Glm Stetigkeit auf kompakten I < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] f(x):=\wurzel{x} [/mm] auf ganz [0,1] gleichmäßig Stetig ist. |
Hallo,
ich habe Probleme die gleichmäßige Stetigkeit in einem kompakten Intervall zu zeigen. In meinen Definitionen habe ich nämlich nichts dazu gefunden, wie ich beim Beweis mit den Intervallsgrenzen umgehen soll.
Ich habe deshalb ersteinmal die Stetigkeit für ein offenes Intervall [mm] [a,\infty) [/mm] (mit a>0) gezeigt. Ich hoffe dies ist so richtig:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Sei außerdem [mm] \delta:=\varepsilon, [/mm] dann gilt [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] a mit [mm] |x-y|<\delta:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})*(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|\le|x-y|<\delta\le\varepsilon
[/mm]
Hoffe die Abschätzungen habe ich richtig gemacht.
Für Hilfe wäre ich dankbar,
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]f(x):=\wurzel{x}[/mm] auf ganz [0,1]
> gleichmäßig Stetig ist.
> Hallo,
> ich habe Probleme die gleichmäßige Stetigkeit in einem
> kompakten Intervall zu zeigen. In meinen Definitionen habe
> ich nämlich nichts dazu gefunden, wie ich beim Beweis mit
> den Intervallsgrenzen umgehen soll.
>
> Ich habe deshalb ersteinmal die Stetigkeit für ein offenes
> Intervall [mm][a,\infty)[/mm] (mit a>0) gezeigt. Ich hoffe dies ist
> so richtig:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Sei außerdem
> [mm]\delta:=\varepsilon,[/mm] dann gilt [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\ge[/mm] a mit
> [mm]|x-y|<\delta:[/mm]
> [mm]|f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}[/mm] -
> [mm]\wurzel{y}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})*(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|\le|x-y|<\delta\le\varepsilon[/mm]
>
> Hoffe die Abschätzungen habe ich richtig gemacht.
Nein. Die Ungl. [mm] |\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|\le|x-y| [/mm] ist falsch. Setz mal ein paar konkrete Werte ein.
FRED
> Für Hilfe wäre ich dankbar,
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Verdammt, ich habe an eine Summe < 1 im Nenner nicht gedacht. Danke.
Dann habe ich noch einen Beweis mit dem Mittelwertsatz anzubieten, der ist aber nicht sonderlich schön:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Sei außerdem [mm] \delta:=\varepsilon*2*\wurzel{a}, [/mm] dann gilt [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] a mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] und [mm] \partial \in [/mm] [x,y], also [mm] \partial \ge [/mm] a:
[mm] |f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{1}{2\wurzel{\partial}}*|x-y|<\bruch{\delta}{2\wurzel{a}}\le\varepsilon
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Verdammt, ich habe an eine Summe < 1 im Nenner nicht
> gedacht. Danke.
> Dann habe ich noch einen Beweis mit dem Mittelwertsatz
> anzubieten, der ist aber nicht sonderlich schön:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig. Sei außerdem
> [mm]\delta:=\varepsilon*2*\wurzel{a},[/mm]
Was ist a ???
> dann gilt [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\ge[/mm] a
?????
> mit [mm]|x-y|<\delta[/mm]
> und [mm]\partial \in[/mm] [x,y], also [mm]\partial \ge[/mm]
> a:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{1}{2\wurzel{\partial}}*|x-y|<\bruch{\delta}{2\wurzel{a}}\le\varepsilon[/mm]
>
Nee, so geht das nicht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Mein a kommt aus dem Intervall [mm] [a,\infty), [/mm] ist also die untere Grenze. Habe das in einem Buch bei einer ähnlichen Aufgabe (dort war f(x):=ln(x) mit [mm] I=[a,\infty)) [/mm] gesehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein a kommt aus dem Intervall [mm][a,\infty),[/mm] ist also die
> untere Grenze. Habe das in einem Buch bei einer ähnlichen
> Aufgabe (dort war f(x):=ln(x) mit [mm]I=[a,\infty))[/mm] gesehen.
bei der "ln-Aufgabe" solltest Du das sicher "für alle $a > [mm] 0\,$" [/mm] zeigen, also: [mm] $\ln$ [/mm] ist auf jedem Intervall [mm] $[a,\infty)$ [/mm] glm. stetig.
Du kannst bei Deiner Aufgabe auch zeigen, dass [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] auf jedem Intervall [mm] $[a,\infty)$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,$ [/mm] glm. stetig ist. Aber daraus folgt noch nichtmal, dass [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] glm. stetig wäre. (Die letzte Aussage gilt zwar, aber es ist nicht so, dass die Aussage "betrachtete Funktion ist auf jedem Intervall [mm] $[a,\infty)$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,$ [/mm] glm. stetig" i.a. eine hinreichende Bedingung dafür wäre, dass "die betrachtete Funktion auch auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] glm. stetig ist").
Denn:
Die Funktion $h(x)=1/x$ ist auf jedem Intervall [mm] $[a,\infty)$ [/mm] gleichmäßig stetig, falls $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Aber sicher nicht glm. stetig auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] (wohl aber stetig auf [mm] $(0,\infty)$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
Kannst du mir dann einen Tipp bei der Abschätzung geben?
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})\cdot{}(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|
[/mm]
Wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Kannst du mir dann einen Tipp bei der Abschätzung geben?
>
> [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})\cdot{}(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|[/mm]
ich gebe Dir einen anderen Tipp:
Beweise, dass
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| [/mm] < [mm] \sqrt{|x-y|}\,.$$
[/mm]
Edit:
Beweise doch lieber die Ungleichung
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}\,.$$
[/mm]
Sie gilt nämlich so sogar für alle $x,y [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Die erste würde "nur" für $x,y > 0$ gelten!
Vorgehensweise:
1.) Nimm' erstmal o.E. an, dass $0 [mm] \le [/mm] y < [mm] x\,,$ [/mm] dann brauchst Du oben keine Beträge mehr.
2.) Da beide Seiten der Ungleichung [mm] $\ge [/mm] 0$ sind, "ist Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung" (das ist eine "eingebürgerte", wie ich aber finde, komische Sprechweise). Was das eigentlich meint ist:
Falls $0 [mm] \le [/mm] r < s$ gilt, so gilt:
$$r < s [mm] \gdw r^2 [/mm] < [mm] s^2\,.$$
[/mm]
3.) Ist Dir damit nun klar, dass Du somit ein
$$0 < [mm] \delta \le \epsilon^2$$
[/mm]
wählen kannst? Falls ja, wähle mal "das größte [mm] $\delta\,,$ [/mm] dass diese Ungleichung erfüllt".
P.S.:
Weiterer Tipp:
Um für $0 [mm] \le [/mm] y < x$ die Ungleichung $y < [mm] \sqrt{x}\sqrt{y}$ [/mm] einzusehen, beachte [mm] $y=\sqrt{y}^2$ [/mm] und $r [mm] \mapsto \sqrt{r}$ [/mm] ist (streng) monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
Obige Antwort zeigt eigentlich schon mehr als die Stetigkeit. Du hast auch formal anfangs nicht die Stetigkeit beschrieben, sondern schon direkt die glm. Stetigkeit.
Stetigkeit heißt hier:
Seien [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Dann gibt es ein [mm] $\delta=\delta(\epsilon,x_0) [/mm] > 0$ so, dass für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| [/mm] < [mm] \epsilon.$$
[/mm]
Und hier hilft sowas
> Kannst du mir dann einen Tipp bei der Abschätzung geben?
>
> [mm]|\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{y})\cdot{}(\wurzel{x}+\wurzel{y})}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|[/mm]
>
hier schon - jedenfalls für [mm] $y=x_0$ [/mm] mit $0 [mm] \;\red{<}\;y \le [/mm] 1$:
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=|x-x_0|/(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}) \le |x-x_0|/\sqrt{x_0}\,.$$
[/mm]
Wie kann man hier [mm] $\delta$ [/mm] wählen?
Die Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] musst Du dann aber nochmal separat betrachten:
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{0}|=\sqrt{x}=\sqrt{x-0}\,.$$
[/mm]
Also?
Und dann kannst Du meinetwegen nun auch sagen: Weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum $[0,1]$ ist, ist [mm] $f\,$ [/mm] dort auch glm. stetig.
P.S.:
Da die Funktion hier nicht Lipschitzstetig ist (sie ist stetig, glm. stetig, aber NICHT Lipschitzstetig) - denn die Ableitung ist unbeschränkt auf [mm] $(0,1)\,,$ [/mm] kannst Du auch nicht wirklich mit der Ableitung das ganze folgern. Jedenfalls sehe ich nicht direkt, wie das gehen sollte. Vielleicht geht's auch, aber ich denke, eher nicht...
P.P.S.:
Beachte bitte, dass zwar
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$$
[/mm]
für $x,y [mm] \in [/mm] [0,1]$ gilt, aber i.a. NICHT
[mm] $$\sqrt{|x-y|} \le |x-y|\,.$$
[/mm]
Denn [mm] $\sqrt{|x-y|} \ge [/mm] 1$ kann - für die interessanten Fälle $x [mm] \not=y\,,$ [/mm] $x,y [mm] \in [/mm] [0,1]$ - dann wegen $0 < |x-y| [mm] \le [/mm] 1$ nur in den seltensten Fällen gelten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Pauli85 |
1.) Gleichmäßige Stetigkeit von [mm] f(x):=\wurzel{x} [/mm] auf [mm] [a,\infty) [/mm] mit a>0:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und [mm] \delta:=\varepsilon^{2}, [/mm] dann gilt [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] a und mit [mm] |x-y|<\delta, [/mm] dass [mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}-\wurzel{y}|<\wurzel{|x-y|}<\wurzel{\delta}\le\wurzel{\varepsilon^{2}}=\varepsilon
[/mm]
Die Nebenrechnung mit dem Beweis der Ungleichung habe ich auch verstanden, danke!
2.) Stetigkeit auf dem Intervall [0,1]:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und [mm] x_0 \in [/mm] (0,1] beliebig und [mm] \delta:=\varepsilon*\wurzel{x_0}, [/mm] dann gilt [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta, [/mm] dass gilt [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| [/mm] < [mm] \epsilon:
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{x_0})\cdot{}(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}|=\bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}\le\bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x_0}}<\bruch{\delta}{\wurzel{x_0}}\le\varepsilon
[/mm]
Stetigkeit für [mm] x_0 [/mm] = 0:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\wurzel{x}-\wurzel{0}|=\wurzel{x}0 [/mm] und [mm] \delta:=\varepsilon
[/mm]
Ist das alles so korrekt?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:26 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.) Gleichmäßige Stetigkeit von [mm]f(x):=\wurzel{x}[/mm] auf
> [mm][a,\infty)[/mm] mit a>0:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig und [mm]\delta:=\varepsilon^{2},[/mm]
> dann gilt [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\ge[/mm] a und mit [mm]|x-y|<\delta,[/mm] dass
> [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon,[/mm] denn
ich würde hier nicht an Worten sparen und das rote "denn" ergänzen -es hebt hervor, dass nun die Begründung bzw. der Beweis erst folgt!
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|\wurzel{x}-\wurzel{y}|<\wurzel{|x-y|}<\underbrace{\wurzel{\delta}\le\wurzel{\varepsilon^{2}}}_{\red{\text{Warum hier nicht direkt Gleichheit schreiben/benutzen?}}}=\varepsilon[/mm]
Kurze Nachfrage: Hast Du an irgendeiner Stelle benutzt oder gebraucht, dass Du die Funktion nur auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] betrachtest?
(Okay, da steht an einer Stelle: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] a$... was hindert Dich aber, an dieser auch zu schreiben: [mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 0$???)
Also was hindert Dich daran, dass ganze für [mm] $[0,\infty)$ [/mm] zu beweisen? (Du musst dazu nur an einer Stelle dann anstatt [mm] $<\,$ [/mm] einfach [mm] $\le$ [/mm] schreiben!)
Wie gesagt: Im allgemeinen kannst Du nicht sagen, dass, wenn die glm. Stetigkeit für alle [mm] $[a,\infty)$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,$ [/mm] gilt, sie dann auch auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] oder sogar "nur" [mm] $(0,\infty)$ [/mm] gilt. Also: Was hat die einschränkende Betrachtung auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] oben für einen Sinn? Du kannst genauso das ganze direkt hinschreiben, wenn Du nur $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ annimmst. Oder an welcher Stelle, glaubst Du, würde das scheitern? Naja, eine Stelle gibt's: Aber da brauchst Du nur das [mm] $<\,$ [/mm] durch ein [mm] $\le$ [/mm] ersetzen, wenn Du bei obiger Abschätzung nur [mm] "$\forall [/mm] x,y [mm] \ge [/mm] 0$" voraussetzt: Näheres dazu siehe unten!
> Die Nebenrechnung mit dem Beweis der Ungleichung habe ich
> auch verstanden, danke!
Sehr gut! Gerne  Es ist aber ein wesentlicher Teil der Aufgabe - d.h. Du solltest in Deinem obigen Beweis auch ergänzen, warum Du [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$ [/mm] benutzen darfst. Und wie oben angedeutet, würde ich in der Abschätzung an der Stelle auch nicht [mm] $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| [/mm] < [mm] \sqrt{|x-y|}$ [/mm] schreiben, sondern [mm] $\le\,.$ [/mm] Am Ende steht dann dennoch $< [mm] \epsilon\,,$ [/mm] denn beachte bitte:
$$a [mm] \le [/mm] b < c$$
beinhaltet auch $a < [mm] c\,.$
[/mm]
>
> 2.) Stetigkeit auf dem Intervall [0,1]:
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 und [mm]x_0 \in[/mm] (0,1] beliebig und
> [mm]\delta:=\varepsilon*\wurzel{x_0},[/mm] dann gilt [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm]
> [0,1] mit [mm]|x-x_0|[/mm] < [mm]\delta,[/mm] dass gilt [mm]|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|[/mm]
> < [mm]\epsilon:[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|=|\bruch{(\wurzel{x}-\wurzel{x_0})\cdot{}(\wurzel{x}+\wurzel{x_0})}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}|=\bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}\le\bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x_0}}<\bruch{\delta}{\wurzel{x_0}}\le\varepsilon[/mm]
>
> Stetigkeit für [mm]x_0[/mm] = 0:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|\wurzel{x}-\wurzel{0}|=\wurzel{x}
> für [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]\delta:=\varepsilon[/mm]
>
> Ist das alles so korrekt?
Alles korrekt. Wenn man ganz penibel ist, schreibt man auch noch kurz, dass diese Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] auch jeweils [mm] $\delta [/mm] > 0$ erfüllt. Aber muss nicht unbedingt sein - für Dich selbst solltest Du aber diese Überlegungen anstellen bzw. angestellt haben!
P.S.:
Nochmal zu Erinnerung: Teil 1) kann man mit genau der Vorgehensweise machen, ohne die Einschränkung auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] mit $a > [mm] 0\,$ [/mm] zu machen - so sieht man sofort die glm. Stetigkeit der [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] (auf [mm] $[0,\infty)$), [/mm] was natürlich auch bedeutet, dass jede ihrer Einschränkungen glm. stetig ist, also auch die Einschränkung auf [mm] $[0,1]\,.$
[/mm]
Zur Übung schlage ich Dir vor:
1.) Schreibe nun den Beweis der glm. Stetigkeit der [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] mal auf!
2.) Zeige, dass für jedes $a > 0$ die Funktion $f(x):=1/x$ auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] glm. stetig ist. Hier wirst Du sehen, dass die Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] auch den Definitionsbereich beachtet, dass also, genauer gesagt, das [mm] $\delta=\delta_\epsilon [/mm] > 0$ dann auch eine Abhängigkeit von [mm] $a\,$ [/mm] hat.
Zeige nun, dass obiges [mm] $f(x)=1/x\,$ [/mm] aber nicht glm. stetig auf [mm] $(0,\infty)\,,$ [/mm] damit auch insbesondere auch nicht auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] sein kann.
Die Konsequenz aus 2.) ist eben: I.a. ist die Folgerung
$$f [mm] \text{ glm. stetig auf jedem Intervall }[a,\infty) \text{ mit }a [/mm] > 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \text{ glm. stetig auf }(0,\infty)$$
[/mm]
FALSCH!!!
Ansonsten würde ich sagen: Obiges hast Du nun sehr schön aufgeschrieben. Sieht also im ganzen schon gut aus.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:33 So 22.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
habe gerade gesehen (und das editiert kommentiert), dass ich Dir den Tipp in etwas unglücklicher Form gegeben hatte:
Anstatt nur
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| [/mm] < [mm] \sqrt{|x-y|}$$
[/mm]
für alle $x,y > 0$ zu beweisen, beweist Du besser direkt
[mm] $$|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$$
[/mm]
für alle $x,y [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
So erklärt sich mir auch - bzw. ich vermute es - dass Du [mm] $\sqrt{.}$ [/mm] nur auf [mm] $[a,\infty)$ [/mm] betrachtet und die Abschätzungen gemacht hast. Sorry, falls ich Dich damit verwirrt hatte!
Gruß,
Marcel
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