Gleichungssystem mit Resultant < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 27.01.2013 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem
[mm] Y^3-9X+X^3=0
[/mm]
[mm] 2Y^2-9+X^2=0.
[/mm]
Dieses soll mit Hilfe der Resultante gelöst werden. |
Wie macht man denn so etwas?
Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass mit [mm] f(x)=\summe_{i=0}^{n}A_i x^i [/mm] , [mm] g(x)=\summe_{j=0}^{m}A_j x^j [/mm] aus [mm] R[A_0,...,A_n,B_0,...,B_n][x] [/mm] u(x),g(x) aus [mm] R[A_0,...,A_n,B_0,...,B_n][x] [/mm] existierten, sodass R(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x) mit grad(u(x))<grad g(x) und grad v(x) < grad f(x).
Kann man da irgendwie einen Algortihmus ableiten, sodass irgendwann das x oder y aus der Gleichung fällt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 27.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei das Gleichungssystem
> [mm]Y^3-9X+X^3=0[/mm]
> [mm]2Y^2-9+X^2=0.[/mm]
> Dieses soll mit Hilfe der Resultante gelöst werden.
> Wie macht man denn so etwas?
> Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass mit
> [mm]f(x)=\summe_{i=0}^{n}A_i x^i[/mm] , [mm]g(x)=\summe_{j=0}^{m}A_j x^j[/mm]
> aus [mm]R[A_0,...,A_n,B_0,...,B_n][x][/mm] u(x),g(x) aus
> [mm]R[A_0,...,A_n,B_0,...,B_n][x][/mm] existierten, sodass
> R(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x) mit grad(u(x))<grad g(x) und
> grad v(x) < grad f(x).
>
> Kann man da irgendwie einen Algortihmus ableiten, sodass
> irgendwann das x oder y aus der Gleichung fällt?
Jo. Die Resultante hat eine Variable weniger; wenn du sie bzgl. $X$ berechnest, ist sie ein Polynom in $Y$. Wenn du nun $R(Y) = u(X, Y) f(X, Y) + v(X, Y) g(X, Y)$ hast und alle $(x, y)$ mit $f(x, y) = 0 = g(x, y)$ suchst, kannst du ja zuerst nach allen $y$ mit $R(y) = 0$ suchen; es gibt nur endlich viele Moeglichkeiten. Dann setzt du alle diese $y$ der Reihe nach in $f$ und $g$ ein, es bleiben jeweils Polynome in $X$ uebrig, die du nach gemeinsamen Nullstellen absuchen kannst. Sobald du welche findest, hast du Loesungen vom LGS gefunden.
Wenn allerdings in $u$ oder $v$ oder $R$ Nenner auftreten (in $K(Y)$), sie also keine Polynome in ($X$ und) $Y$ sind, musst du erst mit dem Hauptnenner multiplizieren so dass du nachher [mm] $\hat{R}(Y) [/mm] = [mm] \hat{u}(X, [/mm] Y) f(X, Y) + [mm] \hat{v}(X, [/mm] Y) g(X, Y)$ mit Polynomen [mm] $\hat{R}, \hat{u}, \hay{v}$. [/mm] Dann kannst du wie oben verfahren.
LG Felix
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