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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Sa 12.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Guten Abend.Ich hab an einer Aufgabe festgefahren:
Aufgabe:
Wir betrachten für [mm] n\ge2 [/mm] die Marix
[mm] A_n=\pmat{ 1 & 2 &...&n\\ 3 & 4 &...&(n+1)\\...\\n&...&...&(2n-1)} \in {\IR}^{n}.
[/mm]
Untersuchen Sie, für welche b [mm] \in IR^{n} [/mm] die Gleichung [mm] A_n [/mm] x=b lösbar ist.Für welche n [mm] \in \IN [/mm] kann b beliebig gewählt werden?.Wann ist die Lösung eindeutig?
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Mein Ansatz:
[mm] 1x_1+2x_2+... nx_n=b_1
[/mm]
[mm] 2x_1+2x_2+...(n+1)x_n=b_2
[/mm]
.
.
.
[mm] nx_1+....... +(2n-1)x_n=b_n
[/mm]
Nebenrechnung:
n=2
[mm] (i)1x_1+2x_2=b_1 [/mm] | (i)*2-(i)
[mm] (ii)2x_1+2x_2=b_1 [/mm]
[mm] 1x_1+2x_2=b_1
[/mm]
[mm] 0x_1+2x_2=2b_1-b_2
[/mm]
[mm] =>x_1=b_1-b_2
[/mm]
=> Es existiert ein Lösung für alle b [mm] \in \IR
[/mm]
ich brauch Hilfe mein ansatz ist auch für die Katz
Danke vorweg
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Sa 12.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend.Ich hab an einer Aufgabe festgefahren:
> Aufgabe:
> Wir betrachten für [mm]n\ge2[/mm] die Marix
> [mm]A_n=\pmat{ 1 & 2 &...&n\\ 3 & 4 &...&(n+1)\\...\\n&...&...&(2n-1)} \in {\IR}^{n}.[/mm]
Hallo,
hier stimmt was nicht. Müsste die zweite Zeile nicht mit
2 3 ... beginnen?
Viele Grüße
Abakus
>
> Untersuchen Sie, für welche b [mm]\in IR^{n}[/mm] die Gleichung [mm]A_n[/mm]
> x=b lösbar ist.Für welche n [mm]\in \IN[/mm] kann b beliebig gewählt
> werden?.Wann ist die Lösung eindeutig?
>
> Mein Ansatz:
>
> [mm]1x_1+2x_2+... nx_n=b_1[/mm]
> [mm]2x_1+2x_2+...(n+1)x_n=b_2[/mm]
> .
> .
> .
> [mm]nx_1+....... +(2n-1)x_n=b_n[/mm]
>
> Nebenrechnung:
> n=2
> [mm](i)1x_1+2x_2=b_1[/mm] | (i)*2-(i)
> [mm](ii)2x_1+2x_2=b_1[/mm]
>
> [mm]1x_1+2x_2=b_1[/mm]
> [mm]0x_1+2x_2=2b_1-b_2[/mm]
> [mm]=>x_1=b_1-b_2[/mm]
> => Es existiert ein Lösung für alle b [mm]\in \IR[/mm]
>
> ich brauch Hilfe mein ansatz ist auch für die Katz
>
> Danke vorweg
>
> matheja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Sa 12.04.2008 | | Autor: | matheja |
> Hallo,
> hier stimmt was nicht. Müsste die zweite Zeile nicht mit
> 2 3 ... beginnen?
> Viele Grüße
> Abakus
ja entschuldige:
[mm] A_n=$ A_n=\pmat{ 1 & 2 &...&n\\ 2 & 3 &...&(n+1)\\...\\n&...&...&(2n-1)} \in {\IR}^{n}. [/mm] $
Bin ziemlich ratlos wie die Aufgabe lösen kann
Danke schonmal
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Hallo matheja,
> > Hallo,
> > hier stimmt was nicht. Müsste die zweite Zeile nicht
> mit
> > 2 3 ... beginnen?
> > Viele Grüße
> > Abakus
> ja entschuldige:
> [mm]A_n=[/mm] [mm]A_n=\pmat{ 1 & 2 &...&n\\ 2 & 3 &...&(n+1)\\...\\n&...&...&(2n-1)} \in {\IR}^{n}.[/mm]
>
> Bin ziemlich ratlos wie die Aufgabe lösen kann
Subtrahiere von der i. Gleichung die 1. Gleichung [mm]\left(1 < i \le n\right)[/mm].
Damit kommst Du bestimmt weiter.
>
> Danke schonmal
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Sa 12.04.2008 | | Autor: | matheja |
> Subtrahiere von der i. Gleichung die 1. Gleichung [mm]\left(1 < i \le n\right)[/mm].
>
> Damit kommst Du bestimmt weiter.
> Gruß
> MathePower
[mm] \left(1 < i \le n\right)
[/mm]
[mm] 1x_1+2x_2+...+nx_n=b_1
[/mm]
[mm] 2x_1+3x_2+...+(n+1)x_n=b_2
[/mm]
...
...
[mm] ix_1+2i.x_2+...+(2i-1)x_i=b_i
[/mm]
multipliziere 1.zeile mit i subtrahiere 1.Zeile mit i.Zeile:
[mm] 1x_1+2x_2+...+ix_i=b_1
[/mm]
[mm] 2x_1+3x_2+...+(i+1)x_i=b_2
[/mm]
...
...
[mm] 0+0+...+2ix_i-(2i-1)x_i=b_i =>x_i=b_i
[/mm]
Ich glaub, dass ich aufn Schlauch.Irgendwie fehlt mir zur Zeit der Überblick
Danke
matheja
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Hallo Matheja,
> > Subtrahiere von der i. Gleichung die 1. Gleichung [mm]\left(1 < i \le n\right)[/mm].
>
> >
> > Damit kommst Du bestimmt weiter.
> > Gruß
> > MathePower
> [mm]\left(1 < i \le n\right)[/mm]
> [mm]1x_1+2x_2+...+nx_n=b_1[/mm]
> [mm]2x_1+3x_2+...+(n+1)x_n=b_2[/mm]
> ...
> ...
> [mm]ix_1+2i.x_2+...+(2i-1)x_i=b_i[/mm]
>
> multipliziere 1.zeile mit i subtrahiere 1.Zeile mit
> i.Zeile:
> [mm]1x_1+2x_2+...+ix_i=b_1[/mm]
> [mm]2x_1+3x_2+...+(i+1)x_i=b_2[/mm]
> ...
> ...
> [mm]0+0+...+2ix_i-(2i-1)x_i=b_i =>x_i=b_i[/mm]
> Ich glaub, dass ich
> aufn Schlauch.Irgendwie fehlt mir zur Zeit der Überblick
Gleichung 1: [mm]1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}=b_{1}[/mm]
Gleichung 2: [mm]2*x_{1}+3*x_{2}+ \ \dots \ + n*x_{n-1}+\left(n+1\right)*x_{n}=b_{2}[/mm]
Gleichung 3: [mm]3*x_{1}+4*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n+1\right)*x_{n-1}+\left(n+2\right)*x_{n}=b_{3}[/mm]
Gleichung 2 - Gleichung 1:
[mm]2*x_{1}+3*x_{2}+ \ \dots \ + n*x_{n-1}+\left(n+1\right)*x_{n}-\left(1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}\right)=b_{2}-b_{1}[/mm]
[mm]\gdw \left(2-1\right)*x_{1}+\left(3-2\right)*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-\left(n-1\right)\right)*x_{n-1}+\left(\left(n+1\right)-n\right)*x_{n} = b_{2}-b{1}[/mm]
[mm]\gdw 1*x_{1}+1*x_{2}+ \ \dots \ + 1*x_{n-1}+1*x_{n} = b_{2}-b{1}[/mm]
Gleichung 3 - Gleichung 1:
[mm]3*x_{1}+4*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n+1\right)*x_{n-1}+\left(n+2\right)*x_{n}-\left(1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}\right)=b_{3}-b_{1}[/mm]
[mm]\gdw \left(2-1\right)*x_{1}+\left(4-2\right)*x_{2}+ \ \dots \ + \left(\left(n+1\right)-\left(n-1\right)\right)*x_{n-1}+\left(\left(n+2\right)-n\right)*x_{n} = b_{3}-b{1}[/mm]
[mm]\gdw 2*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + 2*x_{n-1}+2*x_{n} = b_{3}-b{1}[/mm]
> Danke
>
> matheja
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 13.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Erst mal vielen Dank Mathepower für deine Bemühungen mir die Lösung dieser Aufgabe näher zu bringen.
Aber leider versteh ich -und ich ärger mich wirklich sehr darüber-nicht wirklich was mir dein Ansatz bringen soll.
Gesucht ist doch:
1.Für welche b [mm] \in {\IR}^{n} [/mm] die Gleichung lösbar [mm] A_n*x=b [/mm] lösbar ist?
2.Für welche n [mm] \in \IN [/mm] kann b beliebig gewählt werden?
3.Wann ist die Gleichung eindeutig?
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> Gleichung 1: [mm]1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}=b_{1}[/mm]
>
> Gleichung 2: [mm]2*x_{1}+3*x_{2}+ \ \dots \ + n*x_{n-1}+\left(n+1\right)*x_{n}=b_{2}[/mm]
>
> Gleichung 3: [mm]3*x_{1}+4*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n+1\right)*x_{n-1}+\left(n+2\right)*x_{n}=b_{3}[/mm]
>
>
> Gleichung 2 - Gleichung 1:
>
> [mm]2*x_{1}+3*x_{2}+ \ \dots \ + n*x_{n-1}+\left(n+1\right)*x_{n}-\left(1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}\right)=b_{2}-b_{1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(2-1\right)*x_{1}+\left(3-2\right)*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-\left(n-1\right)\right)*x_{n-1}+\left(\left(n+1\right)-n\right)*x_{n} = b_{2}-b{1}[/mm]
>
> [mm]\gdw 1*x_{1}+1*x_{2}+ \ \dots \ + 1*x_{n-1}+1*x_{n} = b_{2}-b{1}[/mm]
>
> Gleichung 3 - Gleichung 1:
>
> [mm]3*x_{1}+4*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n+1\right)*x_{n-1}+\left(n+2\right)*x_{n}-\left(1*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + \left(n-1\right)*x_{n-1}+n*x_{n}\right)=b_{3}-b_{1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \left(2-1\right)*x_{1}+\left(4-2\right)*x_{2}+ \ \dots \ + \left(\left(n+1\right)-\left(n-1\right)\right)*x_{n-1}+\left(\left(n+2\right)-n\right)*x_{n} = b_{3}-b{1}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*x_{1}+2*x_{2}+ \ \dots \ + 2*x_{n-1}+2*x_{n} = b_{3}-b{1}[/mm]
>
> > Danke
> >
> > matheja
>
> Gruß
> MathePower
Ich weiß,dass ich mich blöd anstelle, aber besser fragen und dann verstehen als dumm sterben
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Hallo matheja,
> Erst mal vielen Dank Mathepower für deine Bemühungen mir
> die Lösung dieser Aufgabe näher zu bringen.
> Aber leider versteh ich -und ich ärger mich wirklich sehr
> darüber-nicht wirklich was mir dein Ansatz bringen soll.
> Gesucht ist doch:
> 1.Für welche b [mm]\in {\IR}^{n}[/mm] die Gleichung lösbar [mm]A_n*x=b[/mm]
> lösbar ist?
> 2.Für welche n [mm]\in \IN[/mm] kann b beliebig gewählt werden?
> 3.Wann ist die Gleichung eindeutig?
Ich will damit sagen, daß
(Gleichung (3) - Gleichung (1)) ein Vielfaches von (Gleichung(2) - Gleichung (1)) ist. Das gilt allgemein:
(Gleichung (k) - Gleichung(1)) ist ein Vielfaches von ((Gleichung(2) - Gleichung(1)) [mm]\left(1 < k \le n\right)[/mm]
Daraus ergeben sich dann Bedingungen an die [mm]b_{k}[/mm]
Damit kannst Du auch entscheiden, wann die Gleichung [mm]A_{n}x=b[/mm] lösbar ist.
>
> Ich weiß,dass ich mich blöd anstelle, aber besser fragen
> und dann verstehen als dumm sterben
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 13.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Danke Mathepower.Ich hab jetzt allles nochmal nachgerechnet. |
Gleichung [mm] 1:1x_1+2x_2+...+(n-1)x_n+nx_n=b_1
[/mm]
Gleichung [mm] 2:2x_1+3x_2+...+nx_n+(n+1)x_n=b_2
[/mm]
Gleichung [mm] 3:3x_1+4x_2+...+(n+1)x_n+(n+2)x_n=b_3
[/mm]
...
Gleichung 2-Gleichung [mm] 1=1x_1+1x_1+...+1x_n-1+1x_n=b_2-b_1
[/mm]
Gleichung 3-Gleichung [mm] 1=2x_1+2x_1+...+2x_n-1+2x_n=b_3-b_1
[/mm]
Gleichung 4-Gleichung [mm] 1=3x_1+3x_1+...+3x_n-1+3x_n=b_4-b_1
[/mm]
Gleichung k-Gleichung [mm] 1=(k-1)x_1+(k-1)x_1+...+(k-1)x_n-1+(k-1)x_n=b_k-b_1
[/mm]
Frage:
1:Für welche b [mm] \in {\IR}^{n} [/mm] ist die Gleichung A_nx=b lösbar?
2:Für welche n [mm] \in \IN [/mm] kann b beliebig gewählt werden?
3:Wann ist die Lösung eindeutig
Ich hab in der Litetaur foldendes gefunden:
Das LGS ist genau dann lösbar, wenn b eine Linearkombination der Splaten von A ist,wenn also rg A=rg(A,b) gilt.
Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rg A=rg (A.b)=n gilt.
Jetzt frage ich mich ist der rg A=rg(A,b) und ist rg A=rg (A,b)=n
Hab mir einfache Beispiele angeguckt bei denen ich das versatnden habe,aber diese Aufgabe schafft mich .
...
> Ich will damit sagen, daß
>
> (Gleichung (3) - Gleichung (1)) ein Vielfaches von
> (Gleichung(2) - Gleichung (1)) ist. Das gilt allgemein:
>
> (Gleichung (k) - Gleichung(1)) ist ein Vielfaches von
> ((Gleichung(2) - Gleichung(1)) [mm]\left(1 < k \le n\right)[/mm]
>
> Daraus ergeben sich dann Bedingungen an die [mm]b_{k}[/mm]
>
> Damit kannst Du auch entscheiden, wann die Gleichung
> [mm]A_{n}x=b[/mm] lösbar ist.
>
> Gruß
> MathePower
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Hallo matheja,
> Danke Mathepower.Ich hab jetzt allles nochmal
> nachgerechnet.
> Gleichung [mm]1:1x_1+2x_2+...+(n-1)x_n+nx_n=b_1[/mm]
> Gleichung [mm]2:2x_1+3x_2+...+nx_n+(n+1)x_n=b_2[/mm]
> Gleichung [mm]3:3x_1+4x_2+...+(n+1)x_n+(n+2)x_n=b_3[/mm]
> ...
> Gleichung 2-Gleichung [mm]1=1x_1+1x_1+...+1x_n-1+1x_n=b_2-b_1[/mm]
> Gleichung 3-Gleichung [mm]1=2x_1+2x_1+...+2x_n-1+2x_n=b_3-b_1[/mm]
> Gleichung 4-Gleichung [mm]1=3x_1+3x_1+...+3x_n-1+3x_n=b_4-b_1[/mm]
> Gleichung k-Gleichung
> [mm]1=(k-1)x_1+(k-1)x_1+...+(k-1)x_n-1+(k-1)x_n=b_k-b_1[/mm]
Da hast Du Dich leicht verschrieben:
Gleichung 2-Gleichung 1: [mm]1x_1+1x_2+...+1x_{n-1}+1x_n=b_2-b_1[/mm]
Gleichung 3-Gleichung 1: [mm]2x_1+2x_2+...+2x_{n-1}+2x_n=b_3-b_1[/mm]
Gleichung 4-Gleichung 1: [mm]3x_1+3x_2+...+3x_{n-1}+3x_n=b_4-b_1[/mm]
Gleichung k-Gleichung 1: [mm]=(k-1)x_1+(k-1)x_2+...+(k-1)x_{n-1}+(k-1)x_n=b_k-b_1[/mm]
>
> Frage:
> 1:Für welche b [mm]\in {\IR}^{n}[/mm] ist die Gleichung A_nx=b
> lösbar?
> 2:Für welche n [mm]\in \IN[/mm] kann b beliebig gewählt werden?
> 3:Wann ist die Lösung eindeutig
> Ich hab in der Litetaur foldendes gefunden:
> Das LGS ist genau dann lösbar, wenn b eine
> Linearkombination der Splaten von A ist,wenn also rg
> A=rg(A,b) gilt.
> Das LGS ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rg A=rg
> (A.b)=n gilt.
> Jetzt frage ich mich ist der rg A=rg(A,b) und ist rg A=rg
> (A,b)=n
> Hab mir einfache Beispiele angeguckt bei denen ich das
> versatnden habe,aber diese Aufgabe schafft mich .
Da wir nun obige Gleichungen haben können wir das zusammenfassen:
Gleichung 1: [mm]1x_1+2x_2+...+(n-1)x_n+nx_n=b_1[/mm]
Gleichung 2a:[mm]1x_1+1x_1+...+1x_n-1+1x_n=b_2-b_1[/mm]
Und den Bedingungen [mm]b_{k}-b_{1}=\left(k-1\right)*\left(b_{2}-b_{1}\right)[/mm]
[mm]\gdw b_{k}=\left(k-1\right)*b_{2}-\left(k-2\right)*b_{1}, \ 2
Das Gleichungsystem ist unter obigen Bedingungen lösbar.
Offensichtlich kann man hier nur [mm]b_{1}[/mm] und [mm]b_{2}[/mm] frei wählen.
Daraus ergibt sich dann, daß für n=1 und n=2 b beliebig gewählt werden kann.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 13.04.2008 | | Autor: | matheja |
Ein fettes DANKESCHÖN für deine Geduld und Mühe Mathepower.Ich denk, dass ich das ohne deine Hilfe überhaupt nicht auf die Reihe gekriegt hätte.
Deswegen nochmals Danke :)
Gruß
matheja
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