Goniometrische Gleichungssyst. < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Di 27.11.2012 | | Autor: | yhope |
| Aufgabe | Folgende Gleichungen sollen nach Winkeln umgestellt bzw. Gleichungssystem soll gelöst werden.
x = [mm] l_{1}*cos(\alpha)*cos(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*cos(\beta)
[/mm]
y = [mm] l_{1}*cos(\alpha)*sin(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*sin(\alpha)
[/mm]
z = [mm] l_{1}*sin(\alpha)+l_{2}*sin(\delta) [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte im Rahmen meiner Projektarbeit einen "kleinen" Tipp, wie man obige Gleichungen nach den Winkeln [mm] (\alpha [/mm] , [mm] \beta, \delta) [/mm] auflöst. Wenn man bedenkt, dass die Größen [mm] x,y,z,l_{1} [/mm] und [mm] l_{2} [/mm] vorgegeben sind bzw. als Konstanten betrachtet, handelt es sich hierbei ja um 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also eigtl. lösbar.
Ich schaffe es aber nicht, die Gleichung sei es mit Hilfe von Substitution, Additionstheorem und zig anderen Methoden zu lösen. Hätte jemand vielleicht einen Tipp?
Wäre euch sehr dankbar.
Vielleicht noch etwas zur Aufgabe: Es handelt sich hierbei um einen Greiferarm mit zwei Giedern [mm] (l_{1}, l_{2}), [/mm] welcher im Raum die Koordinaten x,y,z mit Hilfe der Winkel anfahren soll.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:29 Di 27.11.2012 | | Autor: | pi-roland |
Hallo yhope,
vielleicht ist es für dein Problem besser, wenn du in Polarkoordinaten rechnest. Hat man die Position des Greifarmes ermittelt, braucht man nur noch die Koordinaten umzurechnen.
Allerdings kann ich gerade nicht überschauen, ob dein Problem lösbarer wird, wenn man so heran geht. Ist wie gesagt nur eine Idee.
vielleicht gibt es aber noch ein paar Additionstheoreme für die Winkelfunktionen. Etwas in der Art: [mm] \sin(x\pm y)=\sin [/mm] x [mm] \cdot \cos [/mm] y [mm] \pm \cos [/mm] x [mm] \cdot \sin [/mm] y
Habe aber nach nur kurzer Suche noch nichts passendes finden können, da bei dir ja der erschwerende dritte Winkel dazu kommt.
Trotzdem viel Erfolg,
[mm] \pi\mathrm{-rol}
[/mm]
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Hallo yhope,
dieses Problem muss doch schon hundertfach gelöst worden sein. Gibts da keine Fachbücher zur Robotik?
> Folgende Gleichungen sollen nach Winkeln umgestellt bzw.
> Gleichungssystem soll gelöst werden.
>
> x =
> [mm]l_{1}*cos(\alpha)*cos(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*cos(\beta)[/mm]
> y =
> [mm]l_{1}*cos(\alpha)*sin(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*sin(\alpha)[/mm]
> z = [mm]l_{1}*sin(\alpha)+l_{2}*sin(\delta)[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte im Rahmen meiner Projektarbeit einen
> "kleinen" Tipp, wie man obige Gleichungen nach den Winkeln
> [mm](\alpha[/mm] , [mm]\beta, \delta)[/mm] auflöst. Wenn man bedenkt, dass
> die Größen [mm]x,y,z,l_{1}[/mm] und [mm]l_{2}[/mm] vorgegeben sind bzw. als
> Konstanten betrachtet, handelt es sich hierbei ja um 3
> Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also eigtl. lösbar.
> Ich schaffe es aber nicht, die Gleichung sei es mit Hilfe
> von Substitution, Additionstheorem und zig anderen Methoden
> zu lösen. Hätte jemand vielleicht einen Tipp?
> Wäre euch sehr dankbar.
Vorab: da die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen ja keine eindeutigen Werte liefern, wirst Du die Aufgabe ohne Fallunterscheidungen nicht lösen können - so wie bei der Umrechnung von ![[]](/images/popup.gif) kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten.
> Vielleicht noch etwas zur Aufgabe: Es handelt sich hierbei
> um einen Greiferarm mit zwei Giedern [mm](l_{1}, l_{2}),[/mm]
> welcher im Raum die Koordinaten x,y,z mit Hilfe der Winkel
> anfahren soll.
Bei Dir ist es ja nun noch etwas vertrackter, weil eben nicht ein Radius und zwei Winkel gesucht sind (wie bei Polarkoordinaten), sondern drei Winkel. Dass in umgekehrter Richtung diese drei Winkel genau einen Punkt im Raum definieren, ist klar.
Erst einmal wäre auch zu klären, ob die drei Winkel auch eindeutig definiert sind, wenn man in der jetzt gesuchten Richtung umwandelt. Ich vermute, dass das zumindest bei Punkten auf der Hauptdrehachse (z?) der Fall ist.
Überhaupt wäre es hilfreich, wenn Du den Arm mal beschreiben oder skizzieren könntest. Ich habe gerade wenig Lust, mir das aus den Gleichungen herzuleiten, auch wenn das natürlich gehen müsste.
Ich nehme an, dass der ganze Arm erst einmal um eine der Koordinatenachsen gedreht werden kann, vermutlich z. Das scheint durch den Winkel [mm] \beta [/mm] angegeben zu werden, oder?
Dann sitzt der Arm wahrscheinlich auf einem Kugelgelenk, das den Fuß und welchen Teilarm verbindet? Den mit [mm] \ell_1? [/mm] Welcher Winkel wird für die Neigung angegeben, und wird er gegen die Senkrechte oder die Waagerechte gemessen? Der letzte verbliebene Winkel scheint dann auch nicht die relative Lage der beiden Teilarme anzugeben, sondern ebenfalls gegen die Senkrechte oder Waagerechte gemessen zu werden.
Am besten also: Skizze.
Ich vermute, dass die einfachste Lösung schließlich eine Rotationsmatrix sein wird, eben ggf. noch mit Fallunterscheidungen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Di 27.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
außer nach Roboterarmen könntest Du übrigens auch nach CNC-Maschinen googeln. Da dürfte das Problem auch häufiger auftauchen.
Wie gesagt, dafür muss es doch schon Lösungen geben. Vielleicht heißen die Winkel und Längen anders, vielleicht ist die Hauptdrehachse eine andere, aber vom Prinzip her ist so ein zweiteiliger Arm doch nichts Neues. Ich sag nur "Bagger"...
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:47 Di 27.11.2012 | | Autor: | yhope |
Hallo pi-roland und reverend,
erstmal vielen Dank für eure schnellen Antworten und die anregenden Tipps.
> vielleicht gibt es aber noch ein paar Additionstheoreme für die Winkelfunktionen. Etwas in der Art: $ [mm] \sin(x\pm y)=\sin [/mm] $ x $ [mm] \cdot \cos [/mm] $ y $ [mm] \pm \cos [/mm] $ x $ [mm] \cdot \sin [/mm] $ y
> Habe aber nach nur kurzer Suche noch nichts passendes finden können, da bei dir ja der erschwerende dritte Winkel dazu kommt.
Mit den Additionstheoremen bin ich leider nicht weiter gekommen. Die Ausdrücke werden anschließend nur komplizierter ;(
> vielleicht ist es für dein Problem besser, wenn du in Polarkoordinaten rechnest. Hat man die Position des Greifarmes ermittelt, braucht man nur noch die Koordinaten umzurechnen.
> Allerdings kann ich gerade nicht überschauen, ob dein Problem lösbarer wird, wenn man so heran geht. Ist wie gesagt nur eine Idee.
>
> dieses Problem muss doch schon hundertfach gelöst worden
> sein. Gibts da keine Fachbücher zur Robotik?
>
>
> Vorab: da die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen ja
> keine eindeutigen Werte liefern, wirst Du die Aufgabe ohne
> Fallunterscheidungen nicht lösen können - so wie bei der
> Umrechnung von
> kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten.
>
>
> Bei Dir ist es ja nun noch etwas vertrackter, weil eben
> nicht ein Radius und zwei Winkel gesucht sind (wie bei
> Polarkoordinaten), sondern drei Winkel. Dass in umgekehrter
> Richtung diese drei Winkel genau einen Punkt im Raum
> definieren, ist klar.
>
> Erst einmal wäre auch zu klären, ob die drei Winkel auch
> eindeutig definiert sind, wenn man in der jetzt gesuchten
> Richtung umwandelt. Ich vermute, dass das zumindest bei
> Punkten auf der Hauptdrehachse (z?) der Fall ist.
>
> Überhaupt wäre es hilfreich, wenn Du den Arm mal
> beschreiben oder skizzieren könntest. Ich habe gerade
> wenig Lust, mir das aus den Gleichungen herzuleiten, auch
> wenn das natürlich gehen müsste.
>
> Ich nehme an, dass der ganze Arm erst einmal um eine der
> Koordinatenachsen gedreht werden kann, vermutlich z. Das
> scheint durch den Winkel [mm]\beta[/mm] angegeben zu werden, oder?
> Dann sitzt der Arm wahrscheinlich auf einem Kugelgelenk,
> das den Fuß und welchen Teilarm verbindet? Den mit [mm]\ell_1?[/mm]
> Welcher Winkel wird für die Neigung angegeben, und wird er
> gegen die Senkrechte oder die Waagerechte gemessen? Der
> letzte verbliebene Winkel scheint dann auch nicht die
> relative Lage der beiden Teilarme anzugeben, sondern
> ebenfalls gegen die Senkrechte oder Waagerechte gemessen zu
> werden.
>
> Am besten also: Skizze.
>
> Ich vermute, dass die einfachste Lösung schließlich eine
> Rotationsmatrix sein wird, eben ggf. noch mit
> Fallunterscheidungen.
>
Das mit den Polarkoordinaten finde ich eine gute Idee. Allerdings führt das zu einem anderen Problem. Aber bevor ich darauf eingehe, muss ich glaube ich doch nochmal neu ansetzen. Ich habe gedacht die Gleichungen wären durch Eliminations- oder andere "triviale" ( ) Verfahren lösbar.
Und zwar handelt meine Aufgabe, wie reverend fast vollkommen richtig erahnt hat, um einen zweigliedrigen Bagger, der sich um die Hauptachse ´z´dreht. Aber um es besser zu veranschaulichen, lade ich eine Skizze mit den weiteren Winkeln und den Gliedern l1 und l2 hoch.
Da wir mit Beschleunigungssensoren arbeiten, soll mit Hilfe der Beschleunigungen (in x,y,z Richtung) die Koordinaten des Endpunktes (TCP) ermittelt werden.
Ich war ebenfalls der Meinung, dass die beste Methode die Rotationsmatrix ist, ähnlich: [url=http://linkurl] siehe: Rotation matrix ↔ Euler angles
Inverse bilden und fertig. (Analog dazu findet man das so ähnlich in den meisten Fachbüchern.) Allerdings bin ich dann später an den Ableitungen verzweifelt. Fraglich ob richtig ; total unübersichtlich ; schlecht für Eingabe.
Und zu den Beschleunigungswerten, welche mit 3 Winkeln ermittelt werden, konnte ich in der Literatur und anderen Quellen nichts finden
Ja und seitdem beiß ich mir die Zähne an den Umformungen der Trigonometriegleichungen aus. Vorteile deiser Darstellung sind:
Die Gleichungen und die Ableitungen sind schneller zu ermitteln und ich finde das ganze auch leichter abzulesen und die Beschleunigung in x,y,z Richtung werden gleich ermittelt.
Also es wär echt super, wenn man die Gleichungen irgendwie lösen könnte.
-Bzgl. der Falluntersuchung: Wie würde diese mit 2 Unbekannten in einer Gleichung aussehen?
-Bzgl. den Polarkoordinaten: Werden mir diese Gleichungen bei den späteren Ableitungen dann nicht zum Verhängniss?
Vielleicht noch eine kleiner Hinweis:
0° [mm] \le \alpha \le [/mm] 90°
0° [mm] \le \beta \le [/mm] 360°
-90° [mm] \le \delta \le [/mm] 90
Oder wäre es doch sinnvoller mit Matrizen zu rechnen?
Für jede Idee oder jeden Tipp wäre ich euch sehr dankbar.
Viel Grüße
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
Sorry, aber mit dieser Skizze kann ich leider gar nichts
anfangen. Ich kann darin nicht wirklich feststellen, um
welche Winkel es sich wirklich handeln soll und wie man
daraus auf die angegebenen Gleichungen kommen soll.
Ich habe zwar keine Zeichnung geliefert, aber doch in
Textform klar beschrieben, wie die Winkel definiert
werden soll(t)en: trigonometrische Lösung
Außerdem liefere ich eine Anleitung zur (schrittweisen)
Lösung des Problems.
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 27.11.2012 | | Autor: | yhope |
Hallo Al-Chwarizmi,
erstmal vielen vielen Dank für die großartige Hilfe.
Sorry aber irgendwas ist schiefgegangen. Habe deine Antwort erst gelesen, als ich meine Frage schon verschickt hatte. Ich hätte so einen Blödsinn dann natürlich nicht abgeschickt .
Mit Mathematica und MAtlab hatte ich auch so meine Schwierigkeiten. Ich habe es dann aber nicht auf die Gleichungen, sondern auf meine Unerfahrenheit mit solchen Programmen geschoben.
> Nun kann man sich leicht überlegen, dass der Winkel $ > [mm] \beta [/mm] $
> einfach zu bestimmen ist. Es gilt nämlich - einmal den > Spezialfall
> mit x=y=0 ausgenommen :
> $ \ [mm] cos(\beta)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} [/mm] $
> Damit haben wir nur noch 2 unbekannte Winkel. Um diese
> trigonometrisch zu bestimmen, kann man dann das
> Dreieck OEP in der Ebene V betrachten. Sind x,y und z
> und die Armlängen $ [mm] l_1 [/mm] $ und $ [mm] l_2 [/mm] $ gegeben, so hat > man sofort
> alle drei Seitenlängen des Dreiecks, nämlich
$ [mm] |\overline{OE}|\ [/mm] =\ [mm] l_1 [/mm] $
$ [mm] |\overline{EP}|\ [/mm] =\ [mm] l_2 [/mm] $
$ [mm] |\overline{OP}|\ [/mm] =\ [mm] l_3\ [/mm] :=\ [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm] $
> Mittels Cosinussatz kann man dann, falls es über-
> haupt Lösungen gibt, wenn also insbesondere das
> Tripel $ [mm] (l_1,l_2,l_3) [/mm] $ die Dreiecksungleichungen > erfüllt,
> die Winkel des Dreiecks berechnen. Auch der Höhen-
> winkel $ [mm] \varphi [/mm] $ des Vektors $ [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] $ > ist leicht zu
> berechnen aus $ [mm] sin(\varphi)=z/l_3 [/mm] $ .
> Auch zu den noch gesuchten Winkeln $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ > [mm] \delta [/mm] $
> ist es dann nur noch ein kleiner Schritt !
Genau nach sowas habe ich gesucht.
Mit dieser Methode werde ich nun weiterrechnen.
Vielen Dank!
Auch für die korrigierte Gleichung:
$ y\ =\ [mm] l_{1}\cdot{}cos(\alpha)\cdot{}sin(\beta)+l_{2}\cdot{}cos(\delta)\cdot{}\red{sin(\beta)} [/mm] $
Leuchtet ein.
ALso nochmal Vielen Dank für die Hilfe; werde so nun weiterrechnen und ich denke, dass ich mit dieser "Variante" auch zu einer (sogar schönen) Lösung komme.
P.S.: Meine Gleichungen so nachzuvollziehen fällt sicher etwas schwer, da ich sie durch Additionstheoreme verinfacht habe. Ich kann sie dennoch posten. Ich rate allerings davon ab, weil sie nicht "schön" anzusehen sind . Eine anschaulichere Skizze ist dennoch angefügt, damit zumindest zu sehen ist, welche Winkel ich die ganze Zeit gemeint habe.
Viele Grüße und nochmals Danke!!
Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] \alpha [/mm] = Drehung um x-Achse
[mm] \beta [/mm] = Drehung um z-Achse
(beides l1)
[mm] \delta [/mm] = Drehung umx- Achse
(l2)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Folgende Gleichungen sollen nach Winkeln umgestellt bzw.
> Gleichungssystem soll gelöst werden.
>
> x =
> [mm]l_{1}*cos(\alpha)*cos(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*cos(\beta)[/mm]
> y =
> [mm]l_{1}*cos(\alpha)*sin(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*sin(\alpha)[/mm]
> z = [mm]l_{1}*sin(\alpha)+l_{2}*sin(\delta)[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte im Rahmen meiner Projektarbeit einen
> "kleinen" Tipp, wie man obige Gleichungen nach den Winkeln
> [mm](\alpha[/mm] , [mm]\beta, \delta)[/mm] auflöst. Wenn man bedenkt, dass
> die Größen [mm]x,y,z,l_{1}[/mm] und [mm]l_{2}[/mm] vorgegeben sind bzw. als
> Konstanten betrachtet, handelt es sich hierbei ja um 3
> Gleichungen mit 3 Unbekannten. Also eigtl. lösbar.
> Ich schaffe es aber nicht, die Gleichung sei es mit Hilfe
> von Substitution, Additionstheorem und zig anderen Methoden
> zu lösen. Hätte jemand vielleicht einen Tipp?
> Wäre euch sehr dankbar.
>
> Vielleicht noch etwas zur Aufgabe: Es handelt sich hierbei
> um einen Greiferarm mit zwei Giedern [mm](l_{1}, l_{2}),[/mm]
> welcher im Raum die Koordinaten x,y,z mit Hilfe der Winkel
> anfahren soll.
>
>
> Viele Grüße
Hallo yhope,
ich habe versucht, mir das Greifarmsystem im Koor-
dinatensystem vorzustellen.
Dabei komme ich auf die dringende Vermutung, dass
das Gleichungssystem etwas anders lauten sollte,
nämlich:
[mm] x\ =\ l_{1}*cos(\alpha)*cos(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*cos(\beta)[/mm]
[mm] y\ =\ l_{1}*cos(\alpha)*sin(\beta)+l_{2}*cos(\delta)*\red{sin(\beta)}[/mm]
[mm] z\ =\ l_{1}*sin(\alpha)+l_{2}*sin(\delta)[/mm]
Mit deinem ursprünglichen System hatte dann auch
Mathematica große Mühe - bzw. rechnete daran
ewig herum. Für das korrigierte System liefert es
dann z.B. als ersten Lösungsausdruck für den Winkel
[mm] \delta [/mm] , den ich mit d bezeichnet habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das mag dir zeigen, weshalb geschlossene Lösungen
für derartige Aufgaben "es in sich haben können" ...
LG Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: unbekannt) [nicht öffentlich]
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Hallo yhope,
meine Idee zu einer Korrektur an deinem Gleichungs-
system beruhte darauf, dass ich mir das Greifarmsystem
so vorstelle:
Im Ursprung O(0/0/0) des Koordinatensystems ist ein
Arm der Länge [mm] l_1 [/mm] befestigt, dessen Richtung durch
einen Azimutwinkel [mm] \beta [/mm] (in der x-y-Ebene von der positiven
x-Achse aus gemessen) und einen Höhenwinkel [mm] \alpha
[/mm]
festgelegt wird. Im Endpunkt E (wie Ellenbogen) dieses
ersten Arms ist ein zweiter Arm der Länge [mm] l_2 [/mm] befestigt,
welcher sich nur um die horizontale, durch E gehende
und zum ersten Arm orthogonale Achse drehen kann.
Der Höhenwinkel dieses Arms ist [mm] \delta [/mm] . Der Endpunkt
dieses Arms ist der Punkt P(x/y/z) . Die Punkte O, E und P
liegen alle in der vertikal stehenden Ebene V , welche
durch P und die z-Achse bestimmt ist.
Das resultierende Gleichungssystem ist:
$ x\ =\ [mm] l_{1}\cdot{}cos(\alpha)\cdot{}cos(\beta)+l_{2}\cdot{}cos(\delta)\cdot{}cos(\beta) [/mm] $
$ y\ =\ [mm] l_{1}\cdot{}cos(\alpha)\cdot{}sin(\beta)+l_{2}\cdot{}cos(\delta)\cdot{}\red{sin(\beta)} [/mm] $
$ z\ =\ [mm] l_{1}\cdot{}sin(\alpha)+l_{2}\cdot{}sin(\delta) [/mm] $
Nun kann man sich leicht überlegen, dass der Winkel [mm] \beta
[/mm]
einfach zu bestimmen ist. Es gilt nämlich - einmal den Spezialfall
mit x=y=0 ausgenommen :
$\ [mm] cos(\beta)\ [/mm] =\ [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
[/mm]
Damit haben wir nur noch 2 unbekannte Winkel. Um diese
trigonometrisch zu bestimmen, kann man dann das
Dreieck OEP in der Ebene V betrachten. Sind x,y und z
und die Armlängen [mm] l_1 [/mm] und [mm] l_2 [/mm] gegeben, so hat man sofort
alle drei Seitenlängen des Dreiecks, nämlich
[mm] $|\overline{OE}|\ [/mm] =\ [mm] l_1$
[/mm]
[mm] $|\overline{EP}|\ [/mm] =\ [mm] l_2$
[/mm]
[mm] $|\overline{OP}|\ [/mm] =\ [mm] l_3\ [/mm] :=\ [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
Mittels Cosinussatz kann man dann, falls es über-
haupt Lösungen gibt, wenn also insbesondere das
Tripel [mm] (l_1,l_2,l_3) [/mm] die Dreiecksungleichungen erfüllt,
die Winkel des Dreiecks berechnen. Auch der Höhen-
winkel [mm] \varphi [/mm] des Vektors [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] ist leicht zu
berechnen aus [mm] sin(\varphi)=z/l_3 [/mm] .
Auch zu den noch gesuchten Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \delta
[/mm]
ist es dann nur noch ein kleiner Schritt !
LG
Al-Chwarizmi
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Falls ein Punkt P(x|y|z) überhaupt in der Reichweite des
Greifarmsystems ist, gibt es im Allgemeinen jeweils zwei
mögliche Lösungstripel für die Winkel, denn in der Ebene
V (siehe obigen Beitrag) kann man das Dreieck OEP bei
gegebenem P natürlich an der Geraden OP spiegeln.
Der "Ellenbogen" bei E kann also nach oben oder
nach unten geknickt sein (falls keine mechanischen
Einschränkungen der Apparatur dies verhindern).
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun das Ganze auf eine Serie recht einfacher
Formeln reduziert.
Die Armlängen bezeichnete ich mit a und b (statt [mm] l_1 [/mm] und [mm] l_2),
[/mm]
und ferner setzte ich $\ c:=\ [mm] |\overline{OP}|\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
[/mm]
Die weiteren Bezeichnungen sind aus der Zeichnung
ersichtlich.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um eine eindeutige Lösung zu bekommen, setze ich
voraus, dass der zweite Arm (Länge b) bei E gegenüber
dem ersten Arm (Länge a) stets nach unten abgeknickt
ist, d.h. ich setze [mm] \delta\le\alpha [/mm] voraus, um aus den beiden
möglichen geometrischen Lösungen eine auszuwählen.
Diese Wahl erscheint mir insbesondere sinnvoll, weil
ja 0° [mm] \le \alpha \le [/mm] 90° vorausgesetzt sein soll.
Für die Berechnung der Winkel ergeben sich dann
folgende Formeln:
[mm] $\beta\ [/mm] =\ [mm] atan2\,(y,x)$
[/mm]
[mm] $\epsilon\ [/mm] =\ [mm] arccos\,\frac{a^2+c^2-b^2}{2\,a\,c}$ [/mm]
[mm] $\varphi\ [/mm] =\ [mm] arccos\,\frac{b^2+c^2-a^2}{2\,b\,c}$
[/mm]
[mm] $\theta\ [/mm] =\ [mm] arcsin\,\frac{z}{c}$
[/mm]
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] \theta+\epsilon$
[/mm]
[mm] $\delta\ [/mm] =\ [mm] \theta-\varphi$ [/mm]
LG
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Sa 01.12.2012 | | Autor: | yhope |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für diese Ausarbeitung. Habe mich wirklich gefreut, zumal ja wirklich einiges vereinfacht wird.
Allerdings hätte ich zu
> [mm]\beta\ =\ atan2\,(y,x)[/mm]
noch eine kleine Frage.
Und zwar können wir ja in diesem Fall die Annahme machen, dass x>0 und y>0 immer gelten soll (evtl. noch eine Ausgangsposition mit x= und y=0).
Heißt die Umrechnung dann wie folgt:
[mm] atan2\,(y,x) [/mm] = [mm] arctan\,(y/x) [/mm] ???
Alle anderen "Umrechnungen " würden dann ja wegfallen (außer evtl. startposition = 0). Konnte in der Literatur nichts Passendes finden. Es ist immer nur die Angabe von x>0, aber nichts zu y zu finden. Wäre dies unabhängig von y, entspreche dies ja oben genannter Gleichung.
Viele Grüße
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für diese Ausarbeitung. Habe mich wirklich
> gefreut, zumal ja wirklich einiges vereinfacht wird.
Das aufgeworfene Thema hat mich eben auch ein Stück
weit interessiert (so wie viele andere geometrische Fragen
auch ...)
> Allerdings hätte ich zu
>
> > [mm]\beta\ =\ atan2\,(y,x)[/mm]
>
> noch eine kleine Frage.
> Und zwar können wir ja in diesem Fall die Annahme machen,
> dass x>0 und y>0 immer gelten soll (evtl. noch eine
> Ausgangsposition mit x= und y=0).
Ich halte diese Einschränkung für ziemlich streng
und eigentlich ganz überflüssig !
Du wolltest ja z.B.für [mm] \beta [/mm] beliebige Winkel (bzw.
Winkel von 0° bis 360°) zulassen - das macht dann
keinen Sinn, wenn du nachträglich die Positionen
auf den ersten Quadranten beschränken willst.
> Heißt die Umrechnung dann wie folgt:
>
> [mm]atan2\,(y,x)[/mm] = [mm]arctan\,(y/x)[/mm] ???
Natürlich ist das für positive x und y gültig - aber
wie gesagt eigentlich zu einschränkend.
Ich habe einfach atan2 benützt, weil dies hier so
passend ist (anstatt eine Reihe von Fallunterscheidungen
in die Rechnung hereinzunehmen).
Zur Funktion ATAN2: Definition
> Alle anderen "Umrechnungen " würden dann ja wegfallen
> (außer evtl. startposition = 0). Konnte in der Literatur
> nichts Passendes finden. Es ist immer nur die Angabe von
> x>0, aber nichts zu y zu finden. Wäre dies unabhängig von
> y, entspreche dies ja oben genannter Gleichung.
LG, Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:56 Di 04.12.2012 | | Autor: | yhope |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich hatte einen kleinen Denkfehler. Habe für einen kurzen Moment die Achsen vertauscht.
Ja der Bagger soll sich um 360° drehen, also sollten auch keine Einschränkungen diesbezüglich vorgenommen werden.
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
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