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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] E(x,y)=-(x-1)^{2}-\bruch{4}{x-1}+9*y^{2}*cos(y)-2*y^{3}
[/mm]
und Sie stehen am Punkt (x,y) = (4,1).
Machen Sie in der xy-Ebene einen Schritt der Länge 1 in Richtung des steilsten Abstieges. Welche Koordinaten hat Ihr neuer Standort Punkt [mm] P_1? [/mm] |
Hallo,
ich hänge grad etwas an Gradienten dran und habe mit der Aufgabe irgendwie ein Problem ... Und zwar habe ich null Idee, wie ich da rangehe, um die Aufgabe zu lösen.
Prinipiell weiss ich zwar, was gemeint und gewollt ist, aber wie ich das nun rechnerisch umsetze, ist mir völlig unklar :(
Würde mich freuen, wenn jemand ein paar Tipps und Anregungen posten könnte, wie ich an die Lösung komme.
Vielen Dank im voraus
Andi
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> Gegeben sei die Funktion
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> [mm]E(x,y)=-(x-1)^{2}-\bruch{4}{x-1}+9*y^{2}*cos(y)-2*y^{3}[/mm]
>
> und Sie stehen am Punkt (x,y) = (4,1).
>
> Machen Sie in der xy-Ebene einen Schritt der Länge 1 in
> Richtung des steilsten Abstieges. Welche Koordinaten hat
> Ihr neuer Standort Punkt [mm]P_1?[/mm]
Hallo,
hast Du denn schon den Gradienten der Funktion berechnet?
gradf(4,1) zeigt in die Richtung des stärksten Anstieges.
-gradf(4,1)zeigt in die Richtung des stärksten Abstieges.
In diese Richtung mußt Du eine Einheit gehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Angela,
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> Hallo,
>
> hast Du denn schon den Gradienten der Funktion berechnet?
>
> gradf(4,1) zeigt in die Richtung des stärksten Anstieges.
>
> -gradf(4,1)zeigt in die Richtung des stärksten Abstieges.
>
> In diese Richtung mußt Du eine Einheit gehen.
>
Ne ich hab noch keinen berechnet, das ist ja genau mein Problem. Ich gucke mir lediglich die Aufgabenstellung an und denke mir: "Was will es von mir???"
Wie berechne ich denn die Gradienten? Und wie gehe ich dann weiter vor?
Danke und Gruß
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Do 20.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Der ![[]](/images/popup.gif) Gradient ist die "Zusammenstellung" der partiellen Ableitungen in dem gegebenen Punkt.
Bilde also die beiden partiellen Ableitungen [mm] $E_x(x,y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial E(x,y)}{\partial x}$ [/mm] sowie [mm] $E_y(x,y) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\partial E(x,y)}{\partial y}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Loddar,
partielle Ableitung klingt schon mal gut...
Heisst, ich mache die erstmal zuerst?
für x wäre das dann
[mm] f_x(x,y)=-2*x+2+\bruch{4}{(x-1)^{2}}
[/mm]
und für y wäre das
[mm] f_y(x,y)=18*y*cos(y)-9*y^{2}*sin(y)-6*y^{2}
[/mm]
Leider verstehe ich diese ganzen Hieroglyphen bei der Definition des Gradienten auf der Wiki Page nicht. Auch die Schreibweisen wie [mm] E_x(x,y)=\bruch{\partial E(x,y)}{\partial x} [/mm] sagen mir grad nicht wirklich was ...
Könnte ich da mal ein Beispiel mit echten Zahlen sehen, dass das alles nicht mehr so abstrakt für mich ist ?
Vielen Dank
Grüße
Andi
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Ja, man schreibt das dann in so einen Vektor rein:
grad f = [mm] \vektor{f-partiell-nach-x-abgeleitet \\ f-partiell-nach-y-abgeleitet}
[/mm]
Und dieser ist dann praktisch der anliegende Richtungsvektor an einem gewählten Punkt (x,y).
Bei dir wäre das
grad f = [mm] \vektor{-2\cdot{}x+2+\bruch{4}{(x-1)^{2}} \\ 18\cdot{}y\cdot{}cos(y)-9\cdot{}y^{2}\cdot{}sin(y)-6\cdot{}y^{2}}
[/mm]
Und nun musst du den Punkt einsetzen und erhältst den Richtungsvektor an diesem Punkt, bei dir (4,1):
[mm] \vektor{-2\cdot{}4+2+\bruch{4}{(4-1)^{2}} \\ 18\cdot{}1\cdot{}cos(1)-9\cdot{}1^{2}\cdot{}sin(1)-6\cdot{}1^{2}} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{50}{9} \\ 18*cos(1)-9*sin(1)-6}
[/mm]
Wegen den Hieroglyphen:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] heißt, dass f partiell nach x abgeleitet wird; dasselbe bedeutet im Grunde dieses [mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}. [/mm] Dabei gibt eben nur [mm] \partial [/mm] im Gegensatz zum normalen d an, dass es eine partielle Ableitung ist.
Noch zum Anschaulichen:
Wenn man beide Elemente im Gradienten gleich 0 setzt, kann man so zum Beispiel Extrempunkte herausfinden. [mm] \to [/mm] Man muss dann eben einfach die beiden entstehenden Gleichungen nach x und y umstellen und erhält die möglichen Stellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi,
Vektor gefällt mir auch - Somit habe ich dann schon mal eine Richtung (Auch wenn ich mir das geistig grad wenig vorstellen kann)
Also wäre der Gradient für den Punkt (4,1) der folgende?
grad [mm] f=\vektor{-5.556 \\ -3.848}
[/mm]
Dann zitiere ich nochmal den 2. Post von Angela:
> gradf(4,1) zeigt in die Richtung des stärksten Anstieges.
> -gradf(4,1)zeigt in die Richtung des stärksten Abstieges.
Ich habe ja jetzt einen Vector da als Gradient raus. Was hat es denn dann mit diesem gradf() und -gradf() auf sich?
Ist mein gerechneter Gradient nun ein Aufstieg oder ein Abstieg? Wie finde ich beide jeweils raus und woran erkenne ich den unterschied?
> In diese Richtung mußt Du eine Einheit gehen.
Und wie gehe ich eine Einheit in diese Richtung?
Danke für die Hilfe
Gruß
Andi
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Ich wollte nur noch einmal zur Veranschaulichung ein Bild von der Funktion posten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu der Richtung könnte das gewollt sein:
-Du nimmst einfach den Vektor und gehst ihm entlang eine Einheit und das ist deine neue Stelle.
Wahrscheinlich sollst du aber noch genauer in Bezug auf die Funktion arbeiten.
Tut mir leid - mit meinem Wissen stoße ich da an die Grenzen 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
das ist so toll!
Ist das was Gekauftes, oder gibt's das irgendwo "so"?
Gruß v. Angela
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> Also wäre der Gradient für den Punkt (4,1) der folgende?
>
> grad [mm]f=\vektor{-5.556 \\ -3.848}[/mm]
Hallo,
ja, schreib lieber grad [mm] f(4,1)=\vektor{-5.556 \\ -3.848}, [/mm] denn Du betrachtest je den Gradienten im Punkt (4,1).
Die Richtung des größten Abstiegs ist dann die entgegengesetzte, also -grad [mm] f(4,1)=\vektor{5.556 \\ 3.848}, [/mm] und wenn Du einen Schritt in diese Richtung gehen sollst, normiertst Du diesen Vektor und addierst ihn zu (4,1).
Damit ist für meine begriffe die Aufgabe eigentlich gelöst.
Der Punkt, den steppenhahn im Gebirge (Toll, steppenhahn!) markiert hat, ist der Punkt (4,1, E(4,1)).
Kriegst Du den Endpunkt auch noch eingezeichnet, steppenhahn? Den Punkt der zu den koordinaten v. (4,1)+ein Schritt gehört?
Dann könnten wir gleich gucken, ob's plausibel wirkt. (Ich habe nichts nachgerechnet.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi
>
> Hallo,
>
> ja, schreib lieber grad [mm]f(4,1)=\vektor{-5.556 \\ -3.848},[/mm]
> denn Du betrachtest je den Gradienten im Punkt (4,1).
>
ok
> Die Richtung des größten Abstiegs ist dann die
> entgegengesetzte, also -grad [mm]f(4,1)=\vektor{5.556 \\ 3.848},[/mm]
> und wenn Du einen Schritt in diese Richtung gehen sollst,
> normiertst Du diesen Vektor und addierst ihn zu (4,1).
>
vektor normieren ... schon wieder ein fremdwort :( ... wie mach ich denn das? und wie addiere ich das dann zu (4,1) ?
> Damit ist für meine begriffe die Aufgabe eigentlich
> gelöst.
>
ich wünschte, ich könnte das auch so sehen *seufz*
Grüße
Andi
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"Normieren" heißt, dem Vektor die Länge 1 geben.
Es muss also für den Vektor
[mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
gelten:
[mm]\underbrace{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}_{DieLaengeDesVektorsMitPythagoras} = 1[/mm]
Du erreichst das, indem du den Vektor einfach durch seine aktuelle Länge teilst:
[mm] \vektor{x \\ y}_{normiert} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\vektor{x \\ y}
[/mm]
Wir geben dem Vektor die Länge 1, damit wir bei der Aufaddierung dieses Richtungsvektors auf den Punkt (Ortsvektor) auch wirklich eine Einheit weitergehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi,
prinzipiell hab ichs verstanden ... nur ...
>
> Du erreichst das, indem du den Vektor einfach durch seine
> aktuelle Länge teilst:
>
> [mm]\vektor{x \\ y}_{normiert}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\vektor{x \\ y}[/mm]
>
Ich weiss mit diesem Ausdruck jetzt leider null anzufangen ... Soll ich da nun irgendwas einsetzen, ausrechnen oder so?
Könntest du mir das ganze Prozedere bis zur "Lösung" mal zeigen?
Das ist alles viel zu theoretisch für mich, ich versteh da nur Bahnhof leider...
Vielen Dank für die Hilfe
Grüße
Andi
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Also zunächst - ich hab das Bild oben nochmal aktualisiert und jetzt den zweiten Punkt reingetan. (Und gleich auf die Funktion gesetzt, weiß nicht ob das unbedingt richtig war )
Dein Richtungs-Vektor ist
[mm] \vektor{5.556 \\ 3.848}.
[/mm]
Der hat aber nicht die Länge 1. Er sagt nur aus: Gehe ich 5.556 nach x, so muss ich 3.848 nach y gehen. Dieser Weg ist aber eben nicht eine Einheit lang. Wir müssen nun also irgendwie die Proportionen des Vektors, also die Richtung, erhalten, aber ihn "kürzer" machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Naja und nach dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass ein Vektor die Länge wie schon oben beschrieben hat. Warum? Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, bei dir ist das jetzt also speziell:
[mm] \wurzel{5.556^{2} + 3.848^{2}} [/mm] = 6.753
Das heißt, wir wissen der Vektor hat die Länge 6.753. Er soll aber die Länge 1 haben, also teilen wir den Vektor bzw. seine einzelnen Elemente durch die Länge. Warum funktioniert das? (Ich machs jetzt mal allgemein, damit es deutlicher wird):
Wenn ich dann den Vektor
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} \\ \bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}}
[/mm]
und davon wieder die Länge berechne, komme ich wirklich auf:
Laenge_neuerVektor = [mm] \wurzel{\left(\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2} + \left(\bruch{y}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} + \bruch{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}} [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1.
Also gut, teilen wir also unseren obigen Vektor durch seine Länge 6.753:
[mm] \bruch{1}{6.753}\vektor{5.556 \\ 3.848} [/mm] = [mm] \vektor{0.822 \\ 0.569}
[/mm]
Dieser neue Vektor zeigt noch in dieselbe Richtung, hat aber die Länge 1.
Nun addieren wir diesen Vektor noch zu deinem Punkt, wo wir den Gradienten bestimmt haben und erhalten den gesuchten Punkt:
[mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{0.822 \\ 0.569} [/mm] = [mm] \vektor{4.822 \\ 1.569}
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Do 20.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo steppenhahn,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung ... Ich konnte jetzt alles nachvollziehen ...
Habe mich grad an anderen Gradienten Aufgaben probiert und konnte die dann ebenfalls lösen.
Viele Grüße
Andi
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