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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Mo 11.06.2007 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Lösung der Aufgabe von
Diophant: "Es ist ein rechtwinkliges Dreieck von der Art zu finden, daß die
Hypotenuse, vermindert um jede der Katheten, einen Kubus ergibt."
(Sechstes Buch, Nr. 1) |
Hallo
ich weiß nicht wie ich das anstellen soll, kann mir einer helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Mo 11.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, nix19,
Zwei Fragen dazu
(1) Sollen die Seiten des Dreiecks ganzzahlige Längen haben? (Diophant!)
(2) Was ist mit "Kubus" gemeint? Eine Kubikzahl?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 Mo 11.06.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
würde mal von zwerglein ausgehen: gesucht ist eine ganze kubikzahl...
was haben wir denn? rechtwinkliges dreieck -> pythagoras:
1. [mm] c^2 [/mm] = [mm] a^2 +b^2 [/mm]
2. c -a -b = [mm] n^3 [/mm]
ferner: a, b, c, n natürliche ganze zahlen
d.h. c > a+b
hmmm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:47 Mo 11.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso c>a+b das geht nicht! für alle Dreiecke gilt c<a+b, a<c+b b<c+a.
Gruss leduart
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Hallo !
Unter einem Kubus verstehe ich einen Würfel.
2 Pyramiden, die so gewählt sind, das wenn die Grundflächen aufeinander
liegen ein Würfel herauskommt.
Es wären als 8 Gleichschenklige Dreiecke im Spiel, bei denen nun die Hypothenuse so gewählt werden muss, das man 2*Kathete subtrahieren kann und dann immernoch der Kubus entsteht.
Wie soll man das aber rechnerisch machen ?
Hat da einer evtl nen Ansatz.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Di 12.06.2007 | | Autor: | nix19 |
Mit Kubus ist ein Würfel gemeint, mehr weiß ich aber auch nicht zu der Aufgabe.
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> Unter einem Kubus verstehe ich einen Würfel.
Hallo,
natürlich ist ein Kubus ein Würfel.
Die Frage ist, was in nix19s Aufgabe mit "Kubus" gemeint ist.
Denn ganz sicher entsteht ja, wenn man Seitenlängen verkürzt, kein Würfel...
Aber die Frage hat aus meiner Sicht hase-hh ja bereits geklärt: mit Kubus ist eine Kubikzahl gemeint.
Ich meine, daß die von Dir vorgestellte Aufgabe mit nix19s Aufgabe nichts zu tun hat.
Gruß v. Angela
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Aufgaben, bei denen man erst einmal rätseln muss, was damit eigentlich überhaupt gemeint ist, sind a) entweder schlecht formuliert (vom Fragesteller unbeabsichtigt) oder b) Scherzaufgaben (absichtlich verworren formuliert)
Welcher Fall liegt denn hier vor???
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> Aufgaben, bei denen man erst einmal rätseln muss, was damit
> eigentlich überhaupt gemeint ist, sind a) entweder schlecht
> formuliert (vom Fragesteller unbeabsichtigt) oder b)
> Scherzaufgaben (absichtlich verworren formuliert)
>
> Welcher Fall liegt denn hier vor???
Weder noch, würde ich sagen.
Wir müssen Diophantos eine andere Denk- und Ausdrucksweise als die der heutigen Zeit zugestehen.
Wenn der Name Diophantos auftaucht, hat das immer etwas mit ganzzahligen Lösungen zu tun, und wenn man das weiß, finde ich die Frage recht deutlich gestellt:
Gibt es ganzzahlige a,b,c,n mit [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und [mm] c-a-b=n^3 [/mm] ?
Dazu muß man sich wohl erstmal mit der Frage der pythagoräischen Tripel beschäftigen - oder bereits auskennen, was bei mir nicht der Fall ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 12.06.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Gibt es ganzzahlige a,b,c,n mit [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] und [mm]c-a-b=n^3[/mm]
Genau das meinte ich. Mathematische Formeln (wie die obige) sind eben immer eindeutig, was deren Zielsetzung betrifft.
Die Lösung dagegen mag nicht immer leicht und eindeutig sein.
In obiger Textaufgabe hast du auch eine Eindeutigkeit erkannt (wegen der Beziehung Diophantos = ganzzahligen Lösungen)
Leider gibt es aber auch eine Reihe von Textaufgaben, wo anhand von ungewollter sprachlicher Mehrdeutigkeit die Aufgabenstellung nicht klar ist (besonders in einem Buch über "Wahrscheinlichkeitsrechnung" waren mir mal eine Reihe solcher Aufgaben aufgefallen).
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> Bestimmen Sie eine Lösung der Aufgabe von
> Diophant: "Es ist ein rechtwinkliges Dreieck von der Art
> zu finden, daß die
> Hypotenuse, vermindert um jede der Katheten, einen Kubus
> ergibt."
> (Sechstes Buch, Nr. 1)
>
> ich weiß nicht wie ich das anstellen soll, kann mir einer
> helfen?
Hallo,
die Frage ist ja inzwischen übersetzt (s. hase-hhs Post),
ich wiederhole sie lediglich:
finde ganze Zahlen a,b,c,n so daß [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] und [mm] c-a-b=n^3 [/mm] gelten.
Möglicherweise hattet Ihr in der Vorlesung die pythagoräischen Tripel.
Was weißt Du darüber? Unter welchen Bedingungen gilt [mm] a^2+b^2=c^2.
[/mm]
Da haben die a,b,c ja eine bestimmte Machart.
Ich vermute, daß das der Schlüssel ist.
Gruß v. Angela
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> finde ganze Zahlen a,b,c,n so daß [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] und [mm]c-a-b=n^3[/mm]
> gelten.
Wenn [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] und [mm]c-a-b=n^3[/mm], dann heißt das doch:
[mm] \wurzel{a^{2}+b^{2}}-a-b=n^{3}
[/mm]
Mal ganz abgesehen davon, dass a und b natürliche Zahlen sein sollen:
Kann denn der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen überhaupt größer als Null sein??
Allein schon aufgrund des Satzes des Pythagoras und den Regeln für ein Dreieck geht das m.E. nicht. Denn dann müsste ja die Hypothenuse größer als die Summe der beiden Katheten sein.
n wäre dann immer eine negative Zahl (unabhängig, ob eine ganze Zahl oder nicht)
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> Wenn [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] und [mm]c-a-b=n^3[/mm], dann heißt das doch:
>
> [mm]\wurzel{a^{2}+b^{2}}-a-b=n^{3}[/mm]
>
> Mal ganz abgesehen davon, dass a und b natürliche Zahlen
> sein sollen:
> Kann denn der Ausdruck links vom Gleichheitszeichen
> überhaupt größer als Null sein??
>
> Allein schon aufgrund des Satzes des Pythagoras und den
> Regeln für ein Dreieck geht das m.E. nicht. Denn dann
> müsste ja die Hypothenuse größer als die Summe der beiden
> Katheten sein.
>
> n wäre dann immer eine negative Zahl (unabhängig, ob eine
> ganze Zahl oder nicht)
Ja, sicher ist n negativ. Macht doch nichts!
Ich finde das angenehmer als sich noch mit Betragsstrichen rumzuärgern.
Wenn man die "Hypothenuse um beide Katheten vermindert", landet man natürlich "auf der anderen Seite", da brauchen wir gar nicht die Wurzel zu bemühen. Die Dreiecksungleichung tut's.
Gruß v. Angela
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> finde ganze Zahlen a,b,c,n so daß [mm]a^2+b^2=c^2[/mm] und [mm]c-a-b=n^3[/mm]
> gelten.
>
>
> pythagoräischen Tripel.
> Unter welchen Bedingungen gilt
> [mm]a^2+b^2=c^2.[/mm]
Hallo,
umfangreiche Forschungstätigkeit (einmal googlen...) hat ergeben:
genau dann ist a,b,c ein pythagoräisches Tripel, wenn
[mm] a=k^2-l^2, [/mm] b=2kl, [mm] c=k^2+l^2 [/mm] mit k,l [mm] \in \IN.
[/mm]
Also bleibt die Frage zu klären: gibt es k,l [mm] \in \IN, [/mm] und wenn ja, welche, mit
[mm] 2l^2-2kl=n^3 [/mm] mit [mm] n\in \IZ [/mm] ?
Also kommen nur solche n infrage mit n=2m,
und man muß überlegen, ob man k,l findet mit
[mm] l^2-kl=4m^3.
[/mm]
Findet man. Z.B. mit
m:=-1, l=1 und K=5, womit man a=24, b=10, c=26 hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Di 12.06.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, angela,
sicher eine mögliche "Lösung" der Aufgabe, nur frage ich mich, ob mit der Angabe "... vermindert um jede der beiden Katheten ..." wirklich gemeint ist, dass man beide Katheten ZUGLEICH abziehen soll, sodass dann auf jeden Fall eine negative Kubikzahl rauskommt. (Hat Diophant schon mit negativen Zahlen gearbeitet?)
Ich hätte es so verstanden, dass
(1) c - a = [mm] n^{3}
[/mm]
und
(2) c - b = [mm] m^{3}
[/mm]
wobei n, m natürliche Zahlen sind.
mfG!
Zwerglein
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>(Hat Diophant schon mit
> negativen Zahlen gearbeitet?)
Hallo,
wohl kaum.
Allerdings gehe ich davon aus, daß er Strecken in zwei Richtungen von einem Punkt aus abgetragen hat. So hatte ich mir das vorgestellt.
Wie er sich die Aufgabe gedacht hat, weiß ich natürlich nicht...
Gruß v. Angela
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