Gleichungen in \IZ Lösen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 29.12.2005 | | Autor: | wilma |
| Aufgabe | Geben Sie die Allgemeine Lösung der Gleichung 51x + 22y = 7 in [mm] \IZ [/mm] an.
und
Lösen Sie die Gleichung [mm] \bruch{1}{x + 1} [/mm] = 5 in [mm] \IZ_{11} [/mm] |
Hallo,
kann mir bei diesen Aufgaben jemand Helfen? Ich finde zum Lösen von Gleichungen in [mm] \IZ [/mm] leider keine gescheiten Informationen.
Vielleicht hat auch jemand einen Link zu einer gescheiten Erklärung, würde mir völlig ausreichen.
Danke,
Gruß Wilma
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> Lösen Sie die Gleichung [mm]\bruch{1}{x + 1}[/mm] = 5 in [mm]\IZ_{11}[/mm]
[mm]\IZ_{11}[/mm] ist ein Körper, du kannst also beim Lösen wie in R vorgehen.
Vorsicht mit x=-1
1 = 5x+5
-4 = 5x
Jetzt beide Seiten "durch 5 dividieren"
in Z_11 schreibt man dann nicht 4/5, sondern man sucht zuerst das Inverse von 5 und multipliziert beide Seiten damit.
Beispiel: Das Inverse von 3 ist 4, da 3*4 = 12 = 1 (mod 11)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Mi 04.01.2006 | | Autor: | wilma |
Hallo,
ich habe dazu 2 Fragen:
1. Die Inverse ist also immer der Koeffizient, der benötigt wird um einen Rest von 1 bei Division durch die Dimension des Körpers zu erzielen, ist das richtig?
2. Wenn ich BEIDE Seiten mit der Inverse multipliziere, dann erhalte ich doch wieder den selben Wert.????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 1. Die Inverse ist also immer der Koeffizient, der benötigt
> wird um einen Rest von 1 bei Division durch die Dimension
> des Körpers zu erzielen, ist das richtig?
Genau. Nur das es nicht der Koeffizient ist, da er nur modulo 11 (in deinem Fall) eindeutig ist: Ist $a$ ein solcher Koeffizient, dann auch $a+11$, $a+22$, $a-11$, etc.
Und weiterhin heisst es nicht 'Dimension des Koerpers', sondern wenn schon 'Ordnung'.
> 2. Wenn ich BEIDE Seiten mit der Inverse multipliziere,
> dann erhalte ich doch wieder den selben Wert.????
Was ist denn bei dir das Inverse? Und wo kommt derselbe Wert raus? Schreib mal am besten genau hin was du meinst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:11 Do 05.01.2006 | | Autor: | wilma |
Hallo.
> Was ist denn bei dir das Inverse? Und wo kommt derselbe Wert raus?
> Schreib mal am besten genau hin was du meinst.
Also ich verstehe das Inverse noch nicht, überall liest man etwas anderes.
wenn ich Dich richtig verstehe, müsste das Inverse ja eine Menge sein.
Also von 5 dann: 2,4 + a * 11, a [mm] \in \IN
[/mm]
da für alle a: 5 + 2,4 + a * 11 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 11)
Aber was soll ich jetzt mit was Multiplizieren?
Wenn ich beide Seiten der Gleichung mit irgendeinem beliebigen Wert multipliziere, dann erhalte ich doch eine äquivalente Gleichung. Das meinte ich mit dem selben Wert.
Könntest Du mir die Aufgabe und vielleicht eine Ähnliche in möglichst mehreren Schritten von Anfang bis Ende aufschreiben, wenn es nicht zuviel verlangt ist? An einem guten Beispiel kann ich am besten nachvollziehen.
Vielen lieben Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Do 05.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Wilma!
Du musst dir immer klar machen, wo du dich gerade bewegst.
Im Körper [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] etwa haben wir nur $11$ verschiedene Elemente, nämlich die $11$ Äquivalenzklassen $[0]$, $[1]$, [mm] $\ldots$, [/mm] $[10]$ ganzer Zahlen, die bei der Äquivalenzrelation
$x [mm] \sim [/mm] y [mm] \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] 11|(x-y)$
entstehen. Diese Äquivalenzklassen sind Mengen mit ganzen Zahlen (nämlich etwa $[2] = [mm] \{2 + k \cdot 11\, : \, k \in \IZ\}$), [/mm] sind aber in [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] (der Menge der Äquivalenzklassen) eben Elemente. Daher hat man in [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] eindeutige Inverse. Beachte bitte, dass etwa
[mm] $\ldots [/mm] = [-9] = [2] = [13] = [24] = [mm] \ldots$
[/mm]
gilt.
Meinetwegen ist [mm] $[2]^{-1} [/mm] = [6]$, denn
$[2] [mm] \cdot [/mm] [6] = [12] = [1]$.
In Kongruenzschreibweise (hier sind wir dann wieder in [mm] $\IZ$) [/mm] bedeutet dies:
$2 [mm] \cdot [/mm] 6 [mm] \equiv [/mm] 12 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$.
[/mm]
Nehmen wir mal an wir wollten jetzt die Kongruenzgleichung
$2 [mm] \cdot [/mm] x [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{11}$
[/mm]
lösen. Dann multiplizieren wir beide Seite mit einem Repräsentanten des Inversen von $[2]$ (was ja $[6]$ war, siehe oben), also etwa mit $6$ (wir könnten aber auch $17$ nehmen oder $-5$ oder sonstwas, was sich von $6$ um ein Vielfaches von $11$ unterscheidet). Wir erhalten:
$6 [mm] \cdot [/mm] (2 [mm] \cdot [/mm] x) [mm] \equiv [/mm] 6 [mm] \cdot [/mm] 5 [mm] \pmod{11}$.
[/mm]
Wegen des Assoziativgesetzes und wegen $6 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{11}$ [/mm] (siehe oben) folgt:
$x [mm] \equiv [/mm] 30 [mm] \equiv [/mm] 8 [mm] \pmod{11}$.
[/mm]
Probe: $2 [mm] \cdot [/mm] 8 [mm] \equiv [/mm] 16 [mm] \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{11}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ist es dir jetzt klarer?
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 05.01.2006 | | Autor: | wilma |
Hallo.
Hab vielen Dank. Jetzt habe ich es endlich verstanden. Super Erklärung.
Die Aufgabenstellung lautet ja:
Lösen Sie die Gleichung [mm] \bruch{1}{x+1}=5 [/mm] in [mm] \IZ_{11}
[/mm]
Gibt man die Lösung dann üblicherweise als Kongruenzschreibweise:
x [mm] \equiv [/mm] 8 (mod 11)
an, oder als Normale Gleichung:
x = -36
? Wobei -36 ja in [mm] \IZ_{11} [/mm] garnicht vorkommt. Aber ich könnte ja auch:
x = -3 oder x = 8 angeben.
Gruß, Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 05.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo.
>
> Hab vielen Dank. Jetzt habe ich es endlich verstanden.
> Super Erklärung.
>
> Die Aufgabenstellung lautet ja:
>
> Lösen Sie die Gleichung [mm]\bruch{1}{x+1}=5[/mm] in [mm]\IZ_{11}[/mm]
>
> Gibt man die Lösung dann üblicherweise als
> Kongruenzschreibweise:
>
> x [mm]\equiv[/mm] 8 (mod 11)
>
> an, oder als Normale Gleichung:
>
> x = -36
>
> ? Wobei -36 ja in [mm]\IZ_{11}[/mm] garnicht vorkommt. Aber ich
> könnte ja auch:
>
> x = -3 oder x = 8 angeben.
Nun, da $x [mm] \in \IZ_{11}$ [/mm] sein soll musst du darauf achten wie ihr [mm] $\IZ_{11}$ [/mm] nun genau definiert habt  Wenn es die Aequivalenzklassen modulo 11 sind, also [mm] $\IZ_{11} [/mm] = [mm] \{ [0], [1], [2], \dots, [10] \}$, [/mm] dann ist die Loesung $x = [8] = [-36] = [-3]$ (sind ja alles die gleichen Aequivalenzklassen). (Kann auch sein dass ihr [mm] $8+\IZ$, $-36+\IZ$ [/mm] etc. fuer die Restklassen schreibt, wenn ihr [mm] $\IZ_{11} [/mm] = [mm] \IZ/11\IZ$ [/mm] definiert habt.)
Wenn ihr die Menge [mm] $\IZ_{11}$ [/mm] mit [mm] $\{ 0, 1, 2, \dots, 10 \}$ [/mm] identifiziert musst du $x = 8$ schreiben, da $-3$, $-36$ etc. nicht drinnen enthalten sind. Wobei man das mit geeigneten Identifikationen/Vereinbarungen natuerlich auch umgehen kann :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Do 29.12.2005 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Geben Sie die Allgemeine Lösung der Gleichung 51x + 22y = 7
> in [mm]\IZ[/mm] an.
Du suchst also alle Paare $(x, y) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] mit $51 x + 22 y = 7$. Das kannst du z.B. wie folgt loesen:
Nimm ein beliebiges $y [mm] \in \IZ$. [/mm] Dann muss $x = [mm] \frac{7 - 22 y}{51}$ [/mm] sein, und damit $x [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, muss also $51$ ein Teiler von $7 - 22 y$ sein. Anstelle aller Paare $(x, y) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] zu suchen, die $51 x + 22 y = 7$ erfuellen, reicht es also alle $y [mm] \in \IZ$ [/mm] zu suchen, fuer die $51$ ein Teiler von $7 - 22 y$ ist.
Anders ausgedrueckt: Du suchst alle $y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $22 y [mm] \equiv [/mm] 7 [mm] \pmod{51}$. [/mm] Kannst du das jetzt loesen? (Hinweis: 22 und 51 sind teilerfremd.) Wenn nicht, melde dich wieder!
LG & HTH, Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mi 04.01.2006 | | Autor: | wilma |
Danke, das hilft mir schonmal zum Verstehen weiter.
Allerding weiß ich nicht wie ich an alle y komme, für die 22y [mm] \equiv [/mm] 7 (mod51) gilt. Durch probieren würde ich dann auf z.B. y=2 kommen, allerdings gibt es doch bestimmt ein einheitliches Verfahren zur Lösung solcher Probleme, oder?
Gruß, Wilma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Mi 04.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Wilma
wie bei allen inhomogenen Gleichungssystemen suchst du zuerst eine allgemeine Lösung der homogenen Gleichung 51x+22y=0 eine Lösung findet man direkt mit x=22,y=-51, [mm] L_{h}:=a*(22,-51) [/mm] dazu eine spezielle Lösung der inhomogenen, da sieht man direkt x=1,y=2 so dass dann die allgemeine Lösung [mm] L_{ih}: [/mm] a*(22,-51) +(1,2); a [mm] \in \IZ.
[/mm]
Das reziproke einer Zahl z, [mm] z^{-1} [/mm] ist immer definiert durch [mm] z*z^{-1}=1
[/mm]
denn du willst ja die Gleichung 5x=-4 bzw 5x=7 lösen also musst du mit 9 multiplizieren : 5*9*x=5*7 damit 45x=37 oder 1x=4 wenn du in [mm] \IZ{11} [/mm] rechnest.
Entsprechend rechnet man in anderen mod Körpern. das dividieren in R bedeutet ja auch nichts anderes als mit dem inversen multiplizieren!
Gruss leduart.
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