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Gleichung hat genau eine Lösun: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Di 27.02.2018
Autor: jonas55

Aufgabe
zz ist, dass die Gleichung [mm] e^{3x}+x^5+sin(2x)+7x=11 [/mm] genau eine Lösung x [mm] \in \IR [/mm]

Hallo,

ich habe mit dieser Aufgabe meine Schwierigkeiten. Vllt. kann mir jemand einen Tipp geben oder sogar gemeinsam mit mir lösen.

Danke!!
VG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Di 27.02.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> zz ist, dass die Gleichung [mm]e^{3x}+x^5+sin(2x)+7x=11[/mm] genau
> eine Lösung x [mm]\in \IR[/mm]
> Hallo,

>

> ich habe mit dieser Aufgabe meine Schwierigkeiten. Vllt.
> kann mir jemand einen Tipp geben

Gerne: bringe den Term auf die Nullform und zeige dann, dass der so entstandene Term als Funktion betrachtet streng monoton steigend ist.

Dann braucht man noch zwei geeignete Werte dieses Terms sowie einen allseits bekannten Satz...


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Di 27.02.2018
Autor: jonas55

Hallo Diophant,

das mit der Nullform ist mir klar. Und eine Nullstelle -> streng monoton steigend ist auch klar...

[mm] e^{3x}+x^5+sin(2x)+7x-11=0 [/mm]


kann ich jetzt schreiben [mm] e^{3x}=0 [/mm] Widerspruch

und dann [mm] x^5+sin(2x)+7x-11=0[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Di 27.02.2018
Autor: fred97


> Hallo Diophant,
>  
> das mit der Nullform ist mir klar. Und eine Nullstelle ->
> streng monoton steigend ist auch klar...

Tatsächlich ? Ich interpretiere

    " Und eine Nullstelle -> streng monoton steigend ",

dass Du der Meinung bist: Existenz einer Nullstelle zieht Monotonie nach sich.

Das ist aber völliger Unsinn.


>  
> [mm]e^{3x}+x^5+sin(2x)+7x-11=0[/mm]
>  
>
> kann ich jetzt schreiben [mm]e^{3x}=0[/mm] Widerspruch


Schreiben kannst Du das. Nur ist es völlig falsch.

>  
> und dann [mm]x^5+sin(2x)+7x-11=0[/mm]  

Auch das kannst Du schreiben, es ist aber auch falsch.

Machen wir mal Nägel mit Köpfen: wir definieren:

[mm] f(x)=e^{3x}+x^5+sin(2x)+7x-11 [/mm]

Dann stellen wir fest: f(0)=1-11=-10<0 und f(2)>0.

Nach dem Zwischenwertsatz hat f also mindestens eine Nullstelle (im Intervall (0,2)).

Begründe nun Du, warum $f'(x)>0$ ist für alle x.

f ist also streng monoton wachsend. Damit hat f höchstens eine Nullstelle.

mindestens eine Nullstelle+höchstens eine Nullstelle = genau eine eine Nullstelle.


Bezug
                                
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Di 27.02.2018
Autor: jonas55

Hi fred,

danke für deine Antwort.
Jetzt sehe ich es auch!!(eigendlich voll leicht)

Ich dachte aus einer NS folgt streng monoton und aus 2 NS nur monoton?!?

f'(x)>0  Min in x deshalb Wachsend

Was heißt das `genau eine Lösung [mm] x\in\IR [/mm] besitzt`


Bezug
                                        
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Di 27.02.2018
Autor: abakus


>
> Was heißt das 'genau eine Lösung [mm]x\in\IR[/mm] besitzt'

"Genau eine" bedeutet
"mehr als gar keine" UND "weniger als zwei".


Bezug
                                        
Bezug
Gleichung hat genau eine Lösun: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:51 Mi 28.02.2018
Autor: angela.h.b.


> Hi fred,

>

> danke für deine Antwort.
> Jetzt sehe ich es auch!!

Hallo,

das ist schön.

> (eigendlich voll leicht)


>

> Ich dachte aus einer NS folgt streng monoton und aus 2 NS
> nur monoton?!?

Hier irrst Du.
Daraus, daß eine Funktion f eine Nullstelle hat, kann man absolut gar nichts über ihre Monotonie ableiten.

Wenn eine Funktion zwei Nullstellen hat, dann weiß man, daß sie nicht streng monoton wachsend/fallend ist.


>

> f'(x)>0 Min in x deshalb Wachsend

Was meinst Du mit "Min in x"?
Richtig ist: wenn f'(x)>0 für alle x ist, dann ist die Funktion streng monoton wachsend.

LG Angela

 

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