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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Fr 09.06.2006 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | Aus dem Inneren eines Würfels werde zufällig der Pkt (x,y,z) gewählt
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Koordinaten übereinstimmen
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Koordinaten x, y, z monoton wachsend sind |
Hallo,
ich habe die obige Aufgabe bearbeitet und bitte darum, dass jemand meine Lösung überprüfen kann.
Wir haben also o.B.d.A. das ZE [mm] ([0,1]^3, \IB^3, [/mm] P), wobei P eine Gleichvertlg. auf [mm] [0,1]^3 [/mm] ist.
a) sei A das gesucht Ereignis => A= {(x,y,z) [mm] \in [0,1]^3 [/mm] |x=y [mm] \vee [/mm] x=z [mm] \vee [/mm] y=z} ={[0,1] [mm] \times[x,x]\times[0,1] [/mm] } [mm] \cup{[0,1] \times[0,1]\times[x,x] } \cup{[0,1]\times[0,1]\times[y,y] } [/mm]
Es gilt nun P(A)= [mm] \bruch{\lambda^3(A)}{\lambda^3([0,1]^3)}=\bruch{\lambda^3(A)}{1}=\lambda^3(A)
[/mm]
[mm] =\lambda^3({[0,1]\times[x,x]\times[0,1] } \cup{[0,1]\times[0,1]\times [x,x] } \cup{[0,1]\times[0,1]\times[y,y] } [/mm] )=1*0*1+1*1*0+1*1*0=0
b) B={(x,y,z) [mm] \in [0,1]^3|x\ley\lez} [/mm] = [mm] [0,1]\times[x,1]\times[y,1]
[/mm]
[mm] P(B)=\lambda^3(B)= \lambda^3([0,1]\times[x,1]\times[y,1]) [/mm] = 1*(-x)*(-y)=xy
Beide Ergebnisse scheinen mir jedoch etwas seltsam.
Es wäre schön, wenn sich jemand finden würde, der meine Ergebnisse kommentiert.
Die Frage wurde in keinen anderen Internetforum von mir gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Christoph,
also hier meine Meinung dazu, aber natürlich ohne Gewähr.
Bei der a) scheint mir alles in Ordung zu sein. Dass die W'keit Null ist, halte ich für sinnvoll, da es ja eine stetige Verteilung ist und demzufolge die W'keit das bestimmte Punkte (die ja bezügl. des Masses Nullmengen sind) angenommen werden Null ist.
Bei der b) steckt meiner Meinung nach ein Fehler drin:
Fall z.B. x=0 ist, ist bereits P(B)=0, aber das kann ja nicht richtig sein.Der Fehler ist, weil du [mm] \lambda([x,1])=-x [/mm] (analog auch y) hast, aber ich denke es sollte richtig
[mm] \lambda([x,1])=1-x [/mm] heissen.
Dann ergibt sich
[mm] P(B)=\lambda^3(B)= \lambda^3([0,1]\times[x,1]\times[y,1])=1*(1-x)*(1-y)=1-y-x+xy
[/mm]
Aber wie gesagt, ohne Gewähr 
L G walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 11.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Zu a) ist im wesentlichen alles gesagt.
Bei b) muss eine Zahl herauskommen, die kann nicht noch von $x,y$ abhängen!!!
Es liegt eine gleichmäßig stetige Verteilung im Würfel vor, d.h., mit Dichte 1 dort. Es folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
$$P(X<Y<Z) = [mm] \int\limits_0^1 [/mm] ~ [mm] \int\limits_x^1 [/mm] ~ [mm] \int\limits_y^1 [/mm] ~ f(x,y,z) ~ [mm] \mathrm{d}z [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}y [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 [/mm] ~ [mm] \int\limits_x^1 [/mm] ~ [mm] \int\limits_y^1 [/mm] ~ 1 ~ [mm] \mathrm{d}z [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}y [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}x$$
[/mm]
Und das sollte ausrechenbar sein.
Alternativ kann man sich auch elementargeometrisch überlegen, was das für ein Körper innerhalb des Einheitswürfels ist, über den da integriert wird.
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