Gleichverteilung [0,1] < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:44 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ecko |
Also Sei U eine zufällige Größe, gleichverteilt auf [0,1]
Nun suchen wir die Verteilungsfunktion und die Dichte für die zufällige Größe Z, mit:
Z := [mm] \bruch{U}{1+U}
[/mm]
Ich habe eine ähnliche Aufgabe gelöst, bei dieser war Z=U²
Ich habe dann einfach aus dem t ein [mm] \wurzel[]{t} [/mm] gemacht und einfach
[mm] \IP(Z\le\wurzel[]{t})
[/mm]
berechnet, da ich aus U² die wurzel ziehen musste, wie funtioniert das in meinem Fall?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ecko |
Ich hab jetzt mal ne Idee, könnt ja mal sagen obs richtig ist:
[mm] \IP(U\le [/mm] t) [mm] =\begin{cases} t, & \mbox{für } t\in[0,1] \\ 0, & \mbox{für } t\le 0\\1, & \mbox{für } t> 1 \end{cases} [/mm]
Nun Sei [mm] F(t)=\IP(Z\le t)=\IP(\bruch{U}{1+U}\le t)=\IP(U\le \bruch{t}{1-t})=\begin{cases} \bruch{t}{1-t}, & \mbox{für } t\in[0,1] \\ 0, & \mbox{für } t\le 0\\1, & \mbox{für } t> 1 \end{cases}
[/mm]
Also hat mein Z eine Verteilungsdichte von:
[mm] F'(t)=\begin{cases} \bruch{1}{(t-1)²}, & \mbox{für } t\in[0,1] \\ 0, & \mbox{für } t\not\in[0,1] \end{cases}
[/mm]
Jetzt lässt sich mein Ertwartungswert so errechnen:
EZ = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{t*F'(t) dt}=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*\bruch{1}{(t-1)²} dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{t}{(t-1)²} dt}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Kann mir jemand sagen, wie ich das Integral löse, hab schon alles probiert, komm hier nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 22.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Also hat mein Z eine Verteilungsdichte von:
> [mm]F'(t)=\begin{cases} \bruch{1}{(t-1)²}, & \mbox{für } t\in[0,1] \\ 0, & \mbox{für } t\not\in[0,1] \end{cases}[/mm]
Fast. Du musst bedenken, dass gilt [mm] $0\le u/(1+u)\le1/2$.
[/mm]
>
> Jetzt lässt sich mein Ertwartungswert so errechnen:
> EZ = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{t*F'(t) dt}=\integral_{-\infty}^{\infty}{t*\bruch{1}{(t-1)²} dt}=\integral_{0}^{1}{\bruch{t}{(t-1)²} dt}[/mm]
[mm] $\int\bruch{t}{(t-1)²} dt=\frac{1}{1-t}+\ln(t-1)$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Mi 22.04.2009 | | Autor: | ecko |
Kannst du mir erklären wie du drauf kommst das mein t jetzt kleiner sein muss als 1/2 ?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mi 22.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Kannst du mir erklären wie du drauf kommst das mein t jetzt
> kleiner sein muss als 1/2 ?????
[mm] $u/(1+u)\le 1/2\iff 2u\le 1+u\iff u\le [/mm] 1$.
vg Luis
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