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Sei f(x,y) ein Skalarfeld. Warum ist [mm] \vektor{f_x \\ f_y} [/mm] die Richtung des steilsten Anstiegs?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo,
weil es senkrecht auf den Höhenlinien steht.
Grus leduart
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Das finde ich intuitiv plausibel. Allerdings gibt es zwei Dinge die ich weiterhin nicht verstehe:
1. Warum ist der Gradient orthogonal zu der Höhenlinien durch den Punkt?
2. Für den Einheitsvektor u ist die Richtungsableitung [mm] D_u(x_0,y_0)=u_1*f_x(x_0,y_0)+u_2*f_y(x_0,y_0). [/mm] Wenn [mm] f_x(x_0,y_0)>f_y(x_0,y_0), [/mm] dann sollte m.E. [mm] u^*=\vektor{1 \\ 0} [/mm] die Richtungsableitung maximieren und nicht [mm] \vektor{f_x(x_0,y_0)\\f_y(x_0,y_0)}. [/mm] Was stimmt mit dieser Überlegung nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Di 09.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
f(x,y)=const ist eine Höhenlinie. sie kann beschrieben werden als Kurve [mm] c(t)=\vektor{x(t) \\ y(t)}
[/mm]
der zugehörige Tangentialverktot ist [mm] c'(t)=\vektor{x'(t) \\ y'(t)}
[/mm]
es gilt aber
wegen f(x(t),y(t)=const df/dt=0
[mm] df/dt=f_x*x'+f_y*y'=0 [/mm] d.h. [mm] \vektor{f_x\\f_y} [/mm] steht senkrecht auf [mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t)}
[/mm]
der senkrechte Abstand zeier benachbarter höhenlinien ist aber der kleinst Abstand. damit ist die senkrechte auf den Höhenlinien die Richtung des steilsten Abstiegs.
Dein Argument, warum [mm] (f_x,0) [/mm] die steilste Richtung ist, wenn [mm] f_x>f_y [/mm] ist versteh ich nicht.
Enn es in einer Richtung steiler ist als in einer dazu senkrechten, warum soll das die steilste richtung sein, dann kannst du auch 2 andere zueinander senkrechte Richtungen nehmen, davon wieder die grössere auswählen und hast dann wieder die steilste? komisch.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 09.02.2010 | | Autor: | mathpsycho |
Vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 Di 09.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> 2. Für den Einheitsvektor u ist die Richtungsableitung
> [mm]D_u(x_0,y_0)=u_1*f_x(x_0,y_0)+u_2*f_y(x_0,y_0).[/mm] Wenn
> [mm]f_x(x_0,y_0)>f_y(x_0,y_0),[/mm] dann sollte m.E. [mm]u^*=\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> die Richtungsableitung maximieren und nicht
> [mm]\vektor{f_x(x_0,y_0)\\f_y(x_0,y_0)}.[/mm] Was stimmt mit dieser
> Überlegung nicht?
Schonmal an Beispielen ausprobiert? Der wesentliche Punkt ist, dass [m]u_2=\pm\sqrt{1-u_^2}[/m], also ein nicht linearer Zusammenhang besteht.
Zur ersten Frage nochmal: Es gilt ja für eine Kurve im Punkt p, dass [m]|(f\circ c)'(0)|=||\le ||c'(0)||*||grad(f)(p)||[/m] nach CSU, und dis wird maximal (CSU) wenn die Ableitung gleich dem Gradient ist - also größter Ansteig, da die die Ableitung in die Richtung am größten ist.
(CSU = Cauchy-Schwarz-Ungl.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 09.02.2010 | | Autor: | mathpsycho |
Danke!
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