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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Do 30.06.2016 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösungen der Gleichungen
I. [mm] -2x(-1+x^{2}+y^{2})=0
[/mm]
II. [mm] -2y(-1+x^{2}+y^{2})=0 [/mm] |
Also Produkt ist ja Null wenn eine Teil gleich 0 ist.
also in der ersten Gleichung x=0
wenn ich das in II einsetze habe ich [mm] -2y(-1+y^{2})=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y=0 oder y=1
Also Lösungen (0,0) (0,1)
Wenn jetzt [mm] (-1+x^{2}+y^{2})=0 [/mm] sein soll würde ich es nach x umformen und hätte [mm] \pm\wurzel{1-y^{2}}
[/mm]
dass ,,+'' in II [mm] \Rightarrow -2y(-1+(\wurzel{1-y^{2}})^{2}+y^{2}=0 [/mm]
[mm] \gdw -2y(-1+1-y^{2}+y^{2}=0 \gdw [/mm] -2y(0)=0 dann hätte ich ja die Aussage 0=0 kann ich daraus was folgern. Ich kann ja y nicht genauer bestimmen also hätte ich da ja keine aussage.
,,-'' in II [mm] \Rightarrow 2y(-1+(-\wurzel{1-y^{2}})^{2}+y^{2}=0 [/mm] wäre ja das gleiche dass - quadriert wird und Positiv wäre. Dadurch hätte ich wieder keine aussage. Also hätte ich nur die zwei Punkte (0,0) (0,1) als lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 30.06.2016 | | Autor: | fred97 |
1. Die Gleichung $ [mm] -2y(-1+y^{2})=0 [/mm] $ hat 3 Lösungen:
0, 1 und -1.
2. die Gleichung [mm] x^2+y^2=1 [/mm] beschreibt die Kreislinie um (0,0) mit Radius 1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 30.06.2016 | | Autor: | Lars.P |
Ich glaube es gab ein Missverständnis.
Beide Gleichung gehören zusammen und müssen gleichzeitig gelten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Do 30.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube es gab ein Missverständnis.
ich glaube das nicht
> Beide Gleichung gehören zusammen und müssen gleichzeitig
> gelten.
na klar,was sonst ?
fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 30.06.2016 | | Autor: | Lars.P |
Dann bin ich mit der Lösung etwas überfordert.
Meine eigentliche Aufgabe ist die Berechnung der lokalen Extremstellen der Funktion [mm] f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}
[/mm]
Ich weiß, dass ich den Gradienten bilden muss.
dieser wäre für mich [mm] f_{x}(x,y)=-2x(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})} [/mm] und [mm] f_{y}(x,y)=-2y(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}. [/mm]
Um die Extremstellen zu berechnen muss man den Gradienten =0 Setzen. Also das Gleichungsystem meiner Ausgangsfrage.
Mit den Lösungen x=0 [mm] \wedge [/mm] y=0, x=0 [mm] \wedge [/mm] y=-1, x=0 [mm] \wedge [/mm] y=1 kann ich was anfangen. Aber mit der Kreisline jetzt nicht. Dass [mm] x^2+y^2=1 [/mm] die Kreisline ist kann ich nachvollziehen. Aber hätte ich dann nicht sozusagen ,,unendlich'' viele Lösungen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 01.07.2016 | | Autor: | chrisno |
> Dann bin ich mit der Lösung etwas überfordert.
>
> Meine eigentliche Aufgabe ist die Berechnung der lokalen
> Extremstellen der Funktion
> [mm]f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}[/mm]
Es verkürzt die Kommunikation, wenn Du dies schon im ersten Post verrätst.
> Ich weiß, dass ich den Gradienten bilden muss.
Das ist ein möglicher Weg, zum Ziel zu kommen.
> dieser wäre für mich
> [mm]f_{x}(x,y)=-2x(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}[/mm] und
> [mm]f_{y}(x,y)=-2y(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}.[/mm]
> Um die Extremstellen zu berechnen muss man den Gradienten
> =0 Setzen.
Um die Kandidaten für lokale Extrema zu finden, wird ...
Damit grenzt Du nur die Zahl der möglichen Stellen ein (notwendiges Kriterium).
> Also das Gleichungsystem meiner Ausgangsfrage.
>
> Mit den Lösungen x=0 [mm]\wedge[/mm] y=0, x=0 [mm]\wedge[/mm] y=-1, x=0
> [mm]\wedge[/mm] y=1 kann ich was anfangen. Aber mit der Kreisline
> jetzt nicht. Dass [mm]x^2+y^2=1[/mm] die Kreisline ist kann ich
> nachvollziehen. Aber hätte ich dann nicht sozusagen
> ,,unendlich'' viele Lösungen?
Ja, unendlich viele Kandidaten. Stell Dir einen Welle vor. Überall auf dem Kamm kann ein lokales Maximum sein. Das sind unendlich viele Orte.
Nun musst Du diese Kandiatenschaar durchsuchen, wo nun tatsächlich ein lokales Extremum liegt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Fr 01.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Dann bin ich mit der Lösung etwas überfordert.
>
> Meine eigentliche Aufgabe ist die Berechnung der lokalen
> Extremstellen der Funktion
> [mm]f(x,y)=(x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}[/mm]
Aha, warum sagst Du das nicht gleich ?
Du kannst Dir das Leben beträchtlich vereinfachen, wenn Du die Funktion
[mm] g(t):=te^{-t} [/mm] (t [mm] \ge [/mm] 0)
diskutierst.
Man sieht sofort:
g(0)=0 [mm] \le [/mm] g(t) für alle t [mm] \ge [/mm] 0.
Damit hat g in t=0 ein absolutes Minimum. Was bedeutet das für f ?
Weiter ist (nachrechnen !):
$g'(t)=0 [mm] \gdw [/mm] t=1$ und $g''(1) <0$.
g hat also in t=1 ein lokales Maximum.
Wegen g(t) [mm] \to [/mm] 0 für t [mm] \to \infty [/mm] folgt, dass g in t=1 sogar ein globales Maximum hat.
Für f bedeutet dies: f nimmt in jedem Punkt der Menge [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=1\} [/mm] sein globales Maximum an.
In jedem Punkt (x,y) [mm] \in [/mm] K ist [mm] f(x,y)=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Fazit:
[mm] \min f(\IR^2)=0 [/mm] und [mm] \max f(\IR^2)=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Extremstellen haben wir also in $K [mm] \cup \{(0,0)\}$. [/mm] Andere Extremstellen gibt es nicht.
Wie haben wir das alles herausbekommen: mit Schulmathematik.
Benötigt haben wir nicht: partielle Ableitungen, Hessematrix, Definitheit, ....
FRED
> Ich weiß, dass ich den Gradienten bilden muss.
> dieser wäre für mich
> [mm]f_{x}(x,y)=-2x(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}[/mm] und
> [mm]f_{y}(x,y)=-2y(-1+x^{2}+y^{2})e^{-(x^{2}+y^{2})}.[/mm]
> Um die Extremstellen zu berechnen muss man den Gradienten
> =0 Setzen. Also das Gleichungsystem meiner Ausgangsfrage.
>
> Mit den Lösungen x=0 [mm]\wedge[/mm] y=0, x=0 [mm]\wedge[/mm] y=-1, x=0
> [mm]\wedge[/mm] y=1 kann ich was anfangen. Aber mit der Kreisline
> jetzt nicht. Dass [mm]x^2+y^2=1[/mm] die Kreisline ist kann ich
> nachvollziehen. Aber hätte ich dann nicht sozusagen
> ,,unendlich'' viele Lösungen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 01.07.2016 | | Autor: | Lars.P |
Okay nachvollziehbar was du sagst. Auf die Überlegung zukommen es sozusagen mit hilfe von Substitution zu machen bin ich garnicht gekommen.
Aber gibt es einen Weg es mit Hilfe der Hessematrix zu lösen? Man müsste ja die Punkte einsetzten und schauen was mit der Hessematrix passiert. Könnte man dann von dem Punkt (0,1) und (0,-1) auf den Kreis schließen dass die anderen Punkte auch die gleichen Eigenschaften haben wie die zwei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:46 Fr 01.07.2016 | | Autor: | fred97 |
> Okay nachvollziehbar was du sagst. Auf die Überlegung
> zukommen es sozusagen mit hilfe von Substitution zu machen
> bin ich garnicht gekommen.
> Aber gibt es einen Weg es mit Hilfe der Hessematrix zu
> lösen?
Na klar, kann man das "konventionell" machen.
Das erfordert ein wenig mehr Rechnerei als meine Lösung.
> Man müsste ja die Punkte einsetzten und schauen
> was mit der Hessematrix passiert. Könnte man dann von dem
> Punkt (0,1) und (0,-1) auf den Kreis schließen dass die
> anderen Punkte auch die gleichen Eigenschaften haben wie
> die zwei?
f ist auf Kreisen um den Ursprung konstant !
Sei r>0 und [mm] K_r:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=r^2\}, [/mm] so ist
[mm] f(x,y)=r^2e^{-r^2} [/mm] für alle (x,y) [mm] \in K_r.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:43 Fr 01.07.2016 | | Autor: | Lars.P |
Das wäre ja wieder eine Lösung mit Substitution. Man kommt ja mit [mm] K_r:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2=r^2\} [/mm] ja auch wieder auf die Lösung r=0 und r=1. Das wäre ja wieder ähnlich wie der andere Weg.
Ich wüsste nur wenn ich es ,,konventionell'' machen würde, dass ich von den Punkten (0,1) und (0,-1) auf den ganzen Kreis schließen wurde, da der Kreis ja konstant ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 03.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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