Gleichung lösen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | Berechnen sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der folgenden Gleichung
z²+iz-1-i=0
berechnen Sie die Auftauchende wurzeln explizit. |
Also ich habe zwei Ansätze,
1 beim ersten setze ich sofort z=x+iy ein:
(x+iy)²+i(x+iy)-1-i=0 wobei (x+iy)²=x²+2xiy-y²
x²+2xiy-y²+ix-y-1-i=0 weiter weiß ich nicht...
2. anderfalls rechne ich erst mit z:
z²+iz-1-i=0 quad. ergänzung
z²+iz+(-1*1/4)-(-1*1/4)-1-i=0
(z+i/2)²=5/4-i [mm] |\wurzel
[/mm]
[mm] z+i/2=\wurzel{5/4-i}
[/mm]
z=-i/2 [mm] \pm\wurzel{5/4-i} [/mm] nur weiß ich nicht, wie ich das Wurzel ziehen soll...
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Hallo Aniria,
> Berechnen sie alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der folgenden
> Gleichung
> z²+iz-1-i=0
> berechnen Sie die Auftauchende wurzeln explizit.
> Also ich habe zwei Ansätze,
> 1 beim ersten setze ich sofort z=x+iy ein:
> (x+iy)²+i(x+iy)-1-i=0 wobei
> (x+iy)²=x²+2xiy-y²
> x²+2xiy-y²+ix-y-1-i=0 weiter weiß ich nicht...
Trenne hier Real- und Imaginärteil.
Dies führt dann auf das Gleichungssystem
[mm]x^{2}-y^{2}-y-1=0[/mm]
[mm]2*x*y+x-1=0[/mm]
>
> 2. anderfalls rechne ich erst mit z:
> z²+iz-1-i=0 quad. ergänzung
> z²+iz+(-1*1/4)-(-1*1/4)-1-i=0
> (z+i/2)²=5/4-i [mm]|\wurzel[/mm]
Die Gleichung muss hier lauten:
[mm](z+i/2)²=\bruch{\red{3}}{4}\red{+}i[/mm]
> [mm]z+i/2=\wurzel{5/4-i}[/mm]
> z=-i/2 [mm]\pm\wurzel{5/4-i}[/mm] nur weiß ich nicht, wie ich
> das Wurzel ziehen soll...
>
>
Willst Du die Wurzel aus einer konplexen Zahl ziehen,
so kannst Du den Ansatz
[mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i[/mm]
wählen.
Dies führt auf das Gleichungssystem
[mm]a^{2}-b^{2}=c[/mm]
[mm]2*a*b=d[/mm]
Woraus sich dann a und b bestimmen lassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | mir ist deine nicht ganz klar geworden |
> > 2. anderfalls rechne ich erst mit z:
> > z²+iz-1-i=0 quad. ergänzung
> > z²+iz+(-1*1/4)-(-1*1/4)-1-i=0
> > (z+i/2)²=5/4-i [mm]|\wurzel[/mm]
>
>
> Die Gleichung muss hier lauten:
>
> [mm](z+i/2)²=\bruch{\red{3}}{4}\red{+}i[/mm]
>
>
> > [mm]z+i/2=\wurzel{5/4-i}[/mm]
> > z=-i/2 [mm]\pm\wurzel{5/4-i}[/mm] nur weiß ich nicht, wie
> ich
> > das Wurzel ziehen soll...
> >
> >
>
>
> Willst Du die Wurzel aus einer konplexen Zahl ziehen,
> so kannst Du den Ansatz
>
> [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i[/mm]
>
> wählen.
> [mm] \left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i
[/mm]
> Dies führt auf das Gleichungssystem
>
> [mm]a^{2}-b^{2}=c[/mm]
>
> [mm]2*a*b=d[/mm] [mm] \left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i
[/mm]
>
> Woraus sich dann a und b bestimmen lassen.
>
wenn ich hier ansetze, dann:
[mm] \left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i ->(z+i/2)²=\bruch{3}{4}+i
[/mm]
[mm] z²-\bruch{1}{4}=\bruch{3}{4} [/mm] ->z²=1 ->z=1
[mm] 2z*\bruch{1}{2}=1 [/mm] -> z=1
ist das richtig?
wenn ja, dann wieso steht unter der Aufgabe folgende Anmerkung: Vereinfachen sie ihre Ergebnisse soweit wie möglich, d.h. berechnen Sie die auftretenden Wurzeln explizit.
Ich rechne hier aber dann gar nicht mit Wurzeln?
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Hallo Aniria,
> mir ist deine nicht ganz klar geworden
> > > 2. anderfalls rechne ich erst mit z:
> > > z²+iz-1-i=0 quad. ergänzung
> > > z²+iz+(-1*1/4)-(-1*1/4)-1-i=0
> > > (z+i/2)²=5/4-i [mm]|\wurzel[/mm]
> >
> >
> > Die Gleichung muss hier lauten:
> >
> > [mm](z+i/2)²=\bruch{\red{3}}{4}\red{+}i[/mm]
> >
> >
> > > [mm]z+i/2=\wurzel{5/4-i}[/mm]
> > > z=-i/2 [mm]\pm\wurzel{5/4-i}[/mm] nur weiß ich nicht,
> wie
> > ich
> > > das Wurzel ziehen soll...
> > >
> > >
> >
> >
> > Willst Du die Wurzel aus einer konplexen Zahl ziehen,
> > so kannst Du den Ansatz
> >
> > [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i[/mm]
> >
> > wählen.
> > [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i[/mm]
> > Dies führt auf das Gleichungssystem
> >
> > [mm]a^{2}-b^{2}=c[/mm]
> >
> > [mm]2*a*b=d[/mm] [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i[/mm]
> >
> > Woraus sich dann a und b bestimmen lassen.
> >
> wenn ich hier ansetze, dann:
> [mm]\left(a+b*i\right)^{2}=c+d*i ->(z+i/2)²=\bruch{3}{4}+i[/mm]
Gemeint ist hier:
Suche eine komplexe Zahl a+bi, welche quadriert c+di ergibt.
Hier also:
[mm]\left(a+b*i\right)^{2}=\bruch{3}{4}+i[/mm]
Dann musst Du das Gleichungssystem
[mm]a^{2}-b^{2}=\bruch{3}{4}[/mm]
[mm]2*a*b=1[/mm]
lösen.
Wenn Du hier b mit Hilfe der zweiten Gleichung ausdrückst,
und in die erste Gleichung einsetzt, erhältst Du eine
biquadratische Gleichung:
[mm]\alpha*a^{4}+\beta*a^{2}+\gamma=0[/mm]
>
> [mm]z²-\bruch{1}{4}=\bruch{3}{4}[/mm] ->z²=1 ->z=1
> [mm]2z*\bruch{1}{2}=1[/mm] -> z=1
>
> ist das richtig?
>
> wenn ja, dann wieso steht unter der Aufgabe folgende
> Anmerkung: Vereinfachen sie ihre Ergebnisse soweit wie
> möglich, d.h. berechnen Sie die auftretenden Wurzeln
> explizit.
> Ich rechne hier aber dann gar nicht mit Wurzeln?
Es müssen erst die Werte für a bzw. b ermittelt werden.
Dann ergibt sich die Lösung zu:
[mm]z_{1,2}=-\bruch{i}{2}\pm\left(a+bi\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ok, also versuch ich mal... |
Hallo MathePower,
> [mm]a^{2}-b^{2}=\bruch{3}{4}[/mm]
>
> [mm]2*a*b=1[/mm]
>
[mm] b=\bruch{1}{2a}
[/mm]
[mm] a^{2}-(\bruch{1}{2a})^{2}=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] 4a²-(\bruch{1}{a})^{2}=3
[/mm]
>
> Wenn Du hier b mit Hilfe der zweiten Gleichung
> ausdrückst,
> und in die erste Gleichung einsetzt, erhältst Du eine
> biquadratische Gleichung:
>
> [mm]\alpha*a^{4}+\beta*a^{2}+\gamma=0[/mm]
>
das mit biquadratische Gleichung habe ich nicht verstanden...
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Hallo
Ich hoffe ich habe deine frage richtig verstanden ....
Eine biquadratische gleichung ist ja erstmal eine gleichung 4. grades und lautet in deinem fall allgemein:
[mm] ax^4+bx²+c
[/mm]
es heißt biquadratisch, weil [mm] (x²)²=x^4 [/mm] ist, also doppelt/zweifach quadrat.
Um so eine gleichung lösen zu können musst du substitutieren. Sagt dir der begriff etwas?
LG
Powerranger
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | der Begriff sagt mir zwar nichts, aber ich brauche ihn auch gar nicht |
ich habe ja die gleichung
a²-(1/2a)²-3/4=0 zu lösen
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Hallo Aniria,
> der Begriff sagt mir zwar nichts, aber ich brauche ihn auch
> gar nicht
> ich habe ja die gleichung
>
> a²-(1/2a)²-3/4=0 zu lösen
Das ist richtig.
Multipliziere jetzt die Gleichung mit [mm]4a^{2}[/mm] durch.
Dann erhältst Du
[mm] 4*a^{4} + ... *a^{2}+ ... =0[/mm]
Diese Gleichung kannst Du auf eine quadratische Gleichung zurückführen.
Setze hierzu [mm]u=a^{2}[/mm]
Dann ergibt sich die Gleichung
[mm] 4*u^{2} + ... *u+ ... =0[/mm]
Diese kannst Du jetzt lösen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | | ach so, meinst du das. ok, also mal sehen was raus kommt... |
a²-(1/2a)²-3/4=0 |*4a²
[mm] 4a^{4}-3a²-1=0 [/mm] a²=u
4u²-3u-1=0
[mm] u_{1}=1 u_{2}=-0.25 [/mm] -> [mm] a_{1}= \wurzel{1}=1? (a_{2}= \wurzel{-0.25} [/mm] ist aber negativ)
also dann ist b=1/2
dann ist [mm] z_{1,2}= [/mm] - [mm] \bruch{i}{2} \pm (\wurzel{1} [/mm] + 1/2)
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Hallo Aniria,
> ach so, meinst du das. ok, also mal sehen was raus
> kommt...
> a²-(1/2a)²-3/4=0 |*4a²
> [mm]4a^{4}-3a²-1=0[/mm] a²=u
>
> 4u²-3u-1=0
>
> [mm]u_{1}=1 u_{2}=-0.25[/mm] -> [mm]a_{1}= \wurzel{1}=1? (a_{2}= \wurzel{-0.25}[/mm]
> ist aber negativ)
>
> also dann ist b=1/2
>
> dann ist [mm]z_{1,2}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2} \pm (\wurzel{1}[/mm] + 1/2)
Hier ist ein "i" verlorengegangen:
[mm]z_{1,2}= - \bruch{i}{2} \pm (1 + 1/2*\red{i})[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | hi!
danke für die Berichtigung |
> Hallo Aniria,
>
> > ach so, meinst du das. ok, also mal sehen was raus
> > kommt...
> > a²-(1/2a)²-3/4=0 |*4a²
> > [mm]4a^{4}-3a^{2}-1=0[/mm] a²=u
> >
> > 4u²-3u-1=0
> >
> > [mm]u_{1}=1
u_{2}=-0.25[/mm] -> [mm]a_{1}= \wurzel{1}=1? (a_{2}= \wurzel{-0.25}[/mm]
> > ist aber negativ)
> >
> > also dann ist b=1/2
> >
> > dann ist [mm]z_{1,2}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2} \pm (\wurzel{1}[/mm] + 1/2)
>
>
> Hier ist ein "i" verlorengegangen:
>
> [mm]z_{1,2}= - \bruch{i}{2} \pm (1 + 1/2*\red{i})[/mm]
also hab ich nun [mm] z_{1,2}= [/mm] - [mm] \bruch{i}{2} \pm [/mm] (1 + 1/2*{i})
war das richtig, dass ich [mm] u_{2}=-0.25 [/mm] ausschließe?
[mm] z_{1}= [/mm] - [mm] \bruch{i}{2} [/mm] +1+ 1/2*{i}=1
[mm] z_{2}= [/mm] - [mm] \bruch{i}{2} [/mm] -1 - 1/2*{i}=-i-1
ist das dann entergebniss?
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Hallo Aniria,
> hi!
> danke für die Berichtigung
> > Hallo Aniria,
> >
> > > ach so, meinst du das. ok, also mal sehen was raus
> > > kommt...
> > > a²-(1/2a)²-3/4=0 |*4a²
> > > [mm]4a^{4}-3a^{2}-1=0[/mm] a²=u
> > >
> > > 4u²-3u-1=0
> > >
> > > [mm]u_{1}=1
u_{2}=-0.25[/mm] -> [mm]a_{1}= \wurzel{1}=1? (a_{2}= \wurzel{-0.25}[/mm]
> > > ist aber negativ)
> > >
> > > also dann ist b=1/2
> > >
> > > dann ist [mm]z_{1,2}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2} \pm (\wurzel{1}[/mm] + 1/2)
> >
> >
> > Hier ist ein "i" verlorengegangen:
> >
> > [mm]z_{1,2}= - \bruch{i}{2} \pm (1 + 1/2*\red{i})[/mm]
>
> also hab ich nun [mm]z_{1,2}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2} \pm[/mm] (1 + 1/2*{i})
>
> war das richtig, dass ich [mm]u_{2}=-0.25[/mm] ausschließe?
>
> [mm]z_{1}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2}[/mm] +1+ 1/2*{i}=1
> [mm]z_{2}=[/mm] - [mm]\bruch{i}{2}[/mm] -1 - 1/2*{i}=-i-1
>
> ist das dann entergebniss?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 26.11.2009 | | Autor: | Aniria |
| Aufgabe | hi!
die letzte frage für heute :) |
kannst mir sagen was das für gesetz oder etc ist, dass ich dabei benutzt habe?
also: z=-i/2 [mm] \pm [/mm] (a+bi)
wobei (a+bi)²=c+di
A²-b²=c
2ab=d
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast kein "Gesetz" benutzt sondern die Wurzel gezogen,
du hattest z=-i/2 [mm] \pm\wurzel{c+id}
[/mm]
Dann hast du gesagt, die Wurzel ist ne komplexe Zahl
[mm] a+ib=\wurzel{c+id}
[/mm]
die Gleichung quadriert, und dann Realteil und Imaginärteil einzeln gleichgesetzt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 26.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du hast ja a im Nenner.
$ [mm] a^{2}-(\bruch{1}{2a})^{2}=\bruch{3}{4} [/mm] $
mit [mm] (2a)^2 [/mm] mult
ergibt sich:
[mm] a^4-1=3a^2
[/mm]
also doch ne "biquadratische Gleichng.
Ich find die komplizierte rumrechnen mit realteil und imaginätteil a) langweilig, b) fehlerträchtig, c) nicht den komplexen Zahlen angemessen.
Du hattest im ersten post richtig:
z=-i/2 $ [mm] \pm\wurzel{5/4-i} [/mm] $
Wenn du w=5/4-i als [mm] r*e^{i\phi+k*2\pi} [/mm] schreibst, kannst du die Wurzel direkt ziehen.
(wenn du dann mal 3te 7te und ander Wurzeln ziehen musst geht as eben auch so.)
[mm] $r=\wurzel{(5/4)^2+1}$ $\phi=arctan{-4/5}
[/mm]
Dann hast du die Wurzel direkt:
[mm] \wurzel{r*e^{i\phi+k*2\pi}}=\wurzel{r}*e^{i\phi/2+k*\pi}
[/mm]
k=0,1
Also such dir aus, was du machst, aber allgemein solltest du beim Wurzel ziehen und potenzieren mit der form von z rechnen.
Gruss leduart
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