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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Malk |
Kann mir vielleicht jemand erklären wie man allgemein feststellt ob es eine Lösung für eine Gleichung in [mm] \IZ_{n} [/mm] gibt?
z.B. bekomme ich aus 2x=3 in [mm] \IZ_{6} [/mm] keine Lösung. Ich behaupte es gibt keine. Wieso nicht?
Aber was mache ich wenn ich mal [mm] \IZ_{333} [/mm] oder so habe?
Oder ich löse die Gleichung wie in [mm] \IR [/mm] aber wie bekomme ich dann [mm] \bruch{3}{2} [/mm] in [mm] \IZ_{333}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:59 Mi 29.04.2009 | | Autor: | HuMan |
> z.B. bekomme ich aus 2x=3 in [mm]\IZ_{6}[/mm] keine Lösung. Ich
> behaupte es gibt keine. Wieso nicht?
Die Gleichung besitzt nur eine Lösung wenn du dich in einem Zahlenraum von mindestens [mm] \IQ [/mm] befindest. Im Raum der ganzen Zahlen gibt es keine Lösung... [mm] \bruch{3}{2} \not\in \IZ_{6}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Malk |
Aber [mm] \bruch{3}{2} [/mm] als Lösung in [mm] \IR [/mm] ist 5 als Lösung in [mm] \IZ_{7} [/mm] oder nicht?
Ich weiß, in { [mm] \IZ_{n} [/mm] : n ist nicht prim } gibt es nicht alle multiplikativen Inverse. Aber woher weiß ich ob es zu einer Zahl ein Inverses gibt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:46 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber [mm]\bruch{3}{2}[/mm] als Lösung in [mm]\IR[/mm] ist 5 als Lösung in
> [mm]\IZ_{7}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder nicht?
Das ``ist'' wuerde ich aus dem Satz rauslassen. $\frac{3}{2}$ ist einfach eine Abkuerzung fuer $3 \cdot 2^{-1}$, und das gibt es nur wenn 2 ein multiplikativ Inverses besitzt. Das tut es sowohl in $\IR$, wie auch in $\IZ_7$.
In $\IZ_7$ gilt zumindest $2^{-1} = 4$, womit $\frac{3}{2} = 3 \cdot 4 = 12 = 5$ ist.
> Ich weiß, in { [mm]\IZ_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: n ist nicht prim } gibt es nicht
> alle multiplikativen Inverse. Aber woher weiß ich ob es zu
> einer Zahl ein Inverses gibt.
Es gibt dort genau zu den Zahlen ein Inverses, die teilerfremd zu $n$ sind.
LG Felix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:43 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > z.B. bekomme ich aus 2x=3 in [mm]\IZ_{6}[/mm] keine Lösung. Ich
> > behaupte es gibt keine. Wieso nicht?
>
> Die Gleichung besitzt nur eine Lösung wenn du dich in einem
> Zahlenraum von mindestens [mm]\IQ[/mm] befindest. Im Raum der ganzen
> Zahlen gibt es keine Lösung... [mm]\bruch{3}{2} \not\in \IZ_{6}[/mm]
Sorry, aber das ist Quark. Siehe z.B. die Antwort von schachuzipus.
LG Felix
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Hallo Malk,
> Kann mir vielleicht jemand erklären wie man allgemein
> feststellt ob es eine Lösung für eine Gleichung in [mm]\IZ_{n}[/mm]
> gibt?
>
> z.B. bekomme ich aus 2x=3 in [mm]\IZ_{6}[/mm] keine Lösung. Ich
> behaupte es gibt keine. Wieso nicht?
Das liegt daran, dass du die Gleichung (oder Kongruenz) mit dem Inversen von 2 modulo 6 multiplizieren müsstest, um [mm] $x\equiv [/mm] ... \ [mm] \mod [/mm] 6$ zu bekommen, aber 2 hat modulo 6 kein Inverses.
Denke an das Kriterium für die Lösbarkeit einer linearen Kongruenz [mm] $ax\equiv [/mm] b \ [mm] \mod [/mm] m$
Das ist nur lösbar, wenn [mm] $ggT(a,m)\mid [/mm] b$
Das ist hier nicht der Fall: 2 teilt nicht 3!
>
> Aber was mache ich wenn ich mal [mm]\IZ_{333}[/mm] oder so habe?
Wenn du [mm] $2x\equiv [/mm] 3 \ [mm] \mod [/mm] 333$ hast, so ist $ggT(2,333)=1$
Damit bekommst du das Inverse, indem du den euklidischen Algorithmus hernimmst.
Es ist [mm] $ggT(2,333)=1=333-166\cdot{}2$
[/mm]
Also ist das Inverse zu $2 \ [mm] \mod [/mm] 333 \ \ \ -166$ bzw. $-166+333=167$
Also [mm] $2x\equiv [/mm] 3 \ [mm] \mod [/mm] 333$
[mm] $\Rightarrow x\equiv 3\cdot{}167=501\equiv [/mm] 168 \ [mm] \mod [/mm] 333$
>
> Oder ich löse die Gleichung wie in [mm]\IR[/mm] aber wie bekomme ich
> dann [mm]\bruch{3}{2}[/mm] in [mm]\IZ_{333}?[/mm]
Das ist ja eigentlich kein Bruch, sondern als [mm] $3\cdot{}2^{-1}$ [/mm] zu interpretieren, wobei [mm] $2^{-1}$ [/mm] das Inverse von 2 modulo 333 ist
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Malk |
Danke für die Erlärungen. Jetzt ist es um einiges klarer.
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