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| Aufgabe 1 | 1.) [mm] lg(x^{2}+1)=\bruch{2}{lg(x^{2}+1)}-1
[/mm]
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| Aufgabe 2 | | 2.) [mm] (\bruch{3}{5})^{2x+1}=(\bruch{5}{8})^{3x+4} [/mm] |
Hallo,
komme mit obigen Aufgaben nicht klar. Mir fehlt da leider jeglicher Ansatz. Dachte bei der 1. an hoch 10 nehmen um die Logarithmen wegzubekommen, aber scheint mir nicht der richtige Weg und bei der 2ten irgendwie e hoch, macht aber alles keinen Sinn.
Falsch ich die Aufgaben im falschen Thema gepostet habe, bitte ich die Mods das zu verschieben.
Danke
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Hallo Daniel,
> 1.) [mm]lg(x^{2}+1)=\bruch{2}{lg(x^{2}+1)}-1[/mm]
>
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> 2.) [mm](\bruch{3}{5})^{2x+1}=(\bruch{5}{8})^{3x+4}[/mm]
> Hallo,
>
> komme mit obigen Aufgaben nicht klar. Mir fehlt da leider
> jeglicher Ansatz. Dachte bei der 1. an hoch 10 nehmen um
> die Logarithmen wegzubekommen, aber scheint mir nicht der
> richtige Weg und bei der 2ten irgendwie e hoch, macht aber
> alles keinen Sinn.
Nicht sofort 
Mache erstmal rechterhand gleichnamig und multipliziere danach die Gleichung mit dem Nenner rechterhand durch.
Dann alles nach links schaffen.
Schlussendlich mache ne Substitution [mm] $u:=\lg(x^2+1)$
[/mm]
Damit kommst du auf ne quadr. Gleichung in u, die du mit den stadtbekannten Mitteln lösen kannst ...
Bei der zweiten Aufgabe kannst du zB. zunächst mal die bekannten Potenzgesetze anwenden:
ich machs mal für die linke Seite:
[mm] $\left(\frac{3}{5}\right)^{2x+1}=\frac{3}{5}\cdot{}\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}=\frac{3}{5}\cdot{}\left[\left(\frac{3}{5}\right)^2\right]^{x}$ [/mm] ...
Analog fasse die rechte Seite zusammen, dann siehst du, wie's weitergeht
>
> Falsch ich die Aufgaben im falschen Thema gepostet habe,
> bitte ich die Mods das zu verschieben.
>
> Danke
LG
schachuzipus
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Zur 1. Aufgabe.
Gleichnamig sieht das ganze dann folgendermassen aus:
[mm] lg(x^{2}+1)=\bruch{2}{lg(x^{2}+1)}-\bruch{lg(x^{2}+1)}{lg(x^{2}+1)}
[/mm]
Und dann mal dem Nenner nehmen?
Ergibt dann: [mm] (lg(x^{2}+1))^{2}=2-lg(x^{2}+1)
[/mm]
Dann die rechte Seite rüberbringen, substituieren, damit erhalte ich:
[mm] u^{2}+u-2=0 [/mm]
Das ganze dann per quadr. Lösungsformel ergibt bei mir:
[mm] u_{1}=1 [/mm] und [mm] u_{2}=-2
[/mm]
Da muss ich wohl irgendwo einen (oder mehrere) Fehler drinhaben, denn die Lösung sagt [mm] x_{1}=3 [/mm] und [mm] x_{2}=-3
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Zur 1. Aufgabe.
>
> Gleichnamig sieht das ganze dann folgendermassen aus:
>
> [mm]lg(x^{2}+1)=\bruch{2}{lg(x^{2}+1)}-\bruch{lg(x^{2}+1)}{lg(x^{2}+1)}[/mm]
>
> Und dann mal dem Nenner nehmen?
>
> Ergibt dann: [mm](lg(x^{2}+1))^{2}=2-lg(x^{2}+1)[/mm]
>
> Dann die rechte Seite rüberbringen, substituieren, damit
> erhalte ich:
>
> [mm]u^{2}+u-2=0[/mm]
>
> Das ganze dann per quadr. Lösungsformel ergibt bei mir:
>
> [mm]u_{1}=1[/mm] und [mm]u_{2}=-2[/mm] ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
perfekt bis hierher!
>
> Da muss ich wohl irgendwo einen (oder mehrere) Fehler
> drinhaben, denn die Lösung sagt [mm]x_{1}=3[/mm] und [mm]x_{2}=-3[/mm]
Na, du Nase, du musst doch noch zurück substituieren ...
Deine Lösungen sind noch in der Variablen $u$, du brauchst aber Lösungen in $x$
Also schnell zurückrechnen ...
Damit kommst du genau auf die Lösungen [mm] $x=\pm [/mm] 3$
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 10.09.2009 | | Autor: | Hoffmann79 |
Alles klar. Tja ja, der Wald und die vielen Bäume.
Danke sehr
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 10.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Zur 1. Aufgabe.
>
> Gleichnamig sieht das ganze dann folgendermassen aus:
>
> [mm]lg(x^{2}+1)=\bruch{2}{lg(x^{2}+1)}-\bruch{lg(x^{2}+1)}{lg(x^{2}+1)}[/mm]
>
> Und dann mal dem Nenner nehmen?
>
> Ergibt dann: [mm](lg(x^{2}+1))^{2}=2-lg(x^{2}+1)[/mm]
>
> Dann die rechte Seite rüberbringen, substituieren, damit
> erhalte ich:
>
> [mm]u^{2}+u-2=0[/mm]
>
> Das ganze dann per quadr. Lösungsformel ergibt bei mir:
>
> [mm]u_{1}=1[/mm] und [mm]u_{2}=-2[/mm]
>
> Da muss ich wohl irgendwo einen (oder mehrere) Fehler
> drinhaben, denn die Lösung sagt [mm]x_{1}=3[/mm] und [mm]x_{2}=-3[/mm]
Nicht so schnell, du hast die Rücksubstitution vergessen:
[mm] lg(x^{2}+1)=1 [/mm] oder
[mm] lg(x^{2}+1)=-2
[/mm]
Gruß Abakus
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Hallo meine Helfer.
Bin am Verzweifeln. Bekomme das mit der Rücksubstitution nicht auf die Reihe.
[mm] u_{1}=1 [/mm] und [mm] u_{2}=-2 [/mm] hatte ich ja (mit eurer) Hilfe raus.
Muss ich diese Werte jetzt anstelle des x in der Ausgangsgleichung einsetzen?
[mm] lg(x^{2}+1)=1
[/mm]
[mm] lg(x^{2}+1)=-2 [/mm]
Komme hier nicht weiter :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 13.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hoffmann!
[mm]\lg(x^{2}+1) \ = \ 1[/mm]
[mm]\lg(x^{2}+1) \ = \ -2[/mm]
Wende nun auf beiden Seiten der Gleichung die Umkehrung von [mm] $\lg(...)$ [/mm] an, indem Du auf beiden Seiten "10 hoch" rechnest.
Gruß
Loddar
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O.K., damit erhalte ich dann
[mm] x^{2}+1=1 [/mm] und
[mm] x^{2}+1=0,01
[/mm]
Wenn ich die 1ste auflöse kommt ja [mm] \pm\wurzel{0} [/mm] raus und
bei der 2ten [mm] \pm\wurzel{-0,99} [/mm] was ja im Reellen nicht lösbar ist.
Ich stehe irgendwie komplett auf dem Schlauch, sorry.
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Hallo schachuzipus,
man man man, das war echt blöd von mir. Jetzt komme ich auch auf [mm] \pm3.
[/mm]
Danke euch mal wieder.
Wo ich dich gerade hier habe
Bei meiner 2ten Aufgabe bin ich auch nicht vorwärts gekommen.
Wenn ich die rechte Seite nach deinem Schema zerlege, erhalte ich
[mm] (\bruch{5}{8})^{4}((\bruch{5}{8})^{3})^{x} [/mm] Richtig?
Wie soll es jetzt weitergehen? Soll ich die Faktoren mit einem x im Exponenten auf eine Seite bringen, Potenzen auflösen, logarithmieren?
Sorry, wegen meiner seltsamen Klammern, komme mit dem Schreibsystem hier noch nicht so ganz klar bzw. finde die Symbole nicht immer gleich.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
> man man man, das war echt blöd von mir.
das passiert schneller als man glauben möchte, ist aber nicht schlimm
> Jetzt komme ich
> auch auf [mm]\pm3.[/mm]
Gut, gut!
>
> Danke euch mal wieder.
>
> Wo ich dich gerade hier habe
>
> Bei meiner 2ten Aufgabe bin ich auch nicht vorwärts
> gekommen.
>
> Wenn ich die rechte Seite nach deinem Schema zerlege,
> erhalte ich
>
> [mm](\bruch{5}{8})^{4}((\bruch{5}{8})^{3})^{x}[/mm] Richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
sieht gut aus!
Nun rechne linker- und rechterhand die Potenzen aus, zB. rechterhand
[mm] $=\frac{625}{4096}\cdot{}\left(\frac{125}{512}\right)^x$.
[/mm]
Dann hast du ne Gleichung [mm] $A\cdot{}m^x=B\cdot{}n^x$
[/mm]
Da bringe die Zahlenwerte $A;B$ auf eine Seite, die Potenzen auf die andere Seite, bendenke [mm] $\frac{m^x}{n^x}=\left(\frac{m}{n}\right)^x$
[/mm]
Dann kommst du sicher selber weiter ...
>
> Wie soll es jetzt weitergehen? Soll ich die Faktoren mit
> einem x im Exponenten auf eine Seite bringen, Potenzen
> auflösen, logarithmieren?
>
> Sorry, wegen meiner seltsamen Klammern, komme mit dem
> Schreibsystem hier noch nicht so ganz klar bzw. finde die
> Symbole nicht immer gleich.
Du kannst große bzw. der Größe des Klammerausdrucks automatisch angepasste Klammern so schreiben:
offen: \left(
geschlossen: \right)
eckige Klammern entsprechend mit "["
Zb. ergibt \left[\ln\left(3^{2x-2}\right)\right]^2 dies: [mm] $\left[\ln\left(3^{2x-2}\right)\right]^2$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Danke schonmal.
Ohne das ich jetzt weiterrechne hätte ich da trotzdem noch eine Frage bzw. Anmerkung.
Die Aufgabenstellung sagt aus, die Aufgaben ohne! Taschenrechner zu lösen. O.K., für manche ist das kein Problem solche Potenzen ohne Taschenrechner zu lösen, für den Normalschüler/studenten doch schon.
Deshalb nun meine Frage ob es evtl. noch einen alternativen Lösungsweg, ohne solch hohe Potenzen gibt. Wäre es möglich die Ausdrücke "e hoch" zu nehmen, um die Exponenten mit dem x "runter" zubekommen? Ich weiss, die Fakoren stören dabei. Hhhhmmm .... ?
Danke für den Tip mit der Schreibweise.
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Hallo nochmal,
> Danke schonmal.
>
> Ohne das ich jetzt weiterrechne hätte ich da trotzdem noch
> eine Frage bzw. Anmerkung.
>
> Die Aufgabenstellung sagt aus, die Aufgaben ohne!
> Taschenrechner zu lösen. O.K., für manche ist das kein
> Problem solche Potenzen ohne Taschenrechner zu lösen, für
> den Normalschüler/studenten doch schon.
>
> Deshalb nun meine Frage ob es evtl. noch einen alternativen
> Lösungsweg, ohne solch hohe Potenzen gibt. Wäre es
> möglich die Ausdrücke "e hoch" zu nehmen, um die
> Exponenten mit dem x "runter" zubekommen? Ich weiss, die
> Fakoren stören dabei. Hhhhmmm .... ?
Ich sehe nicht, wie das mit den unterschiedlichen Basen auf beiden Seiten gehen sollte ...
Vllt. kannst du ja mal nach der ersten Umrechnung die Potenzen nicht direkt ausrechnen, sondern vorher umstellen, also Zahlenwerte auf die eine Seite, die "hoch x"-Brüche auf die andere Seite.
Möglicherweise lässt dich da das ein oder andere kürzen, aber letztlich kann man doch [mm] $8^3$ [/mm] mal auf nem Zettel ausrechnen [mm] $64\cdot{}8$, [/mm] das sollte man doch schaffen.
Wenn es in Klausuren derartige Aufgaben gibt, wird schon keine Potenz "hoch 11" drankommen bzw. es wird sich lecker kürzen lassen...
Also keine Bange
Gruß
schachuzipus
>
> Danke für den Tip mit der Schreibweise.
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Hallo!
> Deshalb nun meine Frage ob es evtl. noch einen alternativen
> Lösungsweg, ohne solch hohe Potenzen gibt.
Rechnerisch gibt es meiner Meinung nach keinen einfacheren Weg. Wenn es sich allerdings wirklich um eine Aufgabe aus einer Prüfung handeln sollte, vermute ich, dass du nicht unter Beweis stellen sollst, dass du die Grundrechenarten beherrschst 
Ich würde dann einfach diese Potenzen nicht ausrechnen und einfach so weiterrechnen (es ist dann eben einfach eine Zahl). Das geht auch... und man kommt am Ende auf:
$x = [mm] -\frac{\ln\left(\frac{3}{5}\right)-4*\ln\left(\frac{5}{8}\right)}{2*\ln\left(\frac{3}{5}\right)-3*\ln\left(\frac{5}{8}\right)}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hallo,
hänge noch immer an dieser Aufgabe fest.
Hab jetzt mal die Ausdrücke jeweils auf eine Seite gebracht, gleich reziprok multipliziert und erhalte.
[mm] \pmat{ \bruch{5*4096}{3*625} }=\pmat{ \bruch{125*25}{512*9} }^{x}
[/mm]
[mm] 10,923=(54,932)^{x}
[/mm]
Sollte das richtig sein? Wie geht es dann weiter, logarithmieren?
Sorry, aber bei der Aufgabe hänge ich komplett fest.
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Hallo!
> Hab jetzt mal die Ausdrücke jeweils auf eine Seite
> gebracht, gleich reziprok multipliziert und erhalte.
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> [mm]\pmat{ \bruch{5*4096}{3*625} }=\pmat{ \bruch{125*25}{512*9} }^{x}[/mm]
>
> [mm]10,923=(54,932)^{x}[/mm]
Darauf komme ich leider nicht.
Es ist
[mm] $\left(\frac{3}{5}\right)^{2x+1} [/mm] = [mm] \left(\frac{5}{8}\right)^{3x+4}$
[/mm]
[mm] $\gdw \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right)^{x}*\frac{3}{5} [/mm] = [mm] \left(\left(\frac{5}{8}\right)^{3}\right)^{x}*\left(\frac{5}{8}\right)^{4}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}} [/mm] = [mm] \left(\frac{5}{8}\right)^{4}*\frac{5}{3}$
[/mm]
Und links ist nun ein Doppelbruch, der wird folgendermaßen gehandhabt:
[mm] \frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}} [/mm] = [mm] \left(\frac{\frac{9}{25}}{\frac{125}{512}}\right)^{x} [/mm] = [mm] \left(\frac{9*512}{25*125}\right)^{x}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
>
>
> > Hab jetzt mal die Ausdrücke jeweils auf eine Seite
> > gebracht, gleich reziprok multipliziert und erhalte.
> >
> > [mm]\pmat{ \bruch{5*4096}{3*625} }=\pmat{ \bruch{125*25}{512*9} }^{x}[/mm]
>
> >
> > [mm]10,923=(54,932)^{x}[/mm]
>
> Darauf komme ich leider nicht.
> Es ist
>
> [mm]\left(\frac{3}{5}\right)^{2x+1} = \left(\frac{5}{8}\right)^{3x+4}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right)^{x}*\frac{3}{5} = \left(\left(\frac{5}{8}\right)^{3}\right)^{x}*\left(\frac{5}{8}\right)^{4}[/mm]
>
> [mm]\gdw \frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}} = \left(\frac{5}{8}\right)^{4}*\frac{5}{3}[/mm]
>
> Und links ist nun ein Doppelbruch, der wird folgendermaßen
> gehandhabt:
>
> [mm]\frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}}[/mm]
> = [mm]\left(\frac{\frac{9}{25}}{\frac{125}{512}}\right)^{x}[/mm] =
> [mm]\left(\frac{9*512}{25*125}\right)^{x}[/mm]
>
> Grüße,
> Stefan
Oha, da hab ich wohl Zähler und Nenner vertauscht.
O.K., dann multipliziere bwz. löse ich die Potenzen links und rechts auf und dann hab ich noch das x in der Potenz links. Das bekomme ich über logarithmieren weg, oder?
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Hallo!
[mm]\frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}}[/mm]
> > = [mm]\left(\frac{\frac{9}{25}}{\frac{125}{512}}\right)^{x}[/mm] =
> > [mm]\left(\frac{9*512}{25*125}\right)^{x}[/mm]
> O.K., dann multipliziere bwz. löse ich die Potenzen links
> und rechts auf und dann hab ich noch das x in der Potenz
> links. Das bekomme ich über logarithmieren weg, oder?
Genau. Du wendest auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis [mm] \frac{9*512}{25*125} [/mm] = 1.4746 an.
Grüße,
Stefan
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> Hallo!
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> [mm]\frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}}[/mm]
> > > = [mm]\left(\frac{\frac{9}{25}}{\frac{125}{512}}\right)^{x}[/mm] =
> > > [mm]\left(\frac{9*512}{25*125}\right)^{x}[/mm]
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> > O.K., dann multipliziere bwz. löse ich die Potenzen links
> > und rechts auf und dann hab ich noch das x in der Potenz
> > links. Das bekomme ich über logarithmieren weg, oder?
>
> Genau. Du wendest auf beiden Seiten den Logarithmus zur
> Basis [mm]\frac{9*512}{25*125}[/mm] = 1.4746 an.
>
> Grüße,
> Stefan
Also x=lg(1.4746) und auf der anderen Seite? Ich bin gerade komplett durcheinander.
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Hallo!
> Also x=lg(1.4746) und auf der anderen Seite? Ich bin gerade
> komplett durcheinander.
Guck mal, du hattest die Gleichung
[mm] $\frac{\left(\frac{9}{25}\right)^{x}}{\left(\frac{125}{512}\right)^{x}} [/mm] = [mm] \left(\frac{5}{8}\right)^{4}\cdot{}\frac{5}{3} [/mm] $
bzw.
[mm] $\gdw 1.4746^{x} [/mm] = 0.25431 $
Und nun wendest du eben auf beiden Seiten des Logarithmus zur Basis 1.4746 an (das ist Folgender: [mm] \log_{1.4746}(...) [/mm] , damit links nur noch x steht.
Also:
[mm] $\gdw \underbrace{\log_{1.4746}(1.4746^{x})}_{x} [/mm] = [mm] \log_{1.4746}(0.25431) [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] x = [mm] \log_{1.4746}(0.25431) [/mm] $
Und da gilt es jetzt nur noch auszurechnen
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:00 Di 15.09.2009 | | Autor: | Hoffmann79 |
Danke Stefan,
habe mir nochmal die Logarithmusgesetze angesehn und da speziell den Basiswechsel, durch den ich ja hier auf die Lösung komme.
Grüsse
Daniel
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![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]"){kind=small}
ich war schneller ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
