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Es sind alle Lösungen für a und b zu finden, die diese Gleichung erfüllen.
Als Lösung kommt heraus:
[mm] a-1\not=0, b=\bruch{a}{a-1}
[/mm]
Bis jetzt hab ichs soweit rausgefunden, dass die einzigen ganzzahligen Lösungen dafür nur a=b=2 (und a=b=0) sind. Also müssen die restlichen alle nichtganzzahlig sein.
Erstmal als Bruch umgewandelt:
[mm] \bruch{c}{d}+\bruch{e}{f}=\bruch{c}{d}*\bruch{e}{f}
[/mm]
Allerdings wüsste ich jetzt nicht, wie ich daraus die Brüche, die man auch als ganze Zahlen darstellen kann, streiche. Mit dem euklidschen Algorithmus, bis Zähler & Nenner teilerfremd sind, komm ich auch nicht weiter.
Eigentlich müsste der Weg zur Lösung mit Schulmathematik lösbar sein, ich bin aber seit 2h am grübeln und komme nicht drauf.
Irgendwie wurden die zwei Unbekannten (a,b) in der Lösung zu einer Unbekannten (a) reduziert, für die man alle möglichen ganzen Zahlen dann einsetzen könnte (also unendlich Lösungen für die Gleichung).
Wäre nett, wenn sich einer dieser Gleichung wittmen könnte, um mir ein paar Tipps zu geben, wie ich auf den Lösungsweg komme.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:25 So 13.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> a+b=a*b
>
> Es sind alle Lösungen für a und b zu finden, die diese
> Gleichung erfüllen.
> Als Lösung kommt heraus:
> [mm]a-1\not=0, b=\bruch{a}{a-1}[/mm]
Genau.
> Bis jetzt hab ichs soweit rausgefunden, dass die einzigen
> ganzzahligen Lösungen dafür nur a=b=2 (und a=b=0) sind.
> Also müssen die restlichen alle nichtganzzahlig sein.
Genau.
> Erstmal als Bruch umgewandelt:
> [mm]\bruch{c}{d}+\bruch{e}{f}=\bruch{c}{d}*\bruch{e}{f}[/mm]
>
> Allerdings wüsste ich jetzt nicht, wie ich daraus die
> Brüche, die man auch als ganze Zahlen darstellen kann,
> streiche. Mit dem euklidschen Algorithmus, bis Zähler &
> Nenner teilerfremd sind, komm ich auch nicht weiter.
Was genau willst du? Alle rationalen Loesungen herausfinden, die keine ganzen Zahlen sind? Aber das hast du doch schon (siehe deine Gleichungen oben): du kannst $a$ als beliebige rationale Zahl [mm] $\neq [/mm] 1$ waehlen, und dann ist $b$ eindeutig bestimmt und ebenfalls rational. Und ganzzahlig wird dies genau dann, wenn $a [mm] \in \{ 0, 2 \}$ [/mm] ist (nachdem was du gerade schreibst).
Also ist die Menge der echt-rationalen Loesungen gegeben durch [mm] $\{ (a, \frac{a}{a - 1}) \mid a \in \IQ \setminus \{ 0, 1, 2 \} \}$.
[/mm]
> Irgendwie wurden die zwei Unbekannten (a,b) in der Lösung
> zu einer Unbekannten (a) reduziert, für die man alle
> möglichen ganzen Zahlen dann einsetzen könnte (also
> unendlich Lösungen für die Gleichung).
Genau. Das hast du oben ja auch gemacht!
LG Felix
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> Hallo und !
Vielen Dank! 
> Was genau willst du? Alle rationalen Loesungen herausfinden, die keine ganzen Zahlen sind? Aber das hast du doch schon (siehe deine Gleichungen oben)
Die oben angegebene Gleichung, war ja nur die Lösung, die der Computer herausspuckte. Aber sicherlich wurde dieses Rätsel, bei dem zwei Zahlen multipliziert, den gleichen Wert ergeben, als wenn man sie addiert, schon zu Zeiten Euklids gelöst.
Nur irgendwie mussten die trapferen Herren, die sich dieser Gleichung wittmeten von:
> [mm] a+b=a\*b
[/mm]
über
> [mm] \bruch{c}{d}+\bruch{e}{f}=\bruch{c}{d}\cdot{}\bruch{e}{f}
[/mm]
nach
> [mm] b=\bruch{a}{a-1}
[/mm]
gekommen sein.
Und genau das versuche ich gerade vergebens nachzuvollziehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 13.12.2009 | | Autor: | Raute1337 |
Oh Gott, Schande über mein Haupt.
Vielen Dank, dass du mich auf meine Dummheit hingewiesen hast, Abakus!
Jetzt ist mir das ganze etwas peinlich, bin das wohl viel zu kompliziert angegangen.
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