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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Leon.R. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um folgendes,
Definitionen und Grundeigenschaften
Zwei Strecken stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren
Dieses Verhältnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Φ (Phi) bezeichnet. Bezeichnet man die längere Strecke mit a und die kürzere mit b, dann gilt damit
Φ = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{a}
[/mm]
Daraus ergibt sich für Φ
Φ = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \approx [/mm] 1,618
Φ ist eine irrationale Zahl. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist. Das bedeutet, dass sie sich nur schlecht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt.
Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, die zur kürzeren wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. Die Bezeichnung stetige Teilung bezieht sich auf den Umstand, dass dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar ist und dabei stets das selbe Verhältnis liefert.
Mein Frage ist: Wie komme ich von: Φ = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{a}
[/mm]
mit dem ausführlichem Rechenweg zu
Φ = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} \approx [/mm] 1,618
es geht bestimmt über Quadratische gleichnung aber wie?
Vielen Dank für euere Hilfe
Leon R. Braun
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Leon!
[mm]\bruch{a}{b}[/mm] = [mm]\bruch{a+b}{a}[/mm]
Kürze den zweiten Bruch mit $b$, dann erhältst du:
[mm] $\frac{a}{b} [/mm] = [mm] \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b}}$,
[/mm]
also nach Multiplikation mit [mm] $\frac{a}{b}$ [/mm] :
[mm] $\left( \frac{a}{b} \right)^2 [/mm] = [mm] \frac{a}{b} [/mm] + 1$.
Nun substituierst du (wenn du magst) [mm] $x:=\frac{a}{b}$,
[/mm]
und erhältst die quadratische Gleichung
[mm] $x^2 [/mm] - x- 1=0$.
Die positive der beiden Lösungen ist der gesuchte Goldene Schnitt.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 20.01.2005 | | Autor: | elfrem |
Hallo Julius,
ich habe grossen Respekt vor Deinen Rechenkuensten. Nun habe ich das Problem, dass ich herausfinden muss, ob bestimmte Raummasse dem Goldenen Schnitt entsprechen. Ich bin keine Mathematikerin, sondern Historikerin und brauche diese Info fuer eine wissenschaftliche Abhandlung ueber das alte Leipziger Gewandhaus. Seine Ausmasse betrugen: 22,85 m lang, 11,35 m breit und 7,35 m hoch. Wenn Du es mir nicht ausrechnen moechtest, wuerde es zur Not auch eine Formel tun, obgleich das natuerlich wieder Zeit beansprucht, die ich nicht unbedingt zur Verfuegung habe. Aber wie Du meinst ....
Gruss
Elfie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe elfrem
> Hallo Julius,
>
> ich habe grossen Respekt vor Deinen Rechenkuensten. Nun
Ja, ja, der Julius, der Julius, der kanns! 
> habe ich das Problem, dass ich herausfinden muss, ob
> bestimmte Raummasse dem Goldenen Schnitt entsprechen. Ich
> bin keine Mathematikerin, sondern Historikerin und brauche
> diese Info fuer eine wissenschaftliche Abhandlung ueber das
> alte Leipziger Gewandhaus. Seine Ausmasse betrugen: 22,85 m
> lang, 11,35 m breit und 7,35 m hoch. Wenn Du es mir nicht
> ausrechnen moechtest, wuerde es zur Not auch eine Formel
> tun, obgleich das natuerlich wieder Zeit beansprucht, die
> ich nicht unbedingt zur Verfuegung habe. Aber wie Du meinst
> ....
Also, wie bereits in einer Antwort angetönt, müssen die gegebenen Grössen dividiert werden.
Wenn sich bei der Division Grösserer/Kleinerer ein Wert von
0,618 ergibt, dann liegt der Goldene Schnitt vor.
Wenn du aber Kleinerer/Grösserer rechnest, dann muss
1,618 herauskommen, für einen Goldenen Schnitt.
Oder anders: wenn du die kleinere der Strecken hast, kannst du diese mal 1,618 rechnen, um herauszufinden, ob wie gross das Grössere sein sollte.
Wenn du die grössere Strecke vorgibst, dann musst du diese mit 0,618 multiplizieren, um die kleinere zu erhalten.
Dein Raum ist ja ungefähr doppelt so lang wie Breit. Wie verhalten sich aber Breite zu Höhe?
Mein Taschenrechner sagt: 7,35/11,35 = 0,648
Für den exakten goldenen Schnitt müsste 0,618 herauskommen. So schlecht ist das aber gar nicht, oder?
Hat da etwa der Baumeister die Schrift des Architekten nicht richtig gelesen und statt 0,618 irrtümlich den Wert 0,648 genommen?? Es soll ja auch Tintenkleckse gegeben haben! 
Wie hoch müsste der Raum sein, damit zur Breite ein Goldener Schnitt entstünde?
11,35 * 0,618 = 7,01
Ich denke, der Architekt hatte schon den Goldenen Schnitt im Sinn. Wurden evtl. durch entsprechende Bemalungen (optisch) exaktere Werte erreicht?
Oder war bei der Wand unterhalb der Decke ein ca. 35 cm tiefer Uebergang (Abrundung oder Aehnliches)?
Oder sind deine Mass-Angaben ungenau?
Das musst du selber herausfinden. Ich würde jedenfalls diese Werte interpretieren, dass Breite zu Höhe den Goldenen Schnitt darstellt. Man darf ja nicht zu kleinlich sein! Schliesslich ist ja der Raum auch nicht exakt 2 mal so lang wie breit. Oder war etwa der Raum ursprünglich genau 23 Meter lang und 11,50 Meter Breit und erhielt nachträglich eine 7.5 cm dicke Verkleidung an allen Wänden? Alles Spekulationen, die du nicht so ernst nehmen solltest. Ich phantasiere nur ein Wenig.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Di 26.10.2004 | | Autor: | Leon.R. |
Zuerst möchte ich mich bei "julius" badanken.
und zweitens hab ich selbst eine weiteren Weg gefunden, der zwar etwas länger ist, aber recht einfach nachfollziehen zu sein scheint.
Bzw. es ist das was ich gesucht hab.
[mm] \overline{AB} [/mm] : [mm] \overline{AS} [/mm] = [mm] \overline{AS} [/mm] : [mm] \overline{SB}
[/mm]
ist gleich : a : M = M : m
M [mm] \hat= [/mm] Major
m [mm] \hat= [/mm] Minor
Ist gleich mit: [mm] \bruch{M+m}{M} [/mm] = [mm] \bruch{M}{m} [/mm] / * M /* m
: Mm+ [mm] m^{2} [/mm] = [mm] M^{2} [/mm] /- Mm
: [mm] m^{2} [/mm] = [mm] M^{2}- [/mm] Mm /: [mm] m^{2}
[/mm]
: 1 = [mm] \bruch{ M^{2}-Mm}{ m^{2}} [/mm] / ausmultiplizieren
: 1 = [mm] \bruch{ M^{2}}{ m^{2}}- \bruch{Mm}{ m^{2}} [/mm] /kürzen
: 1 = [mm] \bruch{ M^{2}}{ m^{2}}- \bruch{M}{ m} [/mm] / X [mm] \hat= \bruch{M}{m}
[/mm]
: 1 = [mm] x^{2} [/mm] - x / quadratische ergänzung mit [mm] (\bruch{1}{2})²
[/mm]
: 1+ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = x²-x+ [mm] (\bruch{1}{2})² [/mm] /zweite Binomische Formel
: [mm] \bruch{5}{4} [/mm] = (x- [mm] \bruch{1}{2})² [/mm] / [mm] \wurzel{ }
[/mm]
: [mm] \bruch{ \wurzel{5}}{2} [/mm] = x- [mm] \bruch{1}{2} [/mm] / + [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
: [mm] \bruch{ \wurzel{5}+1}{2} [/mm] = X
: Was der Zalh Φ entspricht = 1,618....
Vielen Dank nochmal an "Julius"
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn der goldene Schnitt in der Architektur vor kommt sieht man ihn immer sofort, wenn man die Eigenschft kennt: Schneidet man von einem Rechteck dessen Seiten im goldenen Schnitt stehen das Quadrat der kurzen Seite ab, so ist das übrige rechteck dem ersten ähnlich, also einfach eine Verkleinerung des ersten. Das kann man mit bloßem Auge oder auf Fotos oder Zeichnungen sehr schnell sehen!
Gruss leduart
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