Glm Konvergenz Problem < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:21 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten (pw u glm) von
[mm] \bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4 +1} [/mm] |
Hallo alle zusammen. Ich verliere nicht zu viel Zeit auf der pw Konvergenz, diese ist mir klar:
pw konvergenz [mm] \in \IR [/mm] mit f(x)=1
glm. Konvergenz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup{|\rho (x)|} [/mm] = 0 für glm konv. wobei [mm] \rho [/mm] (x)= [mm] \bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4 +1}
[/mm]
Ableiten von [mm] \rho [/mm] und = 0 setzen ergibt:
[mm] \bruch{8*x*(x+n)^3}{((x+n)^4 +1)^2} [/mm] = 0
Finden der Nullstellen:
x=0
x=-n
x=n
Gut, jetzt stehe ich vor einem Rätsel. Bei allen Übungen die ich gemacht habe, habe ich immer nur 1 Punkt herausbekommen. Jetzt sind es plötzlich 3.. Was soll ich jetzt machen.
Ich habe mal versucht die 2. Ableitung zu bilden, da mir aus der Definition heraus am logischten erschienen ist, dass es sich bei einem Punkt ums Max handeln muss.
Die 2. Ableitung mit eingesetzten x - Werten ergab für mich folgendes:
x= 0 -> MAX da [mm] \bruch{-8*n^6}{(n^8+1)^2} [/mm] < 0
x= [mm] \pm [/mm] n -> 0 somit dürfte es ein Sattelpunkt sein
Gut, ich setze nun in mein sup ein:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5*(x+n)^4+3}{(x+n)^4 +1} [/mm] -1
mit x= 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{n^8+1} [/mm] = 0
Dass eine 0 herauskommt beruhigt in erster Sekunde zwar, aber eingeschlagener Weg ist leider falsch laut Lösung. Was mache ich falsch?
Danke
lg
Zuggel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ist die Aufgabe richtig gestellt? Also die Folge in der Reihe da konvergiert punktweise gegen 5. Die Reihe selber aber divergiert ja dann (ich addiere für große n immer ca. [mm] $f(x)\equiv [/mm] 5$ hinzu).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Ich entschuldige mich, ich hatte auf dem Zettel 2 Übungen stehen und habe versehentlich die Angaben der ersten abgetippt. Die Ableitung war eigentlich mein Hauptaugenmerk die ich nochmals nachkontrolliert habe, die stimmt.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4 +1}
[/mm]
Das ist natürlich die richtige Folge!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Kein Ding. :)
Also: Die Folge [mm] f_n(x) [/mm] unter der Summe konvergiert punktweise gegen 1, ja. Gleichmäßig nicht, weil z.B. [mm] f_n(n)=0 [/mm] ist immer. Daher kann man kein N angeben, ab dem jetzt [mm] ||f_n(x)-1||<\varepsilon \forall [/mm] x [mm] \in \IR, \forall [/mm] n>N sein wird (eben wegen [mm] ||f_n(n)-1||=||-1||=1).
[/mm]
Die eigentliche Reihe divergiert auch, weil man unendlich oft eine Funktion addiert, die aber ca. wie [mm] $f(x)\equiv [/mm] 1$ aussieht. Soll das Summenzeichen wirklich da stehen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
> Kein Ding. :)
>
> Also: Die Folge [mm]f_n(x)[/mm] unter der Summe konvergiert
> punktweise gegen 1, ja. Gleichmäßig nicht, weil z.B.
> [mm]f_n(n)=0[/mm] ist immer. Daher kann man kein N angeben, ab dem
> jetzt [mm]||f_n(x)-1||<\varepsilon \forall[/mm] x [mm]\in \IR, \forall[/mm]
> n>N sein wird (eben wegen [mm]||f_n(n)-1||=||-1||=1).[/mm]
>
> Die eigentliche Reihe divergiert auch, weil man unendlich
> oft eine Funktion addiert, die aber ca. wie [mm]f(x)\equiv 1[/mm]
> aussieht. Soll das Summenzeichen wirklich da stehen?
>
>
Was würde es denn ändern, wenn da kein Summenzeichen stehen würde? Die Lösung jedenfalls sieht folgendermaßen aus:
fn -> gl. gegen f in einem Intervall [-a,a] mit a>0
V1: Mir fällt gerade auf, dass ich bei der eigentlichen Rechnung, also beim [mm] \rho [/mm] das Summenzeichen weggelassen habe. Also wird es wohl kein Summenzeichen sein, ich schreibe hier noch einmal richtig den Fragetext, sonst endet das in einem Chaos:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup{|\rho (x)|} [/mm] = 0 für glm konv. wobei [mm] \rho [/mm] (x)= [mm] \bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4 +1}
[/mm]
Ableiten von [mm] \rho [/mm] und = 0 setzen ergibt:
[mm] \bruch{8*x*(x+n)^3}{((x+n)^4 +1)^2} [/mm] = 0
Finden der Nullstellen:
x=0
x=-n
x=n
Für glm Konvergenz muss ja: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup{|f_n(x)-f(x)|}=0 [/mm] sein. Normalerweise habe ich durch das Abeliten immer ein Maximum gefunden, hier habe ich 3 Punkte und alle 3 Punkte ergeben mir im sup. den gleichen Wert für den lim, und zwar 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5*(x+n)^4+3}{(x+n)^4 +1} [/mm] -1
mit x= 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{n^8+1} [/mm] = 0
Wie bereits gesagt, in der Lösung steht, dass ich glm Konvergenz in einem Intervall [-a,a] habe wobei a>0 ist. Hier fehlt mir etwas der Zusammenhang...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Kein Ding. :)
> >
> > Also: Die Folge [mm]f_n(x)[/mm] unter der Summe konvergiert
> > punktweise gegen 1, ja. Gleichmäßig nicht, weil z.B.
> > [mm]f_n(n)=0[/mm] ist immer. Daher kann man kein N angeben, ab dem
> > jetzt [mm]||f_n(x)-1||<\varepsilon \forall[/mm] x [mm]\in \IR, \forall[/mm]
> > n>N sein wird (eben wegen [mm]||f_n(n)-1||=||-1||=1).[/mm]
> >
> > Die eigentliche Reihe divergiert auch, weil man unendlich
> > oft eine Funktion addiert, die aber ca. wie [mm]f(x)\equiv 1[/mm]
> > aussieht. Soll das Summenzeichen wirklich da stehen?
> >
> >
> Was würde es denn ändern, wenn da kein Summenzeichen
> stehen würde?
Vieles .....
Steht da nun ein Summenzeichen oder nicht ? Was sagt Dein Aufgabenzettel ?
Beipiele: (1) a:= 1/n.
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent.
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ist divergent
(2) a:= [mm] 1/n^2.
[/mm]
Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent gegen 0
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ist konvergent und = [mm] \bruch{ \pi^2}{6}
[/mm]
FRED
> Die Lösung jedenfalls sieht folgendermaßen
> aus:
>
> fn -> gl. gegen f in einem Intervall [-a,a] mit a>0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
Ok dann ist es wohl ein Fehler in meiner Mitschrift und es steht KEIN Summenzeichen! Ich habe es ausgebessert im Main-Thread!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Zuggel |
> Vieles .....
>
> Steht da nun ein Summenzeichen oder nicht ? Was sagt Dein
> Aufgabenzettel ?
>
>
> Beipiele: (1) a:= 1/n.
>
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist konvergent.
>
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] ist divergent
>
> (2) a:= [mm]1/n^2.[/mm]
>
> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist konvergent gegen 0
>
> Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] ist konvergent und =
> [mm]\bruch{ \pi^2}{6}[/mm]
>
> FRED
Ich wittere Wissenslücken... Dass die Folge [mm] 1/n^2 [/mm] gegen 0 konvergiert ist mir noch klar, aber dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] gegen [mm] \pi^2 [/mm] /6 geht, das ist mir neu. Ich würde da jetzt auch nicht darauf kommen; ich hätte hier klar gesagt, dass die Reihe sowie Folge gegen 0 gehen.
Hier noch einmal der Fragetext richtig gestellt:
V1: Mir fällt gerade auf, dass ich bei der eigentlichen Rechnung, also beim [mm] \rho [/mm] das Summenzeichen weggelassen habe. Also wird es wohl kein Summenzeichen sein, ich schreibe hier noch einmal richtig den Fragetext, sonst endet das in einem Chaos:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup{|\rho (x)|} [/mm] = 0 für glm konv. wobei [mm] \rho [/mm] (x)= [mm] \bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4 +1}
[/mm]
Ableiten von [mm] \rho [/mm] und = 0 setzen ergibt:
[mm] \bruch{8*x*(x+n)^3}{((x+n)^4 +1)^2} [/mm] = 0
Finden der Nullstellen:
x=0
x=-n
x=n
Für glm Konvergenz muss ja: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup{|f_n(x)-f(x)|}=0 [/mm] sein. Normalerweise habe ich durch das Abeliten immer ein Maximum gefunden, hier habe ich 3 Punkte und alle 3 Punkte ergeben mir im sup. den gleichen Wert für den lim, und zwar 0:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{5*(x+n)^4+3}{(x+n)^4 +1} [/mm] -1
mit x= 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{-1}{n^8+1} [/mm] = 0
Wie bereits gesagt, in der Lösung steht, dass ich glm Konvergenz in einem Intervall [-a,a] habe wobei a>0 ist. Hier fehlt mir etwas der Zusammenhang...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Di 11.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, dass die Reihe gegen [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] konvergiert, ist nicht trivial und das musst du auch nicht unbedingt wissen. Aber dass sie nicht gegen 0 konvergiert ist sehr wichtig! Denn die Reihe besteht doch nur aus positiven Summanden [mm] (\bruch{1}{n^2}>0 [/mm] für alle n) und daher ist doch die Reihe schon z.B. größer als der 1. Summand [mm] \bruch{1}{1^2}=1. [/mm] Also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}\ge [/mm] 1. Daher kann die Reihe nicht gegen 0 konvergieren.
Ok, nochmal zur Aufgabe und von ganz vorn:
[mm] f_n(x)=\bruch{(n^2-x^2)^4}{(n^2-x^2)^4+1}
[/mm]
Zuerst musst du schauen, ob die Folge punktweise gegen eine Funktion konvergiert. So kannst du immer deine Grenzfunktion erhalten, gegen die [mm] f_n [/mm] vielleicht sogar gleichmäßig konvergiert. Hältst du also dein x fest und lässt n gegen [mm] \infty [/mm] gehen, so erhältst du 1, also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=1 [/mm] für alle [mm] x\in \IR [/mm] fest.
Daher musst du jetzt prüfen, ob [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $f\equiv [/mm] 1$ konvergiert.
Hier erstmal ein Bild von [mm] f_9:
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dafür musst du prüfen, ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(|f_n(x)-1|:x\in \IR)=0 [/mm] ist, zumindest, wenn [mm] f_n [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] gegen 1 konvergieren soll. Also leitest du jetzt [mm] |f_n(x)-1|=1-f_n(x) [/mm] ab, um das Supremum herauszufinden, wie du es schon richtig gemacht hast. Extremstellen sind bei -n, 0, n. Jetzt siehst du aber: [mm] 1-f_n(n)=1(=1-f_n(-n)) [/mm] für alle n. daher gibt es immer 2 Punkte, die nie wirklich näher an die 0 rücken. Deswegen kann [mm] f_n [/mm] schon mal nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] gleichmäßig gegen 1 konvergieren.
Aber auf dem kompakten Intervall [-a,a], [mm] $a\in \IR$ [/mm] sieht das anders aus. Die 2 "Spitzen", an denen [mm] 1-f_n(x) [/mm] immer 1 ist, rutschen für [mm] n\to\infinity [/mm] immer weiter nach [mm] \infty [/mm] bzw. [mm] -\infty, [/mm] also sind sie auch irgendwann für immer aus dem Intervall [-a,a] raus. Und dann fängt die Funktionsfolge an auf diesem Intervall zu konvergieren.
Das musst du vielleicht noch etwas präzisieren, aber das ist so der grobe Ablauf, wie man da rangehen und sich vielleicht auch durch eine kleine Grafik Inspiration holen kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mi 12.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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