Gleichung/Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:57 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Definiere 0v und zwei Verknüpfungen auf [mm] V=K^3, [/mm] und zeige das [mm] \lambda(\nu1 [/mm] + [mm] \nu2) [/mm] = [mm] \lambda\nu1 [/mm] + [mm] \lambda\nu2 [/mm] , [mm] \lambda0v [/mm] = 0v
für alle [mm] \lambda [/mm] in K und alle [mm] \nu1, \nu2 [/mm] in V |
Wie gehe ich dies Aufgabe an, bin leider noch nicht einmal sicher was genau ich machen muss? Also so wie ich das verstehe muss ich die Beiden Gleichungen zeigen, aber was soll ich für Verknüpfungen usw. definieren? Bin dankbar für jede Tipp
liebe grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Wer soll diese Formulierung verstehen ?
Gibt die Aufgabe bitte so wider, wie Du sie gestellt bekommen hast.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
das ist exakt so wie die Aufgabe bei mir auf dem Blatt steht.
liebe grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Wieso? Die Aufgabe ist doch verständlich formuliert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 15.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Da bin ich anderer Meinung
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Mi 15.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> Sei K ein Körper.
Okay. Stelle dir einmal zum Verständnid vor [mm] $K=\IR$
[/mm]
> Definiere 0v und zwei Verknüpfungen auf [mm]V=K^3,[/mm]
Ich hoffe Du hast verstanden, dass [mm] $0_V$ [/mm] das additive neutrale Element (also das Nullelement) in $V$ darstellt. Da $K$ ein Körper sind, gilt für beliebige Elemente [mm] $a,b\in [/mm] K$ die Aussage [mm] $a+b\in [/mm] K$. Das nutzen wir zur Definition unserer ersten Verknüpfung.
[mm] $\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}+\vektor{w_1 \\ w_2 \\ w_3}\,:=\,\vektor{v_1+w_1 \\ v_2+w_2 \\ v_3+w_3}$
[/mm]
Hierbei sind [mm] $v_1,v_2,v_3,w_1,w_2,w_3\in [/mm] K$ und da $K$ (als Körper) bezüglich der Addition abgeschlossen ist, ist auch $V$ mit der hier definierten Addition abgeschlossen. Nun definieren wir die zweite Verknüpfung. Eine skalare Multiplikation:
[mm] $\lambda\cdot\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}\,:=\,\vektor{\lambda\cdot v_1 \\ \lambda\cdot v_2 \\ \lambda\cdot v_3}$
[/mm]
Hierbei sind [mm] $\lambda,v_1,v_2,v_3\in [/mm] K$ und da $K$ (als Körper) bezüglich der Multiplikation abgeschlossen ist, ist auch $V$ bezüglich der Multiplikation mit einem Skalarwert abgeschlossen.
Nun zum additiven neutralen Element (Nullelment): Da $K$ ein Körper ist, gibt es genau ein additives neutrales Element [mm] $0_k$ [/mm] für das
[mm] $0_k+v\,=\,v+0_k\,=\,v\quad\forall\,v\in [/mm] K$
gilt. Daher setzen wir das additive neutrale Element von $V$
[mm] $0_V\,:=\,\vektor{0_K \\ 0_K \\ 0_K}\in V=K^3$
[/mm]
> und zeige das [mm]\lambda(\nu1[/mm] + [mm]\nu2)[/mm] = [mm]\lambda\nu1[/mm] +
> [mm]\lambda\nu2[/mm] ,
Das $K$ ein Körper ist, gilt für Elemente aus $K$ das Distributivgesetz. Mit dieser Begründung reicht, wenn Du
[mm] $\lambda\cdot(v+w)\,=\,\lambda\cdot\left(\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}+\vektor{w_1 \\ w_2 \\ w_3}\right)\,=\,\lambda\cdot\vektor{v_1+w_1 \\ v_2+w_2 \\ v_3+w_3}\,=\,\vektor{\lambda\cdot(v_1+w_1) \\ \lambda\cdot(v_2+w_2) \\ \lambda\cdot(v_3+w_3)}\,=\,\vektor{\lambda\cdot v_1+\lambda\cdot w_1 \\ \lambda\cdot v_2+\lambda\cdot w_2 \\ \lambda\cdot v_3+\lambda\cdot w_3}\,=\,\vektor{\lambda\cdot v_1 \\ \lambda\cdot v_2 \\ \lambda\cdot v_3}+\vektor{\lambda\cdot w_1 \\ \lambda\cdot w_2 \\ \lambda\cdot w_3}\,=\,\lambda\cdot\vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}+\lambda\cdot\vektor{ w_1 \\ w_2 \\ w_3}\,=\,\lambda\cdot v+\lambda\cdot [/mm] w$
für [mm] $\lambda\in [/mm] K$ und [mm] $v,w\in [/mm] V$ schreibst. (Das war jetzt ganz ausführlich.) Mach Dir am besten ganz klar, warum jedes einzelne Gleichheitszeichen gilt. D.h.: An welchen Stellen haben wir die Definitionen unserer Verknüpfungen ausgenutzt, an welcher Stelle ist das Distributivgesetzt eingegangen? u.s.w.
> [mm]\lambda0v[/mm] = 0v
> für alle [mm]\lambda[/mm] in K und alle [mm]\nu1, \nu2[/mm] in V
Das ist noch einfacher. Beachte: Da [mm] $0_K$ [/mm] das Nullelement ist, gilt [mm] $0_K\cdot\lambda=0_K$ [/mm] für jedes [mm] $\lambda\in [/mm] K$. Wir schreiben wieder:
[mm] $\lambda\cdot 0_V\,=\,\lambda\cdot\vektor{0_K \\ 0_K \\ 0_K}\,=\,\vektor{\lambda\cdot 0_K \\ \lambda\cdot 0_K \\ \lambda\cdot 0_K}\,=\,\vektor{0_K \\ 0_K \\ 0_K}\,=\,0_V$
[/mm]
> Wie gehe ich dies Aufgabe an, bin leider noch nicht einmal
> sicher was genau ich machen muss? Also so wie ich das
> verstehe muss ich die Beiden Gleichungen zeigen, aber was
> soll ich für Verknüpfungen usw. definieren? Bin dankbar
> für jede Tipp
Jetzt habe ich Dir (leider) die Lösungen verraten. Melde Dich, falls noch etwas unklar sein sollte.
>
> liebe grüsse
Gruß zurück
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
Hallo und vielen Dank für die Antwort,
wenn ich das so sehen dann verstehe ich das sogar, aber ich weiss echt nicht wie ich da selber drauf kommen soll :) die ganze Mathe wächst mir gerade etwas über den Kopf.
Ähnlich ist es auch mit dieser Aufgabe, ich verstehe zwar halbwegs um was es geht aber ich weiss trotzdem nicht was ich machen soll. Wie würde ich z.B. an eine solche Aufgabe ran gehen: Zeige, dass [mm] F_2 [/mm] -Vektorraum V gibt mir |V|=2^2008
Also ich weiss das [mm] F_2 [/mm] zwei Elemente hat und das ich mit F^2008 = 2^2008 Elemente erhalte, aber wie zeige ich das?
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> Ähnlich ist es auch mit dieser Aufgabe, ich verstehe zwar
> halbwegs um was es geht aber ich weiss trotzdem nicht was
> ich machen soll. Wie würde ich z.B. an eine solche Aufgabe
> ran gehen: Zeige, dass [mm]F_2[/mm] -Vektorraum V gibt mir
> |V|=2^2008
>
> Also ich weiss das [mm]F_2[/mm] zwei Elemente hat und das ich mit
> F^2008 = 2^2008 Elemente erhalte, aber wie zeige ich das?
Hallo,
ich würde mir die Aufgabe erstmal etwas vereinfachen.
Fällt Dir ein Vekorraum über [mm] \IF_2 [/mm] ein, welcher [mm] 2^5 [/mm] Elemente hat?
Oder noch einfacher: welches sind die Elemente des Vektorraumes [mm] \IF_2^3, [/mm] und wieviele Elemente enthält er?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mi 15.10.2008 | | Autor: | raemic |
also ich hab z.B. {0,1} in [mm] F_2 [/mm] und wenn ich das [mm] F_2^3 [/mm] habe dann wäre das
(x1,x2,x3) wobei x = 1 oder x=0 sein könnte? verstehe ich das grundsätzlich richtig? oder stimmt schon der erste Schritt nicht?
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> also ich hab z.B. {0,1} in [mm]F_2[/mm] und wenn ich das [mm]F_2^3[/mm] habe
> dann wäre das
> (x1,x2,x3) wobei x = 1 oder x=0 sein könnte? verstehe ich
> das grundsätzlich richtig? oder stimmt schon der erste
> Schritt nicht?
Hallo,
doch, das verstehst Du völlig richtig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 16.10.2008 | | Autor: | raemic |
:D super, immerhin soweit ist es mal etwas klar für mich aber das war es dann auch schon wieder :D mir fehlt da irgendwie der Bezug wie ich nun von [mm] F_2^3 [/mm] zu [mm] F_2^{2008} [/mm] komme bzw. wie ich es zeigen soll?
Also ich muss die Vektorraumaxiome brauchen? oder? aber wie wende ich die in dem Fall konkret an?
liebe grüsse
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> mir fehlt da
> irgendwie der Bezug wie ich nun von [mm]F_2^3[/mm] zu [mm]F_2^{2008}[/mm]
> komme bzw. wie ich es zeigen soll?
>
> Also ich muss die Vektorraumaxiome brauchen? oder? aber wie
> wende ich die in dem Fall konkret an?
Hallo,
daß die Menge [mm] F_2^{2008} [/mm] gerade [mm] 2^{2008} [/mm] Elemente hat, dürfte ja klar sein.
Für [mm] "F_2-Vektorraum" [/mm] reicht aber nicht diese Menge.
Du mußt auch noch die passenden Verknüpfungen erklären, also eine Addition von Elementen aus [mm] F_2^{2008} [/mm] und die Multiplikation mit Skalaren (also Elementen aus [mm] F_2), [/mm] und im Prinzip muß man dann zeigen, daß die VR-Axiome erfüllt sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Do 16.10.2008 | | Autor: | raemic |
hallo und schon mal danke
> daß die Menge [mm]F_2^{2008}[/mm] gerade [mm]2^{2008}[/mm] Elemente hat,
> dürfte ja klar sein.
>
> Für [mm]"F_2-Vektorraum"[/mm] reicht aber nicht diese Menge.
Ja genau das ist klar
> Du mußt auch noch die passenden Verknüpfungen erklären,
> also eine Addition von Elementen aus [mm]F_2^{2008}[/mm] und die
> Multiplikation mit Skalaren (also Elementen aus [mm]F_2),[/mm] und
> im Prinzip muß man dann zeigen, daß die VR-Axiome erfüllt
> sind.
achso dann muss ich für die beiden Elemente in [mm] F_2={a,b}
[/mm]
die Addition definieren mit (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) und die Multiplikation mit k*(a,b) = (k*a, k*b)
und dann muss ich für diese Verknüpfungen die Axiome zeigen? stimmt das soweit?
wenn das so wäre hätte ich zumindest etwas verstanden, aber wie bringe ich den Bezug zu 2^(2008), ergibt sich das einfach daraus das ich [mm] F_2^{2008} [/mm] habe und das die Menge [mm]F_2^{2008}[/mm] gerade [mm]2^{2008}[/mm] Elemente hat
ach darf man Verknüpfungen definieren "wie man will"?
liebe grüsse
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> hallo und schon mal danke
>
> > daß die Menge [mm]F_2^{2008}[/mm] gerade [mm]2^{2008}[/mm] Elemente hat,
> > dürfte ja klar sein.
> >
> > Für [mm]"F_2-Vektorraum"[/mm] reicht aber nicht diese Menge.
>
> Ja genau das ist klar
>
>
> > Du mußt auch noch die passenden Verknüpfungen erklären,
> > also eine Addition von Elementen aus [mm]F_2^{2008}[/mm] und die
> > Multiplikation mit Skalaren (also Elementen aus [mm]F_2),[/mm] und
> > im Prinzip muß man dann zeigen, daß die VR-Axiome erfüllt
> > sind.
>
> achso dann muss ich für die beiden Elemente in [mm]F_2={a,b}[/mm]
>
> die Addition definieren mit (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) und
> die Multiplikation mit k*(a,b) = (k*a, k*b)
>
> und dann muss ich für diese Verknüpfungen die Axiome
> zeigen? stimmt das soweit?
Hallo,
in [mm] F_2^{2008} [/mm] hast Du keine Zahlenpaare, sondern Spalten mit 2008 Komponenten. Die Einträge in jeder Komponente können 0 oder 1 lauten - die Elemente aus [mm] F_2.
[/mm]
Du kannst jetzt die Addition komponentenweise erklären, also
[mm] \vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}+\vektor{b_1\\ \vdots\\b_{2008}}:=\vektor{a_1+b_1\\ \vdots\\a_{2008}+b_{2008}},
[/mm]
und die Multiplikation mit Skalaren
[mm] k*\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}:=...
[/mm]
> wenn das so wäre hätte ich zumindest etwas verstanden, aber
> wie bringe ich den Bezug zu 2^(2008), ergibt sich das
> einfach daraus das ich [mm]F_2^{2008}[/mm] habe und das die Menge
> [mm]F_2^{2008}[/mm] gerade [mm]2^{2008}[/mm] Elemente hat
Ja.
Für die erste Komponente hast Du zwei Möglichkeiten, für die zweite, die dritte usw.
>
> ach darf man Verknüpfungen definieren "wie man will"?
Ja.
Dann muß man zeigen, daß sie die versprochenen Eigenschaften haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Do 16.10.2008 | | Autor: | raemic |
> in [mm]F_2^{2008}[/mm] hast Du keine Zahlenpaare, sondern Spalten
> mit 2008 Komponenten. Die Einträge in jeder Komponente
> können 0 oder 1 lauten - die Elemente aus [mm]F_2.[/mm]
>
> Du kannst jetzt die Addition komponentenweise erklären,
> also
>
> [mm]\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}+\vektor{b_1\\ \vdots\\b_{2008}}:=\vektor{a_1+b_1\\ \vdots\\a_{2008}+b_{2008}},[/mm]
>
> und die Multiplikation mit Skalaren
>
> [mm]k*\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}:=...[/mm]
>
OK, ich werde mal versuchen ob ich das hinkriege, besten Dank schon mal, hast mir soweit schon einige Frage super geklärt.
Nur noch etwas, ist ev. eine "blöde" Frage (wenns den solche geben sollte) aber ich muss es hier mit Vektoren machen weil ich mich im Vektorraum sprich in 3-Dimensionen bewege und vorher in Ringen und Körper nicht? oder nicht zwingend? stimmt das?
EDIT 1
also ich muss die Vektorraumaxiome nur für ein a,b aus [mm] F_2 [/mm] zeigen wenn es z.B. für a_23 und b_23 gilt, gilt es auch für alle anderen oder? :) bin mir im Moment nicht sicher ob ich das richtig verstehe
EDIT 2
gut ich komm nicht recht weiter, ich hab zwar die Vektorraumaxiome vor mir und versuche die anzuwenden aber ich weiss nicht recht ob ich nur mit a,b [mm] \in F_2 [/mm] die Axiome zeigen kann oder mit den Vektoren oder wie das nun genau geht.
wäre super wenn mir jemand ein Beispiel oder Tipp dazu geben könnte.
liebe grüsse
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> > in [mm]F_2^{2008}[/mm] hast Du keine Zahlenpaare, sondern Spalten
> > mit 2008 Komponenten. Die Einträge in jeder Komponente
> > können 0 oder 1 lauten - die Elemente aus [mm]F_2.[/mm]
> >
> > Du kannst jetzt die Addition komponentenweise erklären,
> > also
> >
> > [mm]\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}+\vektor{b_1\\ \vdots\\b_{2008}}:=\vektor{a_1+b_1\\ \vdots\\a_{2008}+b_{2008}},[/mm]
>
> >
> > und die Multiplikation mit Skalaren
> >
> > [mm]k*\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}:=...[/mm]
> >
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> OK, ich werde mal versuchen ob ich das hinkriege, besten
> Dank schon mal, hast mir soweit schon einige Frage super
> geklärt.
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> Nur noch etwas, ist ev. eine "blöde" Frage (wenns den
> solche geben sollte) aber ich muss es hier mit Vektoren
> machen weil ich mich im Vektorraum sprich in 3-Dimensionen
> bewege und vorher in Ringen und Körper nicht? oder nicht
> zwingend? stimmt das?
Hallo,
ich glaube, daß Du noch nicht verstanden hast, was ein Vektorraum ist.
Was sind die Bestandteile? Man braucht eine Menge M und einen Körper K, weiter zwei Verknüpfungen, ich nenne sie jetzt mal [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot.
[/mm]
Die erste der Verknüpfungen, [mm] \oplus, [/mm] verknüpft je zwei Elemente aus M zu einem neuen Element aus M, und
die zweite, [mm] \odot, [/mm] verknüpft jeweils ein Element aus dem Körper K mit einem aus M zu einem Element aus M.
Wenn diese Verknüpfungen nun bestimmten Regeln gehorchen, nämlich den Vektorraumaxiomen, nennt man die Menge M mit den beiden Verknüpfungen [mm] \oplus [/mm] und [mm] \odot [/mm] einen Vektorraum über K bzw. einen K-Vektorraum.
Was sind nun Vektoren? Elemente eines Vektorraumes. Nicht mehr, nicht weniger. Vektoren können völlig verschiedene Gestalt haben, Du wirst bald lernen, daß es Vektorräume gibt, deren Elemente, also Vekoren (!), Funktionen sind.
Der [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3 [/mm] (mit der Addition und der Multiplikation mit reellen Zahlen), die Du aus der Schule kennst, sind Beispiele für Vektorräume.
Betrachtest Du den [mm] \IR^3 [/mm] nur mit der Addition, so ist das eine Gruppe.
Warum nehme ich nun für [mm] F_2^{2008} [/mm] Spalten? Weil die Menge [mm] F_2^{2008} [/mm] halt so definiert ist: 2008 Einträge, die der Menge [mm] F_2 [/mm] entstammen.
>
> EDIT 1
>
> also ich muss die Vektorraumaxiome nur für ein a,b aus [mm]F_2[/mm]
> zeigen wenn es z.B. für a_23 und b_23 gilt, gilt es auch
> für alle anderen oder? :) bin mir im Moment nicht sicher ob
> ich das richtig verstehe
Wenn Du zeigen willst, daß [mm] F_2^{2008} [/mm] mit den oben definierten Verknüpfungen ein Vektorraum ist, mußt das natürlich alles für Elemente aus [mm] F_2^{2008} [/mm] zeigen.
Mal exemplarisch die Assoziativität:
Hier wäre zu zeigen, daß für alle a,b,c [mm] \in F_2^{2008} [/mm] gilt (a+b)+c=a+(b+c).
Wie geht das nun?
Seinen [mm] a,b,c\in F_2^{2008}.
[/mm]
Dann haben a,b,c die Gestalt
[mm] a=\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}, b=\vektor{b_1\\ \vdots\\b_{2008}}, c=\vektor{c_1\\ \vdots\\c_{2008}} [/mm] mit [mm] a_i, b_i, c_i \in F_2 [/mm] für alle i=1,2,...,2008.
Und nun kann's losgehen:
(a+b)+c [mm] =(\vektor{a_1\\ \vdots\\a_{2008}}+\vektor{b_1\\ \vdots\\b_{2008}})+\vektor{c_1\\ \vdots\\c_{2008}}
[/mm]
= ... Nun die Def. der Verknüpfung verwenden und die Regeln fürs Rechnen in [mm] F_2, [/mm] bis am Ende schließlich dasteht
....=a+(b+c)
Ich hoffe, daß ich damit zumindest einige Unklarheiten beseitigen konnte.
Gruß v. Angela
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