Gleichung und Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen nach x auf, d.h. bestimmen Sie die Menge aller x aus R, für die die (Un-)Gleichung gilt.
a) [mm] \wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1
[/mm]
[mm] b)\bruch{x^2-1}{x^2+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x}-1 [/mm] |
a) [mm] \wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1
[/mm]
ich habe die gleichung quadriert:
[mm] x-2-2*\wurzel{x^2-11x-18}+x-9=1
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2-11x-18} [/mm] = [mm] \bruch{-2x+12}{-2}
[/mm]
habe die gleichung wieder quadriert
[mm] x^2-11x-18 [/mm] = [mm] \bruch{4x^2-48x+144}{4}
[/mm]
[mm] 4x^2-44x-72 [/mm] = [mm] 4x^2-48x+144
[/mm]
4x= 216
x=54
wenn ich die probe mache, komme ich nicht auf 1. also ist mein ergebnis falsch, aber wo habe ich denn ein fehler gemacht?
b)
[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{x}-1
[/mm]
[mm] \bruch{x^3-x}{x^2+1} [/mm] < 1-1
[mm] x^3-x [/mm] < [mm] (1-1)*(x^2+1)
[/mm]
[mm] x^3-x [/mm] <0
[mm] x(x^2-1)=0
[/mm]
[mm] x^2=1
[/mm]
x= [mm] +-\wurzel{1}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ps: wie oft muss ich diesen satz noch schreiben? -.-
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 26.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende Gleichungen bzw. Ungleichungen nach x
> auf, d.h. bestimmen Sie die Menge aller x aus R, für die
> die (Un-)Gleichung gilt.
>
> a) [mm]\wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1[/mm]
>
> [mm]b)\bruch{x^2-1}{x^2+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x}-1[/mm]
> a) [mm]\wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1[/mm]
>
> ich habe die gleichung quadriert:
>
> [mm]x-2-2*\wurzel{x^2-11x-18}+x-9=1[/mm]
Unter der Wurzel sollte statt -18 doch +18 steheh !!
FRED
>
> [mm]\wurzel{x^2-11x-18}[/mm] = [mm]\bruch{-2x+12}{-2}[/mm]
>
> habe die gleichung wieder quadriert
>
> [mm]x^2-11x-18[/mm] = [mm]\bruch{4x^2-48x+144}{4}[/mm]
>
> [mm]4x^2-44x-72[/mm] = [mm]4x^2-48x+144[/mm]
>
> 4x= 216
>
> x=54
>
> wenn ich die probe mache, komme ich nicht auf 1. also ist
> mein ergebnis falsch, aber wo habe ich denn ein fehler
> gemacht?
>
>
> b)
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x}-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}[/mm] < 1-1
>
> [mm]x^3-x[/mm] < [mm](1-1)*(x^2+1)[/mm]
>
> [mm]x^3-x[/mm] <0
>
> [mm]x(x^2-1)=0[/mm]
>
> [mm]x^2=1[/mm]
>
> x= [mm]+-\wurzel{1}[/mm]
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ps: wie oft muss ich diesen satz noch schreiben? -.-
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danke für die antwort
ist aufgabe b richtig gelöst?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> danke für die antwort
>
> ist aufgabe b richtig gelöst?
Irgendwann gehst du plötzlich von einer Ungleichung zu einer Gleichung über...
(Details habe ich mir nicht angesehen.)
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Sa 26.10.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> Irgendwann gehst du plötzlich von einer Ungleichung zu
> einer Gleichung über...
oh das ist ein tippfehler
loddar hat schon den fehler entdeckt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo arbeitsamt!
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{x}-1[/mm]
Es wäre mehr als praktisch und nachvollziehbar, wenn Du auch dazuschreiben würdest, was Du hier gerechnet hast.
Ich nehme an, Du hast die Ungleichung mit $x_$ multipliziert.
Dann musst Du auch eine Fallunterscheidung durchführen für $x \ > \ 0$ bzw. $x \ < \ 0$ .
Denn bei der Multiplikation mit einem negativen Wert dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
> [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}[/mm] < 1-1
Dann stimmt auf der rechten Seite das Ergebnis nicht.
Es gilt: [mm] $\left(\bruch{1}{x}-1\right)*x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x}*x-1*x [/mm] \ = \ 1-x$
Das muss Dich doch stutzig machen, wenn da plötzlich ein Ausdruck $(1-1) \ = \ 0$ auftaucht.
Gruß
Loddar
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[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}< \bruch{1}{x}-1
[/mm]
[mm] \bruch{x^3-1}{x^2+1} [/mm] < 1-x
[mm] x^3-1 [/mm] < (1-x)* [mm] (x^2+1)
[/mm]
[mm] x^3-1 [/mm] < [mm] x^2+1-x^3-x
[/mm]
0< [mm] -2x^3+x^2-x+2
[/mm]
muss ich hier mit der polynomdivision weiter machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}< \bruch{1}{x}-1[/mm]
Hallo,
offensichtlich hast du hier den Rechenbefehl |*x
verwendet. Die folgende Ungleichung lautet also (VORAUSGESETZ, DASS x>0 GILT)
[mm]x*\bruch{x^2-1}{x^2+1}< x*(\bruch{1}{x}-1)[/mm]
Der rechte Term deiner nachfolgenden Ungleichung stimmt; links ist ein Fehler.
Gruß Abakus
> [mm]\bruch{x^3-1}{x^2+1}[/mm] < 1-x
>
> [mm]x^3-1[/mm] < (1-x)* [mm](x^2+1)[/mm]
>
> [mm]x^3-1[/mm] < [mm]x^2+1-x^3-x[/mm]
>
> 0< [mm]-2x^3+x^2-x+2[/mm]
>
> muss ich hier mit der polynomdivision weiter machen?
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[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}
[/mm]
habe die gleichung mit x und [mm] (x^2+1) [/mm] multipliziert:
[mm] x^3-x< x^2+1-x^3
[/mm]
[mm] 2x^3-x^2<1
[/mm]
kann ich hier eig. x ausklammern. wenn ja wie muss man dann vorgehen?
weil ich habe eine unbekannte zahl immer nur ausgeklammert, wenn auf der anderen seite eine 0 steht.
also z.b.
[mm] 2x^3-x^2=0 [/mm] hier x ausklammern
[mm] x^2(2x-1)=0
[/mm]
2x=1
x=1/2
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 26.10.2013 | | Autor: | chrisno |
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}[/mm]
>
> habe die gleichung mit x und [mm](x^2+1)[/mm] multipliziert:
>
nun rechne mal ganz in Ruhe Gleichung mit x multiplizieren und hinschreiben. Dabei merken, dass eine Fallunterscheidung entsteht, je nachdem ob x größer oder kleiner als Null ist. Den einen Fall für später aufheben.
Ergebnis hinschreiben
Dann nimm mit [mm] $x^2+1) [/mm] mal.
Kurz klären, warum nun keine weitere Fallunterscheidung anfällt.
Ergebnis hinschreiben.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:49 So 27.10.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
> nun rechne mal ganz in Ruhe Gleichung mit x multiplizieren
> und hinschreiben. Dabei merken, dass eine
> Fallunterscheidung entsteht, je nachdem ob x größer oder
> kleiner als Null ist. Den einen Fall für später
> aufheben.
[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1
[/mm]
[mm] \bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x
[/mm]
Fall 1: x>0
[mm] x^3-x [/mm] < (1-x) [mm] *(x^2+1)
[/mm]
[mm] x^3-x [/mm] < [mm] x^2+1-x^2-x
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] < 1
x < 1
ist das bis hierhin richtig?
wenn ich jetzt beim 2 fall davon ausgehe, dass x< 0 ist, muss ich dann in dieser ungleichung :
[mm] \bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x
[/mm]
alle vorzeichen von x ändern? und dann stelle ich wieder nach x um oder?
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Hallo,
> > nun rechne mal ganz in Ruhe Gleichung mit x multiplizieren
> > und hinschreiben. Dabei merken, dass eine
> > Fallunterscheidung entsteht, je nachdem ob x größer oder
> > kleiner als Null ist. Den einen Fall für später
> > aufheben.
>
>
>
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x[/mm]
>
> Fall 1: x>0
Die Fallunterscheidung musst du machen, bevor du mit x multiplizierst! Wenn x negativ ist dreht sich bekanntlich die Relation um, und dann steht da etwas falsches.
>
> [mm]x^3-x[/mm] < (1-x) [mm]*(x^2+1)[/mm]
>
> [mm]x^3-x[/mm] < [mm]x^2+1-x^2-x[/mm]
>
> [mm]x^3[/mm] < 1
>
> x < 1
>
> ist das bis hierhin richtig?
Nein, beim Ausmultiplizieren der Klammern auf der rechten Seite ist dir ein arger Schnitzuer unterlaufen, da muss es
[mm] (1-x)*(x^2+1)=x^2+1-x^3-x
[/mm]
heißen.
>
> wenn ich jetzt beim 2 fall davon ausgehe, dass x< 0 ist,
> muss ich dann in dieser ungleichung :
>
> [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x[/mm]
>
> alle vorzeichen von x ändern? und dann stelle ich wieder
> nach x um oder?
Nein, für diesen Fall musst du die Relation umdrehen.
Gruß, Diophant
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bin schon langsam am verzweifeln. die aufgabe beschäftigt mich schon viel zu lange
so noch ein versuch:
Fall 1: x>0
[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1
[/mm]
[mm] \bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x
[/mm]
[mm] x^3-x [/mm] < (1-x) [mm] *(x^2+1)
[/mm]
[mm] x^3-x [/mm] < [mm] x^2+1-x^3-x
[/mm]
[mm] 2x^3-x^2 [/mm] <1
wie mache ich jetzt hier weiter? die 1 rüber bringen und dann die polynomdivision ?
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Hallo,
> bin schon langsam am verzweifeln. die aufgabe beschäftigt
> mich schon viel zu lange
Ich hänge gerade seit ca. 4 Wochen an einer Aufgabe, ich finde das ist gerade das spannende an der Mathematik!
>
> so noch ein versuch:
>
> Fall 1: x>0
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}<1-x[/mm]
>
> [mm]x^3-x[/mm] < (1-x) [mm]*(x^2+1)[/mm]
>
> [mm]x^3-x[/mm] < [mm]x^2+1-x^3-x[/mm]
>
> [mm]2x^3-x^2[/mm] <1
>
> wie mache ich jetzt hier weiter? die 1 rüber bringen und
> dann die polynomdivision ?
Ja, das ist eine gute Idee. Wie bist du darauf gekommen? Es bringt ja nun auch nix, so ein Wort wie 'Polynomdivision' in den Raum zu werfen, wenn man nicht eine Zielsetzung damit verbindet.
Die Polynomdivision klappt hier deshalb, so viel sei verraten, weil man die Nullstelle x=1 ablesen kann. Und sie bringt dich, wenn du richtig rechnest direkt zum Ziel (also für den Fall x>0), dass nämlich hier als Teillösungsmenge die leere Mange heruaskommt. So viel zur Kontrolle.
Ansonsten kann man dir nur dringend raten (falls du es annehmen möchtest), dich um mehr Gründlichkeit in der Mathematik zu bemühen.
Gruß, Diophant
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eine letzte frage habe ich noch:
für den zweiten Fall: x<0
muss ich hier nur die relation ändern? also
[mm] \bruch{x^2-1}{x^2+1}>\bruch{1}{x}-1
[/mm]
und jetzt wieder nach x umstellen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 So 27.10.2013 | | Autor: | abakus |
> eine letzte frage habe ich noch:
>
> für den zweiten Fall: x<0
>
> muss ich hier nur die relation ändern? also
>
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}>\bruch{1}{x}-1[/mm]
>
> und jetzt wieder nach x umstellen oder?
Hallo,
das ist logisch falsch, auch wenn bei deinem Vorgehen im Endeffekt dann doch das Richtige rauskommen wird.
Deine Ungleichung lauetet immer noch
[mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}-1[/mm]
Dein nächster Rechenbefehl |*x
sorgt nun dafür, dass wegen x<0 sich das Relationszeichen umkehrt und du DESHALB
auf [mm]\bruch{x^3-x}{x^2+1}>1-x[/mm] kommst.
Die anschließende Multiplikation mit [mm] $x^2+1$ [/mm] ist für das Relationszeichen unkritisch, weil
[mm] $x^2+1$ [/mm] immer positiv ist.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 So 27.10.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
das Knöpfchen für die Statusänderung ist kein Spielzeug. Bitte ändere den Status einer beantworteten Frage nicht grundlos wieder ab.
Auch wenn dein Nickname jetzt arbeitsamt lautet (wie kommt man auf so etwas?): wir benötigen keine Beschäftigungsmaßnahmen. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Sa 26.10.2013 | | Autor: | abakus |
> [mm]\bruch{x^2-1}{x^2+1}<\bruch{1}{x}[/mm]
>
> habe die gleichung mit x und [mm](x^2+1)[/mm] multipliziert:
>
> [mm]x^3-x< x^2+1-x^3[/mm]
Diesmal ist dir die Multiplikation auf der linken Seite richtig gelungen, aber jetzt ist die rechte Seite falsch.
Auf die Problematik x>0 / x<0 bist du auch noch nicht eingegangen.
Gruß Abakus
>
> [mm]2x^3-x^2<1[/mm]
>
> kann ich hier eig. x ausklammern. wenn ja wie muss man dann
> vorgehen?
>
> weil ich habe eine unbekannte zahl immer nur ausgeklammert,
> wenn auf der anderen seite eine 0 steht.
>
> also z.b.
>
> [mm]2x^3-x^2=0[/mm] hier x ausklammern
>
> [mm]x^2(2x-1)=0[/mm]
>
> 2x=1
>
> x=1/2
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> a) [mm]\wurzel{x-2}-\wurzel{x-9}=1[/mm]
Warum wurde diese Aufgabe nicht hier weiter behandelt? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 26.10.2013 | | Autor: | arbeitsamt |
weil ich mir einen neuen acc wegen dem namen gemacht habe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Loddar |
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> weil ich mir einen neuen acc wegen dem namen gemacht habe
Und was hat das mit der Frage / Aufgabe an sich zu tun? Nicht viel bis gar nichts.
Du hättest doch mit dem neuen Account den Thread weiterführen können mit der Rechnung. Sei's drum ...
Gruß
Loddar
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