Globale Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Robse |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] mit
f (x,y) = [mm] x^3+2x^2+xy+\bruch{1}{2}y^2
[/mm]
a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f .
b) Hat f globale Extrema auf [mm] \IR^2?
[/mm]
c) Bestimmen Sie den kleinsten und gr¨oßten Wert, den f auf dem Quadrat [mm] [−1,1]^2 [/mm] annimmt. |
Guten Tag, ich scheitere gerade ein bisschen an dieser Aufgabe.
Mein Weg bis jetzt ist folgender:
a)
Notwendige Bedingung: grad f = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] 3x^2+4x+y [/mm] = 0
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = x+y = 0 (y = -x)
[mm] 3x^2+4x+(-x) [/mm] = [mm] 3x^2+3x [/mm] = 0
x(x+1) = 0
[mm] x_{1} [/mm] = 0 / [mm] y_{1} [/mm] = 0
[mm] x_{2} [/mm] = -1 / [mm] y_{2} [/mm] = 1
Hinreichende Bedingung: [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{0},y_{0})*\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_{0},y_{0})-\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}^2(x_{0},y_{0})>0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} [/mm] = 6x+4 / [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{1},y_{1}) [/mm] = 4 / [mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{2},y_{2}) [/mm] = -2
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial xy} [/mm] = 1
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2} [/mm] = 1
4*1-1>0 w.A. [mm] \to \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{1},y_{1}) [/mm] > 0 Lokales Minimum
-2*1-1>0 f.A.
Also habe ich nur ein Lokales Minimum bei (0,0,0). Ist das soweit richtig?
b) Leider habe ich gar keine Ahnung wie man globale Extrema einer Funktion mit 2 Variablen berechnet. Ich würde, da ich kein bestimmtes Intervall gegeben habe, den Grenzwert der Funktion bilden. Habe auch schon im Papula nachgeschlagen, aber der gibt da auch keine befriedigende Antwort.
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Hallo Robse,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm] mit
> f (x,y) = [mm]x^3+2x^2+xy+\bruch{1}{2}y^2[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f .
> b) Hat f globale Extrema auf [mm]\IR^2?[/mm]
> c) Bestimmen Sie den kleinsten und gr¨oßten Wert, den f
> auf dem Quadrat [mm][−1,1]^2[/mm] annimmt.
> Guten Tag, ich scheitere gerade ein bisschen an dieser
> Aufgabe.
>
> Mein Weg bis jetzt ist folgender:
>
> a)
> Notwendige Bedingung: grad f = 0
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]3x^2+4x+y[/mm] = 0
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = x+y = 0 (y = -x)
>
> [mm]3x^2+4x+(-x)[/mm] = [mm]3x^2+3x[/mm] = 0
> x(x+1) = 0
> [mm]x_{1}[/mm] = 0 / [mm]y_{1}[/mm] = 0
> [mm]x_{2}[/mm] = -1 / [mm]y_{2}[/mm] = 1
>
> Hinreichende Bedingung: [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{0},y_{0})*\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_{0},y_{0})-\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}^2(x_{0},y_{0})>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}[/mm] = 6x+4 /
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{1},y_{1})[/mm] = 4 /
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{2},y_{2})[/mm] = -2
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial xy}[/mm] = 1
> [mm]\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}[/mm] = 1
>
> 4*1-1>0 w.A. [mm]\to \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_{1},y_{1})[/mm]
> > 0 Lokales Minimum
> -2*1-1>0 f.A.
>
> Also habe ich nur ein Lokales Minimum bei (0,0,0). Ist das
> soweit richtig?
>
Ja.
Der Punkt (-1,1) ist noch zu charkterisieren.
> b) Leider habe ich gar keine Ahnung wie man globale Extrema
> einer Funktion mit 2 Variablen berechnet. Ich würde, da
> ich kein bestimmtes Intervall gegeben habe, den Grenzwert
> der Funktion bilden. Habe auch schon im Papula
> nachgeschlagen, aber der gibt da auch keine befriedigende
> Antwort.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Robse |
Der Punkt (-1,1) deutet auf einen Sattelpunkt hin, aber es war ja nur nach lokalen Extrema gefragt. Oder überssehe ich etwas?
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Hallo Robse,
> Der Punkt (-1,1) deutet auf einen Sattelpunkt hin, aber es
> war ja nur nach lokalen Extrema gefragt. Oder überssehe
> ich etwas?
Nein, da übersiehst Du nichts.
Ein Sattelpunkt ist zwar ein kritischer Punkt aber kein Extrempunkt.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Sa 30.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu b):
f hat keine globalen Extrema.
Betrachte f(x,0)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 30.06.2012 | | Autor: | Robse |
Danke Fred für die Antwort,
Kannst du bitte etwas ausführlicher werden? Ich brauche jetzt nicht unbedingt die Lösung von der Aufgabe, sondern eher den Ansatz, wie ich an Aufgaben dieser Art rangehe.
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Hallo Robse,
> Danke Fred für die Antwort,
>
> Kannst du bitte etwas ausführlicher werden? Ich brauche
> jetzt nicht unbedingt die Lösung von der Aufgabe, sondern
> eher den Ansatz, wie ich an Aufgaben dieser Art rangehe.
Zeige daß [mm]f\left(x,0\right)[/mm] jeden beliebigen Wert aus [mm]\IR[/mm] annimmt.
Gruss
MathePower
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