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| Aufgabe | Gegeben ist das Gleichungssystem mit dem Parameter a
x +2y+(a+1)z=2
2x+3y+az=3
x +ay+3z=2
Bestimmen Sie den Paramter a so, dass das System
a) in der Lösung einen freinen Parameter hat
b) keine Lösung hat
c) genau determiniert ist |
Zunächst habe ich das Gleichungssystem in eine Matrix überführt und es danach versucht mit dem "Stufenverfahren" zu lösen.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 2 & 3 & a & |3\\ 1 & a & 3 & |2}
[/mm]
1. Zeile multiplizert mit -1 + die 3. Spalte
2. Zeile mulipliziert mit -1/2 + die 3. Spalte
[mm] \pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & -a+2 & -2+a & |0}
[/mm]
1. Zeile multpliziert mit -1/4 + 2. Spalte
3. Zeile multipliziert mit - (1/-2a+4) +2. Spalte
[mm] \pmat{ -1/4 & 0 & 1/4a+3/4 & |0\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & 0 & 6+3a+a² & |1/2}
[/mm]
1.Zeile dividiert durch -1/4
2.Zeile dividiert durch 1/2
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -a-3 & |0\\ 0 & 1 & a+2 & |1\\ 0 & 0 & 6+3a+a² |1/2}
[/mm]
Und hier beginnt mein erstes ernsthaftes Problem, laut der "Musterlösung müsste in der 3. Zeile ( 0 0 (2-a)(a+3) | 2-a) rauskommen. Die ersten 2 Zeilen stimmen mit der Musterlösung überein. Sieht jemand den Fehler ?
Danke für jede Hilfe!
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> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 2 & 3 & a & |3\\ 1 & a & 3 & |2}[/mm]
>
> 1. Zeile multiplizert mit -1 + die 3. Spalte
> 2. Zeile mulipliziert mit -1/2 + die 3. Spalte
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & -a+2 & -2+a & |0}[/mm]
>
> 1. Zeile multpliziert mit -1/4 + 2. Spalte
> 3. Zeile multipliziert mit - (1/-2a+4) +2. Spalte
Du hast hier einfach vergessen, auch deine Ergebnis Spalte mit -(1/2a+4) zu multiplizieren, wenn du dann die richtige Addition machst kommst du auch auf die richtige Lösung.
>
> [mm]\pmat{ -1/4 & 0 & 1/4a+3/4 & |0\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & 0 & 6+3a+a² & |1/2}[/mm]
>
> 1.Zeile dividiert durch -1/4
> 2.Zeile dividiert durch 1/2
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -a-3 & |0\\ 0 & 1 & a+2 & |1\\ 0 & 0 & 6+3a+a² |1/2}[/mm]
>
Hier hast du wahrscheinlich noch einen Vorzeichenfehler gemacht, versuche es doch noch mal mit ausklammern.
> Und hier beginnt mein erstes ernsthaftes Problem, laut der
> "Musterlösung müsste in der 3. Zeile ( 0 0 (2-a)(a+3) |
> 2-a) rauskommen. Die ersten 2 Zeilen stimmen mit der
> Musterlösung überein. Sieht jemand den Fehler ?
>
Und dann hast du die selbe Lösung raus wie in der Lösung.
Vielleicht ist es einfacher für dich, wenn du nicht so viel mit den Brüchen arbeitest, die machen mir immer unheimlich viel Kopfzerbrechen.
Viel Erfolg
lucky
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Wie meinst du das mit der Ergebnisspalte ? Ich möchte doch die Ergebnisspalte (also die 2. Spalte) in Ruhe lassen und und ganz am Schluss durch den die jeweilige Zahl dividierden um "1" zu bekommen. Ich gehe eigentlich immer so vor(gleiche Hernagehensweise bei der Simplex Methode) und hatte bisher immer das korrekte Ergenis.
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Hi, alexchill,
zunächst mal was Grundsätzliches:
Beim Gauß-Verfahren darf man NIE, NIE, NIE [mm] \red{Spalten} [/mm] (senkrecht!) mit etwas multiplizieren und mit anderen Spalten addieren, sondern IMMER NUR [mm] \red{ZEILEN} [/mm] (waagrecht!!!)!!!
Aber vielleicht ist das ja "nur" ein Tippfehler?!
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 2 & 3 & a & |3\\ 1 & a & 3 & |2}[/mm]
>
> 1. Zeile multiplizert mit -1 + die 3. Spalte
> 2. Zeile mulipliziert mit -1/2 + die 3. Spalte
Erstens meinst Du (hoffentlich) immer "Zeile", zweitens wirst Du am Schluss die 1. Zeile gemeint haben, nicht die dritte.
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & -a+2 & -2+a & |0}[/mm] (***)
Die wär' dann richtig!
> 1. Zeile multpliziert mit -1/4 + 2. Spalte
> 3. Zeile multipliziert mit - (1/-2a+4) +2. Spalte
>
> [mm]\pmat{ -1/4 & 0 & 1/4a+3/4 & |0\\ 0 & 1/2 & 1/2a+1 & |1/2\\ 0 & 0 & 6+3a+a² & |1/2}[/mm]
Ab hier versteh' ich Dein "Verfahren" nicht!
Erst würd' ich mal die zweite Zeile in (***) verdoppeln:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1 & a+2 & |1\\ 0 & -a+2 & -2+a & |0}[/mm]
Dann musst Du 'ne Fallunterscheidung machen:
1.Fall: a=2
Dann sieht die Matrix so aus:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1 & 4 & |1\\ 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
Wie leicht zu erkennen, gibt's in diesem Fall unendlich viele Lösungen
(frage 1a: ein freier Parameter)
2.Fall: a [mm] \not=2
[/mm]
Dann musst Du die 2. Zeile mit (a-2) multiplizieren und die 3. Zeile addieren:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & a+1 & |2\\ 0 & 1 & a+2 & |1\\ 0 & 0 & a^{2}+a-6 & |a-2}[/mm]
Wenn Du nun [mm] a^{2}+a-6=0 [/mm] setzt, kriegst Du:
a=2 (den Fall hatten wir schon!) und a =-3.
Für letzteren Wert gibt's keine Lösung (Aufg. b),
in allen anderen Fällen trifft c) zu.
Übrigens würd' ich die Aufgabe zunächst mal nicht mit Gauß, sondern mit Determinantenverfahren beginnen!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Mi 05.07.2006 | | Autor: | alexchill |
Ok, Vielen Dank! Ich denke ich weiß nun wo meine Fehler lagen.
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