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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Gleichungssysteme
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Gleichungssysteme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Mo 19.09.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3 (im zweiten Teil
in Abhängigkeit von λ ∈ R):


Gegebene Werte  :
[mm] E_{1} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\} [/mm]
[mm] E_{2} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} + x_{2} -3 Ax_{3} = -13\right\} [/mm]
[mm] E_{3} [/mm] = [mm] \left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} -x_{2} + x_{3} = -1\right\} [/mm]

Daraus Ergibt sich  das  GLS
[mm] \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 &| 4\\ 1 & \lambda & -3 & | -13 \\ 1 & -1 & 1 & | -1 \end{pmatrix} [/mm]

Erste Spalte durch 2

[mm] \begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 1 & \lambda & -3 & | -13 \\ 1 & -1 & 1 & | -1 \end{pmatrix} [/mm]

II=II - I
III=III - I

III=III  -I

III       = >   1   -1   1   -1  
         -
I        = >   1   -3/2  2   2  
      III  =    0   1/2   -1  -3  


II=II - I

II       = >   1   [mm] \lambda [/mm]          -3   -13  
         -
I         = >   1   -3/2              2    2  
      II  =     0   [mm] (\lambda [/mm] + 3/2)   -5   -15  



[mm] \begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2)) & -5 & | -15 \\ 0 & 1/2 & -1 & | -3 \end{pmatrix} [/mm]

Letzte  Zeile mit 2 Multipliziert
[mm] \begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2)) & -5 & | -15 \\ 0 & 1 & -2 & | -6 \end{pmatrix} [/mm]



III = [mm] ((\lambda+3/2)\cdot [/mm] III)-II

[mm] ((\lambda+3/2)\cdot [/mm] III)       = >   0   [mm] (\lambda+3/2) (-2\lambda-3) (-6\lambda-9) [/mm]  
                             -
II                         = >   0   [mm] (\lambda+3/2) [/mm]         -5              -15  
                       III  =    0   0                 [mm] (-2\lambda+2) (-6\lambda+4) [/mm]  



[mm] \begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2) & -5 & | -15 \\ 0 & 0 & (\lambda+2) & | (\lambda+4) \end{pmatrix} [/mm]


Auflösung :
[mm] (-2\labda) [/mm] = [mm] (-6\lambda+4) [/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 1/2
Daraus folgt dass GLS ist lösbar  wenn [mm] \lambda [/mm] = 1/2
Um das GLS weiter lösen zukönnn habe ich [mm] \lambda [/mm] = [mm] x_3 [/mm] gewählt

[mm] (1/2+3/2)x_{2} [/mm] -5 [mm] x_{3} [/mm] = -15
[mm] x_{2} [/mm] = -25

[mm] x_{1} [/mm] = 77/2

Mit sicherheit sind da sehr viele Rechenfehler die ich nicht bemerke.
Möchte aber gerne wissen ob der Rechenweg allgemein richtig ist oder föllig falsch ist ?

        
Bezug
Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Mo 19.09.2016
Autor: schachuzipus

Hallo Jura,


> Berechnen Sie den Durchschnitt folgender drei Ebenen im R3
> (im zweiten Teil
> in Abhängigkeit von λ ∈ R):

>

> Gegebene Werte :
> [mm]E_{1}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| 2x_{1} - 3x_{2} + 4x_{3} = 4\right\}[/mm]

>

> [mm]E_{2}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} + x_{2} -3 Ax_{3} = -13\right\}[/mm]

>

> [mm]E_{3}[/mm] = [mm]\left\{ \vec{x} \in \mathbb R ^{3}| x_{1} -x_{2} + x_{3} = -1\right\}[/mm]

>

> Daraus Ergibt sich das GLS
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 &| 4\\ 1 & \lambda & -3 & | -13 \\ 1 & -1 & 1 & | -1 \end{pmatrix}[/mm]

Die zweite Zeile passt nicht zu der von dir angegebenen Ebene [mm]E_2[/mm] ..

Ich nehme an, du hast dich ganz oben bei [mm]E_2[/mm] verschrieben ...

>

> Erste Spalte durch 2

Das würde ich nicht machen, da so Brüche entstehen.

Ich würde die Zeilen 2 und 3 jeweils mit [mm]-2[/mm] multilpizieren und dann die 1.Zeile auf die 2.Zeile und die 1.Zeile auf die 3.Zeile addieren ...

>

> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 1 & \lambda & -3 & | -13 \\ 1 & -1 & 1 & | -1 \end{pmatrix}[/mm]

>

> II=II - I
> III=III - I

>

> III=III -I

>

> III = > 1 -1 1 -1
> -
> I = > 1 -3/2 2 2
> III = 0 1/2 -1 -3

>
>

> II=II - I

>

> II = > 1 [mm]\lambda[/mm] -3 -13
> -
> I = > 1 -3/2 2 2
> II = 0 [mm](\lambda[/mm] + 3/2) -5 -15

>
>
>

> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2)) & -5 & | -15 \\ 0 & 1/2 & -1 & | -3 \end{pmatrix}[/mm]

Das ist kaum nachzuvollziehen ....

>

> Letzte Zeile mit 2 Multipliziert
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2)) & -5 & | -15 \\ 0 & 1 & -2 & | -6 \end{pmatrix}[/mm]

>
>
>

> III = [mm]((\lambda+3/2)\cdot[/mm] III)-II

>

> [mm]((\lambda+3/2)\cdot[/mm] III) = > 0 [mm](\lambda+3/2) (-2\lambda-3) (-6\lambda-9)[/mm]

>

> -
> II = > 0 [mm](\lambda+3/2)[/mm]
> -5 -15
> III = 0 0 [mm](-2\lambda+2) (-6\lambda+4)[/mm]

>
>
>
>

> [mm]\begin{pmatrix} 1 & -3/2 & 2 &| 2\\ 0 & (\lambda+3/2) & -5 & | -15 \\ 0 & 0 & (\lambda+2) & | (\lambda+4) \end{pmatrix}[/mm]

>
>

> Auflösung :
> [mm](-2\labda)[/mm] = [mm](-6\lambda+4)[/mm]
> [mm]\lambda[/mm] = 1/2
> Daraus folgt dass GLS ist lösbar wenn [mm]\lambda[/mm] = 1/2

Ich komme auf Lösbarkeit für [mm]\lambda\neq 1[/mm]

> Um das GLS weiter lösen zukönnn habe ich [mm]\lambda[/mm] = [mm]x_3[/mm]
> gewählt

>

> [mm](1/2+3/2)x_{2}[/mm] -5 [mm]x_{3}[/mm] = -15
> [mm]x_{2}[/mm] = -25

>

> [mm]x_{1}[/mm] = 77/2

>

> Mit sicherheit sind da sehr viele Rechenfehler die ich
> nicht bemerke.
> Möchte aber gerne wissen ob der Rechenweg allgemein
> richtig ist oder föllig falsch ist ?

Der Weg ist sicher richtig, aber der Aufschrieb der Rechnung ist nur mit extremem Aufwand nachvollziehbar.

Wenn ich wie oben beschrieben rechne, komme ich nach dem ersten Schritt auf

[mm]\pmat{2&-3&4&\mid&4\\0&-2\lambda-3&10&\mid&30\\0&-1&2&\mid&6}[/mm]

Hmm, wird in der Vorschau leider nicht angezeigt. Hoffe, ich habe richtig eingetippt ...

Nun die letzte Zeile mit [mm](-2\lambda-3)[/mm] multiplizieren und die 2.Zeile draufaddieren ...

Gibt:

[mm]\pmat{2&-3&4&\mid&4\\0&-2\lambda-3&10&\mid&30\\0&0&-4(\lambda-1)&\mid&-2(6\lambda+7)}[/mm]

Hier sieht man nun Lösbarkeit für [mm]\lambda\neq 1[/mm]

Du kannst ja mal hier weiter machen ...

Grüße

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Gleichungssysteme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 22.09.2016
Autor: Jura86

Ich habe mit deiner Matrix weiter gemacht.
also -4 [mm] (\lambda-1) [/mm] = [mm] -2(6\lambda+7) [/mm] gerechnet und habe für [mm] \lambda [/mm]  -3/2 raus. Wenn ich das in die zweite Zeile einsetze, bekomme ich 0 = 30 raus..

Was soll das denn jetzt ? :-) habe ich wieder was falsch gemacht ?

Danach habe ich weiter gerechnet..
folgendes kam dabei raus..

X1 = 99/5
X2 = 34/3
X3 = -2/5

Die Ergebnisse sind aber nicht ganz richtig befürchte ich !!

Sind das jetzt die Punkte die gesucht sind ( Wenn die richtig sind)
" Durchschnitt der 3 Ebenen" wenn [mm] \lambda [/mm] -2/5 ist. ?



Bezug
                        
Bezug
Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 22.09.2016
Autor: leduart

Hallo
die letzte Zeile kannst du doch nicht nach [mm] \lambda [/mm] auflösen? sondern nach [mm] x_4! [/mm]
lambda beliebig, ungleich 0, ist nun deine Matrix oder deine ebenen richtig?
warum sagst du dazu nichts?
in einer Matrix zu einem GS kannst du nie eine Spalte durch etwas dividieren, bzw dann musst du es mit Spalten tun. Dagegen kannst du Zeilen durch eine Zahl dividieren oder mit einer Zahl multiplizieren.
du kannst ja eine Gleichung 2x1+3x2 +...=4 nicht zu
[mm] x_1+3x2+..=4 [/mm] umformen.
Gruß ledum

Bezug
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