Gleichung und Punktmenge < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Lösen Sie die Gleichung [mm] |\underline{z}+1|=2*\underline{z}
[/mm]
Bestimmen Sie die Punktmenge M={ [mm] \underline{z}= a+jb\in \IC [/mm] | [mm] Re(\bruch{5}{4}-\underline{z}) =|\underline{z}-\bruch{3}{4}|und|\underline{z}-2|=\wurzel{5} [/mm] }
Skizzieren Sie die beiden Kurven und bestimmen Sie die Schnittpunkte |
Hallo,
ich bin nun so vorgegangen: [mm] |\underline{z}+1|=2*\underline{z}=|a+jb+1|=2*(a+jb)
[/mm]
|a+1+jb|=2a+2jb
a+1-jb=2a
a=1-jb
Bringt mich hier jedoch nicht weiter. Zum zweiten Punkt mit der Punktmenge fehlt mit der Ansatz. Kann mit der Information leider nicht viel anfangen.
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Hallo Eugen,
kurze Frage/Bem. varab:
Du bezeichnest mit [mm] $\underline{z}$ [/mm] ganz "normale" komplexe Zahlen, also [mm] $\underline{z}=a+jb$
[/mm]
Ich werde nur z schreiben 
> Lösen Sie die Gleichung [mm]|\underline{z}+1|=2*\underline{z}[/mm]
> Bestimmen Sie die Punktmenge [mm] M=\{\underline{z}= a+jb\in \IC | Re(\bruch{5}{4}-\underline{z}) =|\underline{z}-\bruch{3}{4}|und|\underline{z}-2|=\wurzel{5}
\}
[/mm]
> Skizzieren Sie die beiden Kurven und bestimmen Sie die
> Schnittpunkte
> Hallo,
> ich bin nun so vorgegangen:
> [mm]|\underline{z}+1|=2*\underline{z}\red{\gdw}|a+jb+1|=2*(a+jb)[/mm]
> |a+1+jb|=2a+2jb
> a+1-jb=2a ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Linkerhand steht doch ein BETRAG
Benutze doch stur die Definition [mm] $z=a+bj\Rightarrow |z|=|a+bj|=\sqrt{a^2+b^2}$
[/mm]
Also hier: $|a+1+jb|=2a+2jb$
[mm] $\gdw \sqrt{(a+1)^2+b^2}=2a+2jb$
[/mm]
Der [mm] $|\star|$ [/mm] ist reell, und da Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl eindeutig sind, folgt direkt $2jb=0$, also $b=0$
Damit kommst du spielend an $a$ ran...
> a=1-jb
>
> Bringt mich hier jedoch nicht weiter. Zum zweiten Punkt mit
> der Punktmenge fehlt mit der Ansatz. Kann mit der
> Information leider nicht viel anfangen.
Schreibe wieder z=a+bj oder vllt. um nachher besser oder gewohnter zu sehen, um welche Kurven es sich handelt, z=x+yj
Dann benutze wieder stur die Definition des Betrages einer komplexen Zahl und vereinfache:
Ich mach's mal für den einen Teil:
[mm] $\blue{\mathcal{R}e\left(\frac{5}{4}-z\right)}=\mathcal{R}e\left(\frac{5}{4}-(x+yj)\right)=\blue{\frac{5}{4}-x}$
[/mm]
Und [mm] $\red{\left|z-\frac{3}{4}\right|}=\left|x+yj-\frac{3}{4}\right|=\left|\left(x-\frac{3}{4}\right)+yj\right|=\red{\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+y^2}}$
[/mm]
Blau und Rot sollen im ersten Teil der Bedingung gleich sein, also
[mm] $\frac{5}{4}-x=\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+y^2} \qquad \mid\text{quadrieren}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left(\frac{5}{4}-x\right)^2=\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+y^2$
[/mm]
schön zusammenmaggeln liefert...
[mm] $\Rightarrow y^2=1-x$, [/mm] also [mm] $y=\pm\sqrt{1-x}$
[/mm]
Die andere Bedingung errechnet sich aber viel einfacher...
Probier's mal
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus,
ich danke dir erstmal für deine Hilfe.
Ich habe nicht ganz verstanden, was du mit "Der $ [mm] |\star| [/mm] $ ist reell, und da Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl eindeutig sind, folgt direkt 2jb=0, also b=0 " gemeint hast. Kannst du es vielleicht nochmal erläutern?
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Hallo nochmal,
> s.oben
> Hallo Schachuzipus,
> ich danke dir erstmal für deine Hilfe.
> Ich habe nicht ganz verstanden, was du mit "Der [mm]|\star|[/mm]
> ist reell, und da Real- und Imaginärteil einer komplexen
> Zahl eindeutig sind, folgt direkt 2jb=0, also b=0 " gemeint
> hast. Kannst du es vielleicht nochmal erläutern?
ja, meine Schreibfaulheit
Mit [mm] $|\star|$ [/mm] ... usw. meinte ich, dass der Betrag einer komplexen Zahl reell ist
Das [mm] $\star$ [/mm] soll ein Platzhalter für ne komplexe Zahl sein
Für $z=a+bj$ ist ja [mm] $|z|=|a+bj|=\sqrt{a^2+b^2}\in\IR$, [/mm] sogar [mm] $\in\IR^{\ge0}$
[/mm]
Und die Eindeutigkeit des Real- und Imaginärteils einer komplexen Zahl in Normalform hattet ihr in der VL
[mm] $z=a+bj=\tilde{a}+\tilde{b}j\Rightarrow a=\tilde{a}$ [/mm] und [mm] $b=\tilde{b}$
[/mm]
Also bezogen auf die Gleichung
[mm] $\underbrace{\sqrt{(a+1)^2+b^2}}_{\in\IR}=2a+2bj$
[/mm]
bedeutet das: [mm] $2a=\sqrt{(a+1)^2+b^2}$ [/mm] und $2bj=0$
Dann weiter ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus,
ich habe nun so weitergerechnet:
[mm] \sqrt{(a+1)^2+b^2}=2a+2jb [/mm] , da b=0
a+1=2a [mm] \gdw [/mm] a=1
Zu Punkt 2:
[mm] \wurzel{(x-2)²+y²}=\wurzel{5}
[/mm]
[mm] \wurzel{x²-4x+4+y²}\wurzel{5}
[/mm]
x²-4x+4+y²=5
x²-4x+y²=1
y²=1-x²+4x
[mm] y=\wurzel{1-x²+4x}
[/mm]
So nun müsste man die Bedingungen wohl gleichsetzen:
y²=1-x und y²=-x²+4x+1 [mm] \gdw [/mm] -x²+4x+1=1-x
[mm] x_{1}=0
[/mm]
[mm] x_{2}=5
[/mm]
Nun setzt man ein:y²=1 und y²=4
[mm] y_{1}=\pm1
[/mm]
[mm] y_{2}=\pm [/mm] 2i
Und nun sind die Schnittstellen also p1(0;1) , p2(0;-1). Und was ist mit den anderen Werten [mm] (x_{2}=5 [/mm] und [mm] y_{2}=\pm [/mm] 2i)?
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Hallo nochmal,
mach's dir nicht zu kompliziert ...
> s.oben
> Hallo Schachuzipus,
> ich habe nun so weitergerechnet:
> [mm]\sqrt{(a+1)^2+b^2}=2a+2jb[/mm] , da b=0
> a+1=2a [mm]\gdw[/mm] a=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu Punkt 2:
> [mm]\wurzel{(x-2)²+y²}=\wurzel{5}[/mm]
> [mm]\wurzel{x²-4x+4+y²}\red{=}\wurzel{5}[/mm]
Puuh, hier ist alles weitere unnötig, wenn du direkt die erste Gleichung quadrierst:
[mm] $\wurzel{(x-2)²+y²}=\wurzel{5} \qquad \mid\text{quadrieren}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x-2)^2+y^2=5$
[/mm]
Woran erinnert dich das, wenn ich's schreibe als [mm] $(x-2)^2+(y-0)^2=(\sqrt{5})^2$ [/mm] ?
Genau, das ist ein Kreis um $z=2+0j=2$ mit Radius [mm] $r=\sqrt{5}$
[/mm]
> x²-4x+4+y²=5
> x²-4x+y²=1
> y²=1-x²+4x
> [mm]y=\red{\pm}\wurzel{1-x²+4x}[/mm]
[mm] $=\pm\sqrt{5-(x-2)^2}$ [/mm] in der anderen Schreibweise
>
> So nun müsste man die Bedingungen wohl gleichsetzen:
> y²=1-x und y²=-x²+4x+1 [mm]\gdw[/mm] -x²+4x+1=1-x
> [mm]x_{1}=0[/mm]
> [mm]x_{2}=5[/mm]
>
> Nun setzt man ein:y²=1 und [mm] y²=\red{-}4
[/mm]
> [mm]y_{1}=\pm1[/mm]
> [mm]y_{2}=\pm[/mm] 2i
Aus welchem Zahlbereich sind denn $x,y$?
>
> Und nun sind die Schnittstellen also p1(0;1) , p2(0;-1).
> Und was ist mit den anderen Werten [mm](x_{2}=5[/mm] und [mm]y_{2}=\pm[/mm] 2i)?
$z=x+yj$ mit [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] !!!
Also ...
Du hast eigentlich alles richtig gemacht, nur ein paar Mal unsauber aufgeschrieben und zB ein "-" vergessen oder eine Lösung für y verschlabbert und nicht zu Ende überlegt
Ich packe dir mal die beiden Graphen in den Anhang, dann haste das nochmal graphisch veranschaulicht, ok?
LG
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Sa 07.06.2008 | | Autor: | Owen |
Ich danke vielmals für die ausführliche Hilfe 
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