Gleichungssyst, impl Funktione < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Sa 28.05.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für die folgenden zwei Gleichungssysteme jeweils, ob durch sie in einer Umgebung von x=0 Funktionen [mm] x\mapsto [/mm] y(x) und [mm] x\mapsto [/mm] z(x) mit y(0)=z(0)=0 definiert werden.
(i)
x+y-sin(z)=0
[mm] e^z-x-y^3=1
[/mm]
(ii)
x+y-sin(z)=0
[mm] e^x-x-y^3=1 [/mm] |
Hi, ich würde gerne wissen ob ich (i) richtig bearbeitet habe und hätte dann zu (ii) eine Frage.
(i)
Wir haben also f(x,y,z)= [mm] \pmat{x+y-sin(z)\\e^z-x-y^3-1} [/mm] und f(0,0,0)=0.
[mm] Df=(D_1 f,D_2f)=\pmat{1&1&-cos(z)\\-1&-3y^2&e^z}
[/mm]
also ist f stetig differenzierbar
[mm] |D_2 f(0,0,0)|=\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }=1\neq [/mm] 0
Damit ist [mm] D_2 [/mm] f in (0,0,0) invertierbar.
Somit gilt nach dem Satz über implizite Funktionen:
[mm] \exists [/mm] U [mm] \subseteq \IR, x\in [/mm] U, [mm] V\subseteq \IR^2, (y,z)\in [/mm] V: [mm] \exists [/mm] g: U->V, [mm] x\mapsto [/mm] (y,z).
Nunja und da alle in UxV liegenden Nullstellen von f auf dem Graphen von g liegen, also insb [mm] g(0)=\pmat{0\\0}
[/mm]
ist ja [mm] g_1 [/mm] (0)=0 und [mm] g_2 [/mm] (0)=0 was zu zeigen war.
Richtig?
(ii)
Hier gilt nun wieder f(0,0,0)=0
Für [mm] D_f [/mm] ergibt sich [mm] \pmat{1&1&-cos(z)\\e^x-1&-3y^2&0}
[/mm]
damit ist aber [mm] det(D_2 [/mm] f(0,0,0))=0.
Der Satz von der impliziten Funktion liefert mir nun also keine Aussage (Es gilt ja nicht genau dann wenn).
Wie argumentiere ich nun weiter?
lg unr8d
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Hallo UNR8D,
> Untersuchen Sie für die folgenden zwei Gleichungssysteme
> jeweils, ob durch sie in einer Umgebung von x=0 Funktionen
> [mm]x\mapsto[/mm] y(x) und [mm]x\mapsto[/mm] z(x) mit y(0)=z(0)=0 definiert
> werden.
>
> (i)
> x+y-sin(z)=0
> [mm]e^z-x-y^3=1[/mm]
>
> (ii)
> x+y-sin(z)=0
> [mm]e^x-x-y^3=1[/mm]
> Hi, ich würde gerne wissen ob ich (i) richtig bearbeitet
> habe und hätte dann zu (ii) eine Frage.
>
> (i)
> Wir haben also f(x,y,z)= [mm]\pmat{x+y-sin(z)\\e^z-x-y^3-1}[/mm]
> und f(0,0,0)=0.
>
> [mm]Df=(D_1 f,D_2f)=\pmat{1&1&-cos(z)\\-1&-3y^2&e^z}[/mm]
> also ist
> f stetig differenzierbar
Das geht anders:
Da f ein Vektor ist, muß jede Komponente dieses
Vektors stetig differenzierbar sein.
Weil jede Komponente dieses Vektors aus einer Summe
stetig differenzierbaren Funktionen besteht, ist diese Summe
ebenfalls stetig differenzierbar. Damit sind die Komponenten
dieses Vektors stetig differnzierbar und somit auch der gesamte
Vektor.
>
> [mm]|D_2 f(0,0,0)|=\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }=1\neq[/mm] 0
> Damit ist [mm]D_2[/mm] f in (0,0,0) invertierbar.
Hier ist doch zunächst von [mm]e^{z}-3*y^{2}*cos(z)[/mm] auszugehen,
und zu untersuchen, für welche y,z dies von Null verschieden ist.
> Somit gilt nach dem Satz über implizite Funktionen:
> [mm]\exists[/mm] U [mm]\subseteq \IR, x\in[/mm] U, [mm]V\subseteq \IR^2, (y,z)\in[/mm]
> V: [mm]\exists[/mm] g: U->V, [mm]x\mapsto[/mm] (y,z).
>
> Nunja und da alle in UxV liegenden Nullstellen von f auf
> dem Graphen von g liegen, also insb [mm]g(0)=\pmat{0\\0}[/mm]
> ist ja [mm]g_1[/mm] (0)=0 und [mm]g_2[/mm] (0)=0 was zu zeigen war.
>
> Richtig?
>
> (ii)
> Hier gilt nun wieder f(0,0,0)=0
> Für [mm]D_f[/mm] ergibt sich [mm]\pmat{1&1&-cos(z)\\e^x-1&-3y^2&0}[/mm]
>
> damit ist aber [mm]det(D_2[/mm] f(0,0,0))=0.
>
> Der Satz von der impliziten Funktion liefert mir nun also
> keine Aussage (Es gilt ja nicht genau dann wenn).
> Wie argumentiere ich nun weiter?
In einer Umgebung von (0,0,0) kann das Gleichungssystem
nicht nach y,z aufgelöst werden.
>
> lg unr8d
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 28.05.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi MathePower,
danke für die Antwort!
Habe aber noch ein paar Fragen dazu.
> Hallo UNR8D,
>
> > Untersuchen Sie für die folgenden zwei Gleichungssysteme
> > jeweils, ob durch sie in einer Umgebung von x=0 Funktionen
> > [mm]x\mapsto[/mm] y(x) und [mm]x\mapsto[/mm] z(x) mit y(0)=z(0)=0 definiert
> > werden.
> >
> > (i)
> > x+y-sin(z)=0
> > [mm]e^z-x-y^3=1[/mm]
> >
> > (ii)
> > x+y-sin(z)=0
> > [mm]e^x-x-y^3=1[/mm]
> > Hi, ich würde gerne wissen ob ich (i) richtig
> bearbeitet
> > habe und hätte dann zu (ii) eine Frage.
> >
> > (i)
> > Wir haben also f(x,y,z)= [mm]\pmat{x+y-sin(z)\\e^z-x-y^3-1}[/mm]
> > und f(0,0,0)=0.
> >
> > [mm]Df=(D_1 f,D_2f)=\pmat{1&1&-cos(z)\\-1&-3y^2&e^z}[/mm]
> > also
> ist
> > f stetig differenzierbar
>
>
> Das geht anders:
>
> Da f ein Vektor ist, muß jede Komponente dieses
> Vektors stetig differenzierbar sein.
>
> Weil jede Komponente dieses Vektors aus einer Summe
> stetig differenzierbaren Funktionen besteht, ist diese
> Summe
> ebenfalls stetig differenzierbar. Damit sind die
> Komponenten
> dieses Vektors stetig differnzierbar und somit auch der
> gesamte
> Vektor.
>
>
Du hast Recht, da war ich etwas zu schnell.
Diese Überlegungen lagen aber auch meiner Aussage zu Grunde, was nicht vernünftig ersichtlich war.
> >
> > [mm]|D_2 f(0,0,0)|=\vmat{ 1 & -1 \\ 0 & 1 }=1\neq[/mm] 0
> > Damit ist [mm]D_2[/mm] f in (0,0,0) invertierbar.
>
>
> Hier ist doch zunächst von [mm]e^{z}-3*y^{2}*cos(z)[/mm]
> auszugehen,
> und zu untersuchen, für welche y,z dies von Null
> verschieden ist.
>
Hm meine Nullstelle (die sich unter der Bedingung x=0 ergibt ist ja (0,0,0), die möchte ich also untersuchen.
Der Satz von der impliziten Funktion fordert dass [mm] D_2 [/mm] f an dieser Stelle invertierbar ist, dann gibt es untenstehendes g was ich ja suche.
Genügt also nicht die konkrete Betrachtung für (0,0,0)?
> > Somit gilt nach dem Satz über implizite Funktionen:
> > [mm]\exists[/mm] U [mm]\subseteq \IR, x\in[/mm] U, [mm]V\subseteq \IR^2, (y,z)\in[/mm]
> > V: [mm]\exists[/mm] g: U->V, [mm]x\mapsto[/mm] (y,z).
> >
> > Nunja und da alle in UxV liegenden Nullstellen von f auf
> > dem Graphen von g liegen, also insb [mm]g(0)=\pmat{0\\0}[/mm]
> > ist ja [mm]g_1[/mm] (0)=0 und [mm]g_2[/mm] (0)=0 was zu zeigen war.
> >
> > Richtig?
> >
> > (ii)
> > Hier gilt nun wieder f(0,0,0)=0
> > Für [mm]D_f[/mm] ergibt sich [mm]\pmat{1&1&-cos(z)\\e^x-1&-3y^2&0}[/mm]
> >
> > damit ist aber [mm]det(D_2[/mm] f(0,0,0))=0.
> >
> > Der Satz von der impliziten Funktion liefert mir nun also
> > keine Aussage (Es gilt ja nicht genau dann wenn).
> > Wie argumentiere ich nun weiter?
>
>
> In einer Umgebung von (0,0,0) kann das Gleichungssystem
> nicht nach y,z aufgelöst werden.
>
Diese Folgerung möchte ich gerne ziehen, aber mit welcher konkreten Begründung?
Mein Satz sagt mir nur dass det=0 hinreichend ist, nicht notwendig damit man das System nach y,z auflösen kann.
>
> >
> > lg unr8d
>
>
> Gruss
> MathePower
lg unr8d
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Hallo UN8RD,
> Hi MathePower,
> danke für die Antwort!
> Habe aber noch ein paar Fragen dazu.
> >
> > Hier ist doch zunächst von [mm]e^{z}-3*y^{2}*cos(z)[/mm]
> > auszugehen,
> > und zu untersuchen, für welche y,z dies von Null
> > verschieden ist.
> >
>
> Hm meine Nullstelle (die sich unter der Bedingung x=0
> ergibt ist ja (0,0,0), die möchte ich also untersuchen.
> Der Satz von der impliziten Funktion fordert dass [mm]D_2[/mm] f an
> dieser Stelle invertierbar ist, dann gibt es untenstehendes
> g was ich ja suche.
> Genügt also nicht die konkrete Betrachtung für (0,0,0)?
>
Hier genügt die konkrete Betrachtung.
Anders wenn die Frage lautet, für welche Punkte (0,y,z) kann das
Gleichungsystem nach y,z aufgelöst werden. Dann müßtest Du
die y,z aus der Determinante berechnen.
> > > (ii)
> > > Hier gilt nun wieder f(0,0,0)=0
> > > Für [mm]D_f[/mm] ergibt sich
> [mm]\pmat{1&1&-cos(z)\\e^x-1&-3y^2&0}[/mm]
> > >
> > > damit ist aber [mm]det(D_2[/mm] f(0,0,0))=0.
> > >
> > > Der Satz von der impliziten Funktion liefert mir nun also
> > > keine Aussage (Es gilt ja nicht genau dann wenn).
> > > Wie argumentiere ich nun weiter?
> >
> >
N> > In einer Umgebung von (0,0,0) kann das Gleichungssystem
> > nicht nach y,z aufgelöst werden.
> >
>
> Diese Folgerung möchte ich gerne ziehen, aber mit welcher
> konkreten Begründung?
> Mein Satz sagt mir nur dass det=0 hinreichend ist, nicht
> notwendig damit man das System nach y,z auflösen kann.
>
Nun, nach dem Satz über implizite Funktionen kann in einer Umgebung
von (0,0,0) nicht nach y,z aufgelöst werden, da die Determinate der
Jacobi-Matrix verschwindet.
Natürlich kannst Du das Gleichungssystem auch ohne den
Satz über implizite Funktionen nach y,z auflösen. Das ergibt
dann stetige Funktionen y(x), z(x), die aber in x=0 nicht differenzierbar sind.
> >
> > >
> > > lg unr8d
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> lg unr8d
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 29.05.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi MathePower,
danke für deine Hilfe :)
Die Aufgabe wird wohl wirklich so gedacht sein, dass die Systeme mit dem Satz über implizite Funktionen untersucht werden sollen.
Die Aussage, dass bezüglich dieses Satzes nicht nach y,z aufgelöst werden kann und (eventuell) existierende Funktionen auch nicht differenzierbar wären sollte wohl genügen.
Auch hier nochmal danke für die Erläuterung.
lg unr8d
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