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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Globale Konvergenz
Globale Konvergenz < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Globale Konvergenz: Gesamtschrittverfahren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Do 05.01.2017
Autor: Pawcio

Aufgabe
Zeige, dass das Gesamtschrittverfahren für Ax=b global konvergiert.

Ich habe dazu eine Matrix und Vektor vorgegeben

Leider keine Ahnug wie ich das zeigen kann und im Internet stehen auch wenige Beispiele dazu.
Kann mir jemand damit weiterhelfen?

        
Bezug
Globale Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Do 05.01.2017
Autor: Pawcio

Muss ich nur zeigen, dass die Matrix auf der Diagonale dominant ist?


Bezug
                
Bezug
Globale Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Fr 06.01.2017
Autor: Ladon

Siehe untere Antwort.

Viele Grüße
Ladon

Bezug
        
Bezug
Globale Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Fr 06.01.2017
Autor: Ladon

Hallo Pawcio,

ihr hattet sicherlich den Satz:

Die Matrix $A = [mm] (a_{ij}) \in {\mathbb{ K}}^{n \times n}$ [/mm] genüge dem (starken) Zeilensummenkriterium:
[mm] $$\max_{i=1,...,n} \sum\limits_{ {j=1} , {j \ne i} }^n \left| { \frac{a_{ij}}{a_{ii}} } \right| [/mm] < 1$$
oder dem (starken) Spaltensummenkriterium:
[mm] $$\max_{j=1,...,n} \sum\limits_{ {i=1}, {i \ne j} }^n \left| { \frac{a_{ij}}{a_{jj}} } \right| [/mm] < 1$$
Dann konvergiert das GSV bezüglich jeder Norm auf [mm] ${\mathbb{ K}}^m$, [/mm] für jedes $y [mm] \in {\mathbb{K}}^m$ [/mm] und bei beliebigem Startvektor [mm] $x_0 [/mm] $ gegen die eindeutig bestimmte Lösung des LGS $Ax = y$.


Nutze einfach den Satz. Für Matrizen $A$ mit [mm] $a_{ii}\neq0$ [/mm] bekommt man zudem Konvergenz des GSV genau dann, wenn der Spektralradius [mm] $\rho(D^{-1}(L+U))<1$ [/mm] ist, wobei $D$ Diagonalmatrix, $L$ strickte untere Dreiecksmatrix und $U$ strickte obere Dreiecksmatrix mit $A=D+L+U$ ist.

LG
Ladon

Bezug
                
Bezug
Globale Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Mo 09.01.2017
Autor: Pawcio

Danke dir für die Erklärung
Jetzt macht das Sinn
Klar hatten wir das, aber nur erwähnt und leider der Begriff war nicht dabei

Bezug
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