Gleichungen in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:
a) [mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
b) [mm] z^2+2(1+i)z=1-3i [/mm] |
a)
[mm] z^2-4iz+4z-8i=0
[/mm]
[mm] z^2-z(4i-4)-8i=0
[/mm]
[mm] z^2-z(4i-4)+(\bruch{4i-4}{2})^2-(\bruch{4i-4}{2})^2-8i=0
[/mm]
[mm] (z-(2i-2))^2=(2i-2)^2+8i
[/mm]
[mm] (z-(2i-2))^2=0
[/mm]
z=2i-2
b)
[mm] z^2+2(1+i)z=1-3i
[/mm]
[mm] z^2+2(1+i)z+(\bruch{2(1+i)}{2})^2=1-3i+(\bruch{2(1+i)}{2})^2
[/mm]
[mm] (z+1+i)^2=1-3i+(1+i)^2
[/mm]
[mm] (z+1+i)^2=1-i
[/mm]
[mm] z_1=\wurzel{1-i}-(1+i)
[/mm]
[mm] z_2=-\wurzel{1-i}-(1+i)
[/mm]
kann man [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] weiter zusammenfassen?
Stimmen die Lösungen?
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Ich habe herausgefunden, dass man mit dem Polarkoordinaten die Lösung weiter zusammenfassen kann:
[mm] (z+1+i)^2=1-i
[/mm]
[mm] z+1+i=\pm\wurzel{1-i}
[/mm]
[mm] z+1+i=\pm\wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{i*7\pi}{4}}}
[/mm]
[mm] z+1+i=\pm\wurzel[4]{2}*\bruch{i*7\pi}{8}
[/mm]
[mm] z+1+i=\pm\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))
[/mm]
[mm] z_1+1+i=\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))=1,1+i*0,46
[/mm]
[mm] z_1=0,1-0,54
[/mm]
[mm] z_2+1+i=-\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))=1,1-i*0,46
[/mm]
[mm] z_2=0,1-i*1,46
[/mm]
stimmt die lösung?
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Hallo Rebellismus,
> Ich habe herausgefunden, dass man mit dem Polarkoordinaten
> die Lösung weiter zusammenfassen kann:
Es geht auch ohne die Polardarstellung einfach über den Ansatz [mm] (a+bi)^2=1-i
[/mm]
Dein Rechenweg sieht ok aus, aber am Ende lässt Du ganz unnötig die Genauigkeit flöten gehen. 0,46 etc. mag für manche Zwecke genügen (je nach der geforderten Genauigkeit z.B. in Phyik oder Ingenieurwissenschaften), aber es geht auch ganz präzise:
[mm] b_{1/2}=\pm\br{1}{2}\wurzel{2}*\wurzel{\wurzel{2}-1}
[/mm]
[mm] a_{1/2}=-\br{1}{2b_{1/2}}
[/mm]
Nun haben [mm] a_{1/2} [/mm] leider noch keinen reellen Nenner, aber das ist ja zu beheben.
Grüße
reverend
> [mm](z+1+i)^2=1-i[/mm]
>
> [mm]z+1+i=\pm\wurzel{1-i}[/mm]
>
> [mm]z+1+i=\pm\wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{i*7\pi}{4}}}[/mm]
>
> [mm]z+1+i=\pm\wurzel[4]{2}*\bruch{i*7\pi}{8}[/mm]
>
> [mm]z+1+i=\pm\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))[/mm]
>
> [mm]z_1+1+i=\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))=1,1+i*0,46[/mm]
>
> [mm]z_1=0,1-0,54[/mm]
>
> [mm]z_2+1+i=-\wurzel[4]{2}(cos(\bruch{7\pi}{8})+i*sin(\bruch{7\pi}{8}))=1,1-i*0,46[/mm]
>
> [mm]z_2=0,1-i*1,46[/mm]
>
> stimmt die lösung?
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| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:
a) [mm] (z-3i)^2+(z-4i)^2+25=0
[/mm]
b) [mm](z-1-2i)z=3-i[/mm]
c) [mm] \bruch{z-3}{z-i}+\bruch{z-4+i}{z-i}=-\bruch{4}{z^2-z-iz+i} [/mm] |
Bitte ignoriert die Rundungsfehler. Sind die folgende Lösungen richtig?
a)
[mm] (z-3i)^2+(z-4i)^2+25=0
[/mm]
[mm] z^2-6zi-9+z^2-8zi-16+25=0
[/mm]
[mm] 2z^2-14zi=0
[/mm]
[mm] z^2-7zi=0
[/mm]
[mm] z^2-7zi+(\bruch{7i}{2})^2-(\bruch{7i}{2})^2=0
[/mm]
[mm] (z-\bruch{7i}{2})^2=(\bruch{7i}{2})^2
[/mm]
[mm] z=\pm\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}+\bruch{7i}{2}
[/mm]
[mm] z_1=\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}+\bruch{7i}{2}=7i
[/mm]
[mm] z_2=-\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}+\bruch{7i}{2}=0
[/mm]
b)
[mm](z-1-2i)z=3-i[/mm]
[mm] z^2-z(1-2i)=3-i
[/mm]
[mm] z^2-z(1-2i)+(\bruch{1-2i}{2})^2=3-i+(\bruch{1-2i}{2})^2
[/mm]
[mm] (z-\bruch{1-2i}{2})^2=\bruch{9}{4}-2i=\bruch{\wurzel{145}}{4}e^{i5,56}
[/mm]
[mm] z^2-\bruch{1-2i}{2}=\pm\bruch{\wurzel[4]{145}}{2}e^{i\bruch{5,56}{2}}
[/mm]
[mm] z_1=\bruch{\wurzel[4]{145}}{2}e^{i\bruch{5,56}{2}}+\bruch{1-2i}{2}=\bruch{\wurzel[4]{145}}{2}(cos(\bruch{5,56}{2})+isin(\bruch{5,56}{2}))+\bruch{1-2i}{2}=-1,62+i0,61+\bruch{1}{2}-i=-1,12-i0,39
[/mm]
[mm] z_2=-\bruch{\wurzel[4]{145}}{2}e^{i\bruch{5,56}{2}}+\bruch{1-2i}{2}=-\bruch{\wurzel[4]{145}}{2}(cos(\bruch{5,56}{2})+isin(\bruch{5,56}{2}))+\bruch{1-2i}{2}=1,62-i0,61+\bruch{1}{2}-i=2,12-i1,61
[/mm]
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Hallo,
ich denke du rechnest viel zu kompliziert und habe mir deine Rechnungen auch ehrlich gesagt nicht angesehen...
Außerdem kannst du deine Ergebnisse doch auch etwa mit Wolframalpha kontrollieren.
Du scheinst auch gar nicht nicht zu beachten, dass $z$ eine komplexe Zahl ist, wovon ich mal ausgehe, also die Form $z=a+ib$ mit [mm] $a,b\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Die Aufgabe b) hätte ich etwa so gelöst:
$(z-1-2i)z=3-i$
Ich multipliziere aus:
[mm] $z^2-z-2iz=3-i$
[/mm]
Nun schreibe ich $z=a+ib$, also:
[mm] $(a+ib)^2-(a+ib)-2i(a+ib)=3-i$
[/mm]
Rechnet man dies aus, erhält man erstmal:
[mm] $a^2+2iab-b^2-a-ib-2ia+2b=3-i$
[/mm]
Dies sortiere ich nun nach dem Real- und Imaginärteil:
[mm] $(a^2-b^2-a+2b)+i(2ab-b-2a)=3-i$
[/mm]
Nun vergleiche ich den Real- und Imaginärteil und erhalte so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen.
[mm] $a^2-b^2-a+2b=3$
[/mm]
$2ab-b-2a=-1$
Dies löst man nun. Aus der zweiten Gleichung erhält man direkt, dass b=1 gilt. Denn
$2ab-b-2a=-1$
Nun b ausklammern:
$b(2a-1)-2a=-1$
[mm] $b=\frac{2a-1}{2a-1}=1$ [/mm]
für [mm] $a\neq \frac{1}{2}$
[/mm]
Dies setze ich in die erste Gleichung ein:
[mm] $a^2-1-a+2=3$
[/mm]
[mm] $a^2-a+1=3$
[/mm]
[mm] $a^2-a=2$
[/mm]
Dies löst man ganz normal mit einer Lösungsformel, wie etwa der pq-Formel, oder sieht scharf hin. Dann kann man nach dem ausklammern von a erkennen, dass
a(a-1)=2
Weil 2 eine Primzahl ist und daher die Faktorisierung sehr einfach, sieht man schnell, dass
$a=2$ und $a=-1$ die Gleichung lösen.
Wobei man sowas irgendwie unter dem Vorbehalt macht, dass der Aufgabensteller eine "schöne" Lösung anstrebt.
Der entscheidende Schritt ist hier der Vergleich von Real- und Imaginärteil.
Die Lösung der komplexen Gleichung sind also
[mm] $z_1=2+i$
[/mm]
[mm] $z_2=-1+i$
[/mm]
Aufgabe a) lässt sich sicherlich mit einer ähnlichen Rechnung lösen.
Hier kann man vielleicht noch geschickter Vorgehen indem man im Vorfeld irgendwie faktorisiert, weil wir drei quadratische Summanden vorliegen haben und das wäre mein erster Gedanke die dritte binomische Formel, aber ich hatte das vorhin kurz probiert und es sah nicht wirklich so aus als würde etwas bringen, also auch hier wohl erstmal stumpf ausmultiplizieren.
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Hallo,
>
> ich denke du rechnest viel zu kompliziert und habe mir
> deine Rechnungen auch ehrlich gesagt nicht angesehen...
ehrlich gesagt finde ich meine Rechnung viel leichter
> Außerdem kannst du deine Ergebnisse doch auch etwa mit
> Wolframalpha kontrollieren.
Das problem ist ich habe Rundungsfehler. Deshalb würde meien Lösung nicht mit der von Wolframalpha übereinstimmen.
Ich darf auch Runden. Ich studiere maschinenbau und nicht mathe.
> Du scheinst auch gar nicht nicht zu beachten, dass [mm]z[/mm] eine
> komplexe Zahl ist, wovon ich mal ausgehe, also die Form
> [mm]z=a+ib[/mm] mit [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm].
Das weiß ich. Am Ende habe ich doch Lösungen der Form z=a+ib mit [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm].
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> ehrlich gesagt finde ich meine Rechnung viel leichter
Das ist natürlich Geschmackssache. Ich finde meine Rechnung leichter, weil ich lediglich die Gleichung ganz normal vereinfache und am Ende ein einfaches LGS lösen muss.
Wohingegen du zu erst quadratisch ergänzt und dann mit Polarkoordinaten rechnest und auf diesem Weg nun mal sehr viel rundest.
Des Weiteren benötigt man für den von mir vorgeschlagenen Rechenweg keinen Taschenrechner.
Das empfinde ich auch immer als zeitlichen Vorteil.
Es ist denke ich nicht schlecht auch alternative Lösungswege zu kennen.
Je nach Gleichung kann sich der eine oder andere anbieten.
Welche Lösungsmethode dir mehr liegt, oder dir besser gefällt musst du natürlich selber entscheiden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 So 27.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> ich denke du rechnest viel zu kompliziert und habe mir
> deine Rechnungen auch ehrlich gesagt nicht angesehen...
Ich sehe es wie Rebellismus: Ein direktes Lösen einer quadratischen Gleichung komplexer Zahlen (sei es nun mittels quadratischer Ergänzung oder mittels pq-Formel) erscheint mir einfacher als ein nichtlineares Gleichungssystem zweier reeller Variablen zu lösen, wobei unterwegs ebenfalls eine quadratische Gleichung zu lösen ist.
> Die Aufgabe b) hätte ich etwa so gelöst:
>
> [mm](z-1-2i)z=3-i[/mm]
>
> Ich multipliziere aus:
>
> [mm]z^2-z-2iz=3-i[/mm]
>
> Nun schreibe ich [mm]z=a+ib[/mm], also:
>
> [mm](a+ib)^2-(a+ib)-2i(a+ib)=3-i[/mm]
>
> Rechnet man dies aus, erhält man erstmal:
>
> [mm]a^2+2iab-b^2-a-ib-2ia+2b=3-i[/mm]
>
> Dies sortiere ich nun nach dem Real- und Imaginärteil:
>
> [mm](a^2-b^2-a+2b)+i(2ab-b-2a)=3-i[/mm]
>
> Nun vergleiche ich den Real- und Imaginärteil und erhalte
> so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen.
>
> [mm]a^2-b^2-a+2b=3[/mm]
>
> [mm]2ab-b-2a=-1[/mm]
>
> Dies löst man nun. Aus der zweiten Gleichung erhält man
> direkt, dass b=1 gilt.
Nein, nur für [mm] $a\not=\frac12$ [/mm] kann man dies direkt der zweiten Gleichung entnehmen (wie du ja selbst weiter unten feststellst).
[mm] $a=\frac12$ [/mm] und b beliebig lösen aber auch die zweite Gleichung (allerdings für reelles b nicht die erste Gleichung, wie man sich überlegen müsste).
> Dies löst man ganz normal mit einer Lösungsformel, wie
> etwa der pq-Formel, oder sieht scharf hin. Dann kann man
> nach dem ausklammern von a erkennen, dass
>
> a(a-1)=2
>
> Weil 2 eine Primzahl ist und daher die Faktorisierung sehr
> einfach, sieht man schnell, dass
>
> [mm]a=2[/mm] und [mm]a=-1[/mm] die Gleichung lösen.
Da eine quadratische Gleichung reeller Zahlen (oder in einem beliebigen Körper) maximal zwei Lösungen besitzt, sind $a=2$ und $a=-1$ auch die einzigen Lösungen.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo
> Ich weiß nicht, ob und wie ihr eine [mm]\wurzel{w}[/mm] für eine
> komplexe Zahl [mm]w[/mm] definiert habt. Es gibt ja schließlich im
> Falle [mm]w\not=0[/mm] zwei verschiedene komplexe Zahlen [mm]v[/mm] mit
> [mm]v^2=w[/mm]. Ist [mm]v[/mm] eine dieser beiden Zahlen, so ist [mm]-v[/mm] die
> andere. Insofern kann man zumindest Ausdrücke der Form
> [mm]\pm\wurzel{w}[/mm] (in gewissem Kontext wie hier) als sinnvoll
> ansehen.
>
> Hast du irgendeinen Anhaltspunkt dafür, dass
> [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=\bruch{7i}{2}[/mm] und nicht
> [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=-\bruch{7i}{2}[/mm] gelten soll?
> Insofern tue ich mich zumindest mit deiner folgenden
> Schreibweise schwer.
> Letztlich kommst du so jedoch auf die richtigen
> Ergebnisse, so dass deine Notation möglicherweise beim
> Korrigieren durchgeht.
ich verstehe nicht genau was du mir damit sagen willst. Was genau stimmt an meiner Noation nicht?
> Hast du irgendeinen Anhaltspunkt dafür, dass [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=\bruch{7i}{2}[/mm] und nicht [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=-\bruch{7i}{2}[/mm] gelten soll?
Ist beides möglich oder wie? ich bin jetzt etwas verwirrt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 So 27.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Ich weiß nicht, ob und wie ihr eine [mm]\wurzel{w}[/mm] für eine
> > komplexe Zahl [mm]w[/mm] definiert habt. Es gibt ja schließlich im
> > Falle [mm]w\not=0[/mm] zwei verschiedene komplexe Zahlen [mm]v[/mm] mit
> > [mm]v^2=w[/mm]. Ist [mm]v[/mm] eine dieser beiden Zahlen, so ist [mm]-v[/mm] die
> > andere. Insofern kann man zumindest Ausdrücke der Form
> > [mm]\pm\wurzel{w}[/mm] (in gewissem Kontext wie hier) als sinnvoll
> > ansehen.
> >
> > Hast du irgendeinen Anhaltspunkt dafür, dass
> > [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=\bruch{7i}{2}[/mm] und nicht
> > [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=-\bruch{7i}{2}[/mm] gelten soll?
> > Insofern tue ich mich zumindest mit deiner folgenden
> > Schreibweise schwer.
> > Letztlich kommst du so jedoch auf die richtigen
> > Ergebnisse, so dass deine Notation möglicherweise beim
> > Korrigieren durchgeht.
>
> ich verstehe nicht genau was du mir damit sagen willst. Was
> genau stimmt an meiner Noation nicht?
Üblicherweise definiert man gar nicht [mm] $\wurzel{w}$ [/mm] für eine beliebige komplexe Zahl w (ist hingegen w eine nichtnegative reelle Zahl, so definiert man [mm] $\wurzel{w}$ [/mm] als die eindeutig bestimmte NICHTNEGATIVE reelle Zahl $v$ mit [mm] $v^2=w$).
[/mm]
Insofern stellt sich mir die Frage, was die Notation [mm] $\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}$ [/mm] überhaupt bedeuten soll.
> > Hast du irgendeinen Anhaltspunkt dafür, dass
> [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=\bruch{7i}{2}[/mm] und nicht
> [mm]\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}=-\bruch{7i}{2}[/mm] gelten soll?
>
> Ist beides möglich oder wie? ich bin jetzt etwas verwirrt
Es gibt genau zwei komplexe Zahlen $v$ mit [mm] $v^2=(\bruch{7i}{2})^2$, [/mm] nämlich [mm] $v=\bruch{7i}{2}$ [/mm] und [mm] $v=-\bruch{7i}{2}$.
[/mm]
Wenn man [mm] $\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}$ [/mm] (oder allgemeiner [mm] $\wurzel{w}$ [/mm] für eine beliebige komplexe Zahl w) irgendwie sinnvoll definieren möchte, müsste man sich entscheiden, welche der beiden komplexen Zahlen $v$ mit [mm] $v^2=w$ [/mm] man nehmen möchte.
Aber wie gesagt: Üblicherweise spricht man zwar von den (beiden) Wurzeln einer komplexen Zahl [mm] $w\not=0$, [/mm] aber nicht von [mm] $\wurzel{w}$; [/mm] diesen Ausdruck lässt man undefiniert.
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Ich verstehe immer noch nicht was an meiner Notation falsch sein soll.
> Es gibt genau zwei komplexe Zahlen [mm]v[/mm] mit
> [mm]v^2=(\bruch{7i}{2})^2[/mm], nämlich [mm]v=\bruch{7i}{2}[/mm] und
> [mm]v=-\bruch{7i}{2}[/mm].
Ja das weiß ich. und genau deshalb habe ich vor der wurzel + und - geschrieben
Deshalb habe ich ja zwei lösungen.
Bitte ändere doch meine notation so, das es richtig ist
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 27.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe immer noch nicht was an meiner Notation falsch
> sein soll.
Die Notation [mm] $\wurzel{(\bruch{7i}{2})^2}$ [/mm] ist undefiniert.
Um sie zu verwenden, müsstest du zunächst erklären, was sie genau bedeuten soll.
> > Es gibt genau zwei komplexe Zahlen [mm]v[/mm] mit
> > [mm]v^2=(\bruch{7i}{2})^2[/mm], nämlich [mm]v=\bruch{7i}{2}[/mm] und
> > [mm]v=-\bruch{7i}{2}[/mm].
>
> Ja das weiß ich. und genau deshalb habe ich vor der wurzel
> + und - geschrieben
Und was soll mit "der" Wurzel genau gemeint sein?
> Deshalb habe ich ja zwei lösungen.
Wie gesagt: Du kommst auf die richtigen Lösungen. Möglicherweise sind deine "Chefs" damit zufrieden.
> Bitte ändere doch meine notation so, das es richtig ist
Gesucht waren die Lösungen von $ [mm] (z-\bruch{7i}{2})^2=(\bruch{7i}{2})^2 [/mm] $.
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn [mm] $z-\bruch{7i}{2}$ [/mm] EINE Wurzel von [mm] $(\bruch{7i}{2})^2$ [/mm] ist.
Die Wurzeln von [mm] $(\bruch{7i}{2})^2$ [/mm] lauten genau [mm] $\frac{7i}{2}$ [/mm] und [mm] $-\frac{7i}{2}$ [/mm] (*).
Somit ist unsere Gleichung genau dann erfüllt, wenn [mm] $z-\bruch{7i}{2}=\bruch{7i}{2}$ [/mm] oder [mm] $z-\bruch{7i}{2}=-\bruch{7i}{2}$ [/mm] gilt; die Lösungen unserer Gleichung lauten also genau $z=7i$ und $z=0$.
Zur Begründung von (*):
Natürlich ist [mm] $\frac{7i}{2}$ [/mm] EINE Wurzel von [mm] $(\frac{7i}{2})^2$.
[/mm]
(*) folgt dann aus folgender Bemerkung:
Sei $w$ eine komplexe Zahl und $v$ EINE Wurzel von w.
Dann sind die Wurzeln von w genau die Zahlen v und -v.
Beweis der Bemerkung:
Mit v ist auch $-v$ eine Wurzel von w, denn es gilt [mm] $(-v)^2=v^2=w$.
[/mm]
Sei nun $v'$ eine beliebige Wurzel von w. Dann erhalten wir mithilfe der dritten binomischen Formel
[mm] $(v+v')(v-v')=v^2-v'^2=w-w=0$
[/mm]
und somit $v+v'=0$ oder $v-v'=0$ und somit wie gewünscht $v'=-v$ oder $v'=v$.
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