Gleichung mit komplexen Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
| Aufgabe | | Geben Sie die Menge aller komplexen Zahlen x, die eine Lösung der Gleichung [mm] x^{6} [/mm] = 2j + [mm] 5e^{4,5j}(1+3j) [/mm] darstellen, in aufzählender Form unter Verwendung eines Parameters an. |
Hallo,
ich hab mal eine Frage zur obenstehender Aufgabe. Wie fang ich an?
Danke,
blck
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Geben Sie die Menge aller komplexen Zahlen x, die eine
> Lösung der Gleichung [mm]x^{6}[/mm] = 2j + [mm]5e^{4,5j}(1+3j)[/mm]
> darstellen, in aufzählender Form unter Verwendung eines
> Parameters an.
> Hallo,
> ich hab mal eine Frage zur obenstehender Aufgabe. Wie fang
> ich an?
>
> Danke,
> blck
Nennen wir mal die rechte Seite z.
Stelle z in Polarform dar, also [mm] $z=|z|*e^{j\varphi}\,.$
[/mm]
Eine Lösung ist dann [mm] $x_0=\root [/mm] 6 [mm] \of [/mm] {|z|} [mm] *e^{j\varphi/6}$ [/mm] und alle fünf anderen Lösungen erhältst Du, indem Du [mm] $x_0$ [/mm] mit [mm] $e^{2\pi j k / 6}, k=1,\ldots, [/mm] 5$ multiplizierst.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Sa 24.11.2012 | | Autor: | blck |
> Nennen wir mal die rechte Seite z.
> Stelle z in Polarform dar, also [mm]z=|z|*e^{j\varphi}\,.[/mm]
>
> Eine Lösung ist dann [mm]x_0=\root 6 \of {|z|} *e^{j\varphi/6}[/mm]
> und alle fünf anderen Lösungen erhältst Du, indem Du [mm]x_0[/mm]
> mit [mm]e^{2\pi j k / 6}, k=1,\ldots, 5[/mm] multiplizierst.
Hallo,
Wie bist du auf [mm]e^{2\pi j k / 6}, k=1,\ldots, 5[/mm] gekommen? Also k=1-5 ist klar (das sind die 5 anderen Lösungen) aber wo kommen die pi her und teilst du alles was oben steht durch 6?
Schönen Abend,
blck
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Nennen wir mal die rechte Seite z.
> > Stelle z in Polarform dar, also [mm]z=|z|*e^{j\varphi}\,.[/mm]
> >
> > Eine Lösung ist dann [mm]x_0=\root 6 \of {|z|} *e^{j\varphi/6}[/mm]
> > und alle fünf anderen Lösungen erhältst Du, indem Du [mm]x_0[/mm]
> > mit [mm]e^{2\pi j k / 6}, k=1,\ldots, 5[/mm] multiplizierst.
>
> Hallo,
> Wie bist du auf [mm]e^{2\pi j k / 6}, k=1,\ldots, 5[/mm] gekommen?
> Also k=1-5 ist klar (das sind die 5 anderen Lösungen) aber
> wo kommen die pi her und teilst du alles was oben steht
> durch 6?
Damit [mm] $\left(e^{2\pi j k / 6}\right)^6=1$ [/mm] ergibt.
> Schönen Abend,
Dir auch,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 25.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
> Damit [mm]\left(e^{2\pi j k / 6}\right)^6=1[/mm] ergibt.
Warum würde ich das wollen?
Gruß blck
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Hallo,
> Hallo,
> > Damit [mm]\left(e^{2\pi j k / 6}\right)^6=1[/mm] ergibt.
>
> Warum würde ich das wollen?
damit eine Lösung deiner Gleichung, also eine 6. Wurzel, herauskommt. Du multiplizierst ja eine bereits gefundene Lösung mit einer komplexen Zahl. Eine Multiplikation ist aber eine Drehstreckung in der Gauß'schen Zahlenebene. Eine Streckung kannst du nicht wollen, sonst würde der bertag der Lsöung nicht mehr stimmen (alle Wurzeln müssen den gleichen Betrag haben). Eine Drehung hingegen ist notwendig, denn die Wurzeln liegen alle auf einem Kreis um 0.
Gruß, Diophant
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