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Gleichung ohne Idee: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 Di 08.01.2019
Autor: avi

Aufgabe
[mm] \bruch{x-\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}=3 [/mm]

Gesucht ist x. Die Lösung ist zu sehen. Aber wie kriege ich nach x aufgelöst? Hauptnenner bilden und ausmultiplizieren kann hier wohl nicht gemeint sein, oder? Also: Wo ist die Idee?

Vielen Dank für Eure Mühe.

Avi

        
Bezug
Gleichung ohne Idee: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Di 08.01.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Außerdem:

>  Die Lösung ist zu sehen.

Wenn du das kannst, dann schreib sie hin und zeige, dass es eine Lösung ist, damit ist es auch die einzige.

> Aber wie kriege ich nach x aufgelöst? Hauptnenner bilden und
> ausmultiplizieren kann hier wohl nicht gemeint sein, oder?

Wieso nicht?
Wäre ja zielführend und nur ein bisschen Schreibarbeit....


Was diese ein bisschen erleichtern könnte: es ist $3 = [mm] \bruch{\wurzel{b}+\wurzel{c}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{\wurzel{a}+\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{\wurzel{a}+\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}} [/mm] $

Was einen wieder sehr schnell auf die "zu sehende" Lösung bringt.

Aber auch mit umformen ist man da sehr schnell am Ziel, denn man erkennt dann sofort:

$ [mm] \bruch{x-\wurzel{a}}{\wurzel{b}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{b}}{\wurzel{a}+\wurzel{c}}+\bruch{x-\wurzel{c}}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}=3 [/mm] $

[mm] $\gdw \left(x - \wurzel{a} - \wurzel{b} - \wurzel{c}\right)\left(\bruch{1}{\wurzel{b}+\wurzel{c}} + \bruch{1}{\wurzel{a}+\wurzel{c}} + \bruch{1}{\wurzel{a}+\wurzel{b}}\right) [/mm] = 0$

Und nun ist ein Produkt null, genau dann, wenn ein Faktor Null ist,…

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Gleichung ohne Idee: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 08.01.2019
Autor: fred97

Die Wurzeln sind doch nur Schnick-schnack ! Da war wieder mal ein ganz pfiffiger Aufgabensteller am Werk !

Seine $a,b, c >0$. wir betrachten die Gleichung

$ [mm] \bruch{x-a}{b+c}+\bruch{x-b}{a+c}+\bruch{x-c}{a+b}=3 [/mm] $.

Diese is gleichbedeutend mit

$ [mm] \bruch{x-a}{b+c}+\bruch{x-b}{a+c}+\bruch{x-c}{a+b}= \bruch{b+c}{b+c}+\bruch{a+c}{a+c}+\bruch{a+b}{a+b}$. [/mm]

Setzt man $s=a+b+c$ und bringt man die rechte Seite der letzten Gleichung nach links, so ergibt sich

$(x-s)[ [mm] \bruch{1}{b+c}+\bruch{1}{a+c}+\bruch{1}{a+b}]=0$. [/mm]

Fazit: $x=s=a+b+c$ (was man natürlich von Anfang an sehen kann.)

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Gleichung ohne Idee: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Di 08.01.2019
Autor: avi

Vielen Dank. Ich seh' sowas eben nicht auf Anhieb, deswegen stelle ich hier ja Fragen...


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