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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Mi 24.10.2007 | | Autor: | marta |
Hallo all
Wer kann mir hilfen?
Sei t eine reelle Zahl.Wir betrachten das folgende Gleichungssystem
[mm] t*x_{1}+6*x_{2}=2
[/mm]
[mm] 4*x_{1}+(t+2)*x_{2}=2
[/mm]
a)Für welche [mm] t\in\IR [/mm] besitzt das Gleichungssystem eine lösung [mm] (x_{1},x_{2})\in \IR^{2} [/mm] ?
b)Für welche [mm] t\in\IR [/mm] besitzt das Gleichungssystem unendlich viele [mm] Lösungen(x_{1},x_{2})\in \IR^{2} [/mm] ?
c)Sei t=4.Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen [mm] (x_{1},x_{2})\in \IZ^{2} [/mm] des Gleichungssystems.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mi 24.10.2007 | | Autor: | crashby |
Hey marta,
was sind deine Ansätze? Wann ist ein LGS lösbar, wann nicht?
Wenn du das weißt, probier es bei dieser Aufgabe anzuwenden.
Was würdest du machen, wenn t=2 wäre zb?
Könntest du dann das LGS lösen?
Hier musst du das t als allgemeine Zahl betrachten und damit ein wenig rechnen.
Frag wenn du was nicht verstehst
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
hi
Lösung:
wenn t=2; [mm] \vmat{ 2 & 6&2\\ 4 & 4&2 }\Rightarrow \vmat{ 1& 3&1\\ 0& -4&-1 }\Rightarrow x_{2}=3;x_{1}=-8 [/mm] aber bin nicht sicher,ob das richtig ist?!
danke
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Hallo marta,
> hi
> Lösung:
> wenn t=2; [mm] \vmat{ 2 & 6&2\\ 4 & 4&2 }\Rightarrow \vmat{ 1& 3&1\\ 0& -4& -1} [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") [mm] \Rightarrow x_{2}=3;x_{1}=-8 [/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommst du denn darauf? Da steht doch in der 2.Zeile [mm] $-4x_2=-1\Rightarrow x_2=\frac{1}{4}\Rightarrow x_1=...$
[/mm]
> aber bin nicht sicher,ob das richtig ist?!
> danke
$t=2$ ist kein "spannender" Fall, untersuche es allgemein - siehe den Hinweis im anderen post
LG
schachuzipus
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Hallo Marta,
ein Hinweis zum Anfangen...
Du musst das [mm] $x_1$ [/mm] in der 2. Gleichung eliminieren.
Addiere dazu mal das $-4$ -fache der ersten Gleichung zum $t$ -fachen der zweiten Gleichung.
Dann musst du eine Fallunterscheidung machen.
Geh's mal an... dann siehst du's 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
hi
Hast meine lösung igesen?Ich bin nicht sicher ob es richtig ist!?aber verstehe ich nicht bei c) wenn t=4 ist alles 0 wie soll ich ganzzahligen lösungen des gleichungssystems bestimmen?
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Hi,
nutze doch den Hinweis und eliminiere das [mm] x_2 [/mm] in Gleichung 2
Dann bekommst du alle spannenden Fälle fast "geschenkt"
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:26 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
also dann [mm] x_{1}=x_{2}=\bruch{1}{4}
[/mm]
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Hallo,
> also dann [mm] x_{1}=x_{2}=\bruch{1}{4} [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Also gibts für t=2 ne eindeutige Lösung, was ist mit all den anderen unendlich vielen [mm] t\in\IR??
[/mm]
Machs wie gesagt allgemein.
Zeig deine umgeformte Gleichung her, dann können wir uns die Fallunterscheidung ansehen, ok?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:43 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
danke ,so wie du gesacht hast:
[mm] \vmat{ 2 & 6&2 \\ 4 & 4&2 }\Rightarrow [/mm] in der 2.gleichung addieren
[mm] \vmat{ -4 & 12&-4 \\ 0 & -8&-2 }\Rightarrow x_{2}=1\4,x_{2}=1\4
[/mm]
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Hallo,
> danke ,so wie du gesacht hast:
> [mm]\vmat{ 2 & 6&2 \\ 4 & 4&2 }\Rightarrow[/mm] in der 2.gleichung
> addieren
> [mm]\vmat{ -4 & 12&-4 \\ 0 & -8&-2 }\Rightarrow x_{2}=1\4,x_{2}=1\4[/mm]
>
>
Das verstehe ich nicht...
Du hast das Gleichungssystem
(1) [mm] $tx_1+6x_2=2$
[/mm]
(2) [mm] $4x_1+(t+2)x_2=2$
[/mm]
Wenn du jetzt das -4fache der ersten zum t-fachen der 2.Gleichung [mm] (t\neq [/mm] 0) addierst, bekommst du doch
(1') [mm] $tx_1+6x_2=2$
[/mm]
(2') $ [mm] (t^2+2t-24)x_2=2t-8$
[/mm]
Also
(1') [mm] $tx_1+6x_2=2$
[/mm]
(2') $ [mm] (t-4)(t+6)x_2=2(t-4)$
[/mm]
Hier kann man doch die spannenden Fälle recht schnell "abarbeiten"
Eines noch, da wir oben t=0 rausnehmen mussten. um keine Lösung zu verlieren, betrachte den Fall t=0 gesondert (einsetzen in das Ausgangs-GS)
Versuch dich nun mal an der Fallunterscheidung...
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
ja stimmt du hast recht,habe t=2 abgerechnet
und so [mm] weiter:x_{1}=x_{2}=\bruch{2}{t+6}
[/mm]
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Hoho,
aufgepasst, hier kommen doch genau die Fallunterscheidungen ins Spiel,
damit du auf das Ergebnis kommst hast du in der 2.Gleichung durch (t-4)(t+6) geteilt.
Das ist nur erlaubt, wenn sowohl t-4 als auch t+6 [mm] \neq [/mm] 0 sind
Dann aber gibt's in der Tat eine EINDEUTIGE Lösung, das [mm] x_2 [/mm] hast du schon, das [mm] x_1 [/mm] berechne damit aus der ersten Gleichung.
Dann bleiben aber noch die anderen Fälle:
Was ist, wenn (1) t-4=0 ??
Was, wenn (2) t+6=0 ??
Und zu guter Letzt musst du noch kurz nachgucken, was mit t=0 los ist...
So, nun hast du alle Tipps beisammen
Ich muss ins Bett - morgen um 8Uhr VL ![[saumuede]](/images/smileys/saumuede.gif "[saumuede]")
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Do 25.10.2007 | | Autor: | marta |
Danke hast du viel geholfen mach ich weiter Guten nacht
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hi
wenn du ein x eleminierst (die t's musst du beibehalten) wirst du für das andere x einen eher unbewuemen Bruch rausbekommen. Den Nenner kannst du mit der p/q-formel in linearfaktoren von t umwandeln.
Diese "Definitionslücken" könnten dir durch einsetzen weiterhelfen
Gruß Guido
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