiho,
warum befolgst du nicht die Hinweise, die man dir gibt?
Nochmal: Substituiere [mm] $z=x^6$ [/mm] und löse die Gleichungen in [mm] $\IC$!
[/mm]
Gruß,
Gono
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Ok,
[mm] t\in\IC
[/mm]
also steht da nach der Rücksubstitution:
[mm] t^6=2 \vee t^6=1
[/mm]
[mm] \gdw (a+bi)^6=2 \vee (a+bi)^6=1
[/mm]
[mm] \gdw a^6+6ia^5b-15a^4b^2-20ia^3b^3+15a^2b^4+6iab^5-b^6=2 [/mm]
[mm] \vee [/mm]
[mm] a^6+6ia^5b-15a^4b^2-20ia^3b^3+15a^2b^4+6iab^5-b^6=1
[/mm]
Wie löse ich aber solche Gleichungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Di 19.05.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] z^6=a=r*e^{i*(\phi+k*2\pi)}
[/mm]
kannst du jetzt die 6 Wurzeln bestimmen?
Gruß leduart
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