Gleichung Winkelhalbierende < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das euklidische Dreieck mit den Eckpunkten
A=(3,-1), B=(-7,9), C=(-3,-3).
Geben Sie die Gleichung der Winkelhalbierenden bei A an. |
Man soll also die Winkelhalbierende durch [mm] \gamma [/mm] bestimmen. Höhen, Mittelsenkrechte bekomme ich ja ohne Weiteres hin, aber wie bekomme ich einen weiteren Punkt auf der Winkelhalbierenden außer A um die Geradengleichung aufstellen zu können?
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, ich schreibe morgen Klausur :)
Gruß
congo
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> Gegeben ist das euklidische Dreieck mit den Eckpunkten
>
> A=(3,-1), B=(-7,9), C=(-3,-3).
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> Geben Sie die Gleichung der Winkelhalbierenden bei A an.
> Man soll also die Winkelhalbierende durch [mm]\gamma[/mm] bestimmen.
> Höhen, Mittelsenkrechte bekomme ich ja ohne Weiteres hin,
> aber wie bekomme ich einen weiteren Punkt auf der
> Winkelhalbierenden außer A um die Geradengleichung
> aufstellen zu können?
>
> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen, ich schreibe morgen
> Klausur :)
>
> Gruß
> congo
Hallo,
bestimme auf den beiden Schenkeln AB und AC jeweils einen Punkt, der gleichweit von A entfernt ist.
Durch die Mitte der Verbindungsstrecke der beiden Punkte läuft die Winkelhalbierende.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
Wie bestimme ich diese Punkte?
Ich habe versucht einen Punkt auf der Strecke AC zufällig zu wählen und dann durch Probieren einen Punkt auf BC zu finden, der den gleichen Abstand zu C hat. Da komme ich aber nicht wirklich weiter....
Gruß
congo
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Hallo!
Vielleicht ist folgender Ansatz ein wenig leichter zum Rechnen, er baut aber im Grunde auf Angela's Vorschlag auf:
Du sollst die Winkelhalbierende bei A bestimmen. (Erstmal meine Frage dazu: Wieso schreibst du dann: "Ich soll also die Winkelhalbierende bei [mm] \gamma [/mm] bestimmen"? Der Winkel bei A heißt doch [mm] \alpha [/mm] !
Bestimme dazu zunächst die Richtungsvektoren
[mm] \vec{AC} [/mm] und [mm] \vec{AB}.
[/mm]
Diese Vektoren haben im Allgemeinen natürlich noch verschiedene Längen. (Es handelt sich ja um Richtungsvektoren, welche die Seiten AC und AB des Dreiecks repräsentieren).
Indem du aber beide Richtungsvektoren durch ihre Länge teilst, werden sie beide zu Richtungsvektoren der Länge 1 :
[mm] $\frac{1}{|\vec{AC}|}*\vec{AC}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{|\vec{AB}|}*\vec{AB}$
[/mm]
Nun kannst du ganz einfach den Richtungsvektor [mm] \vec{v} [/mm] der Winkelhalbierenden erhalten, indem du
[mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \frac{1}{|\vec{AC}|}*\vec{AC} [/mm] + [mm] frac{1}{|\vec{AB}|}*\vec{AB}$
[/mm]
berechnest. Ist dir klar, warum man damit einen Richtungsvektor der Winkelhalbierenden erhält?
Ein Ortsvektor der Winkelhalbierenden erhältst du einfach durch den Punkt A.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 23.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Vielleicht ist folgender Ansatz ein wenig leichter zum
> Rechnen, er baut aber im Grunde auf Angela's Vorschlag
> auf:
>
> Du sollst die Winkelhalbierende bei A bestimmen. (Erstmal
> meine Frage dazu: Wieso schreibst du dann: "Ich soll also
> die Winkelhalbierende bei [mm]\gamma[/mm] bestimmen"? Der Winkel bei
> A heißt doch [mm]\alpha[/mm] !
>
> Bestimme dazu zunächst die Richtungsvektoren
>
> [mm]\vec{AC}[/mm] und [mm]\vec{AB}.[/mm]
>
> Diese Vektoren haben im Allgemeinen natürlich noch
> verschiedene Längen. (Es handelt sich ja um
> Richtungsvektoren, welche die Seiten AC und AB des Dreiecks
> repräsentieren).
>
> Indem du aber beide Richtungsvektoren durch ihre Länge
> teilst, werden sie beide zu Richtungsvektoren der Länge 1
> :
>
> [mm]\frac{1}{|\vec{AC}|}*\vec{AC}[/mm] und
> [mm]\frac{1}{|\vec{AB}|}*\vec{AB}[/mm]
>
> Nun kannst du ganz einfach den Richtungsvektor [mm]\vec{v}[/mm] der
> Winkelhalbierenden erhalten, indem du
>
> [mm]\vec{v} = \frac{1}{|\vec{AC}|}*\vec{AC} + frac{1}{|\vec{AB}|}*\vec{AB}[/mm]
>
> berechnest. Ist dir klar, warum man damit einen
> Richtungsvektor der Winkelhalbierenden erhält?
> Ein Ortsvektor der Winkelhalbierenden erhältst du einfach
> durch den Punkt A.
>
> Grüße,
> Stefan
Zweite Variante: Jede Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten. Ermittle also die Längen AB und AC, bilde das Verhältnis AB:AC und teile die Seite BC genau in diesem Verhältnis.
Gruß Abakus
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Vielen Dank! An das Normieren der Richtungsvektoren hatte ich nicht gedacht, aber nun ists klar!
Gruß
congo
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