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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Di 22.05.2007 | | Autor: | sazo |
| Aufgabe | a) Finde alle rationalen Zahlen, für die gilt: [mm] x^{2}+3*y^{2}=1
[/mm]
b) Finde alle positiven ganzen Zahlen x,y, für die gilt: [mm] x^{y}=y^{x} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Deshalb wäre ich für einen Lösungsansatz sehr dankbar.
Vielen Dank!
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Aus [mm] x^{y}=y^{x} [/mm] folgt [mm] \wurzel[x]{x}=\wurzel[y]{y}
[/mm]
Das habe ich in mehreren Schritten über den Logarithmus rausgefunden (vielleicht geht es auch einfacher)
Nun bildet man der Reihe nach:
[mm] \wurzel[1]{1}
[/mm]
[mm] \wurzel[2]{2}
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{3}
[/mm]
[mm] \wurzel[4]{4}
[/mm]
[mm] \wurzel[5]{5}
[/mm]
[mm] \wurzel[6]{6}
[/mm]
und dann sieht man dass für 2 und 4 dasselbe rauskommt. Danach wird das Ergebnis immer kleiner.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 23.05.2007 | | Autor: | sazo |
Dann müsste man also zeigen, dass [mm] \wurzel[x]{x} [/mm] für [mm] x\ge4 [/mm] mononton fallend ist, oder?
Hat jemand einen Tipp, wie das funktioniert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 24.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Sandra!
> Dann müsste man also zeigen, dass [mm]\wurzel[x]{x}[/mm] für [mm]x\ge4[/mm]
> mononton fallend ist, oder?
Ja, bzw. du musst sogar zeigen, dass sie streng monoton fallend ist.
> Hat jemand einen Tipp, wie das funktioniert?
Betrachte die Funktion $f : [mm] \left[4, \infty\right[$, [/mm] $x [mm] \mapsto \sqrt[x]{x} [/mm] = [mm] x^{1/x}$. [/mm] Wenn diese streng monoton fallend ist, dann ist dies auch die Folge $n [mm] \mapsto \sqrt[n]{n}$ [/mm] fuer $n [mm] \ge [/mm] 4$.
Dazu kannst du die Ableitung von $f$ berechnen und zeigen, dass sie fuer $x [mm] \ge [/mm] 4$ immer $< 0$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 24.05.2007 | | Autor: | sazo |
Hallo Felix,
vielen Dank für den guten Tip  Das habe ich jetzt so hinbekommen. Nach meiner Rechnung gilt es sogar für [mm] x\ge3. [/mm] Dann gilt es ja sowieso auch für [mm] x\ge4.
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Di 22.05.2007 | | Autor: | Walty |
> a) Finde alle rationalen Zahlen, für die gilt:
> [mm]x^{2}+3*y^{2}=1[/mm]
>
> b) Finde alle positiven ganzen Zahlen x,y, für die gilt:
> [mm]x^{y}=y^{x}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Ich habe leider
> überhaupt keine Idee, wie ich diese Aufgabe angehen soll.
> Deshalb wäre ich für einen Lösungsansatz sehr dankbar.
>
> Vielen Dank!
zu b)
unmittelbar einleuchtend ist eine Lösung [mm] \{(x,y) | x=y \}
[/mm]
aber gibt es auch weitere?
probieren :
x=1 => [mm] 1^y=y^1 \gdw [/mm] 1=y
x=2 => [mm] 2^y=y^2 \gdw [/mm] y=2 [mm] \vee [/mm] y=4
x=3 => [mm] 3^y=y^3 [/mm] ...?
x=4 => [mm] 4^y=y^4 \gdw [/mm] y=2 [mm] \vee [/mm] y=4
x=5 => [mm] 5^y=y^5....?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Mi 23.05.2007 | | Autor: | sazo |
Hm, ich würde mal vermuten, dass es außer den 3 Lösungen keine weitere mehr gibt. Aber mathematisch begründen kann ich das nicht wirklich...
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[mm] x^{2}+3*y^{2}=1
[/mm]
Es muss sein: [mm] x^{2}\le1, [/mm] weil [mm] 3*y^{2} [/mm] nicht negativ werden kann
Nun setze ich [mm] x=\bruch{z}{n} [/mm] d.h. [mm] \left( \bruch{Zaehler}{Nenner} \right)
[/mm]
Durch Umformung ergibt sich daraus:
[mm] y=\bruch{\wurzel{n^{2}-z^{2}}}{n*\wurzel{3}}
[/mm]
Für y kann sich im Nenner keine rationale Zahl ergeben bzw. sich nur dann eine rationale Zahl (NULL) ergeben, wenn der Zähler gleich NULL ist.
Also n=z oder n=-z
Das heißt: x=1 oder x=-1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mi 23.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Da war am Ende noch ein Denkfehler drin:
Die Formel stimmt. Aber wenn im Zähler [mm] \wurzel{3} [/mm] ausgeklammert werden kann, dann kann sich doch noch ein rationaler Wert für y ergeben.
Und das funktioniert mit z=13 und n=14, weil dann die Differenz unter der Wurzel 27 ist. Also [mm] \wurzel{27}=3*\wurzel{3}
[/mm]
Für y käme dann raus: [mm] \bruch{3}{14}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Walty |
Auch hier findet man durch ausprobieren vier weitere Lösung(en?):
[mm] x=\pm [/mm] 1/2 [mm] y=\pm [/mm] 1/2
und zu 1|0 tritt -1|0 hinzu..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:14 Mi 23.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Stimmt.
Da war [mm] n^{2}-z^{2}=1*1*3
[/mm]
In meinem vorherigen Beispiel war [mm] n^{2}-z^{2}=3*3*3
[/mm]
Genauso müsste es m.E. auch sein mit [mm] n^{2}-z^{2}=5*5*3 [/mm] oder [mm] n^{2}-z^{2}=7*7*3
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:27 Mi 23.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Für [mm] x=\bruch{z}{n} [/mm] ergit sich dann allgemein:
[mm] z=\bruch{3u^{2}-1}{2}
[/mm]
[mm] n=\bruch{3u^{2}+1}{2}
[/mm]
wobei u alle ungeraden Zahlen annehmen kann.
Der jeweilige y-Wert lässt sich dann aus der vorher aufgestellten Formel ermitteln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Mi 23.05.2007 | | Autor: | sazo |
Vielen Dank für die Hilfe!
Ich verstehe soweit auch alles. Nur im letzten Schritt ist mir nicht klar, wie man zu der allgemeinen Gleichung für z und n kommt und warum u ungerade sein muss.
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> Nur im letzten Schritt ist
> mir nicht klar, wie man zu der allgemeinen Gleichung für z
> und n kommt und warum u ungerade sein muss.
Geh mal aus von der Gleichung
[mm] a\wurzel{3}=\wurzel{n^{2}-z^{2}} [/mm] wobei a, n und z [mm] \in \IN
[/mm]
Erklärung:
Diese Gleichung tauchte weiter oben im Thread schon mal in ähnlicher Form auf mit [mm] \wurzel{3} [/mm] im Nenner. Da bei rationalen Zahlen ja keine [mm] \wurzel{3} [/mm] auftauchen darf, müsste [mm] \wurzel{3} [/mm] also sowohl im Zähler als auch im Nenner stehen, damit es sich wegkürzt.
Dann die obige Formel quadriert, ergibt
[mm] 3*a^{2}=n^{2}-z^{2}
[/mm]
Und jetzt ist die entscheidende Frage:
Welche zwei Quadratzahlen liegen genau [mm] 3*a^{2} [/mm] auseinander?
(wobei a jede natürliche Zahl annehmen kann)
Du kannst ja mal untersuchen, ob es noch mehr Lösungsmöglichkeiten gibt, als die von mir angegebenen. Ich hatte nur untersucht dass n und z "Nachbarzahlen" sind (z.B. 13 und 14).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Mi 23.05.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Zu berücksichtigen ist allerdings, dass es auch Äquivalente geben kann.
Für a=10 ergibt sich z.B. n=20 und z=10
Aber [mm] \bruch{10}{20} [/mm] ist ja das selbe wie [mm] \bruch{1}{2}. [/mm]
Und das hatten wir bereits weiter oben.
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